Bài giảng môn toán Chương I: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

của mp (BAM) và (SCD) Ví dụ3:Cho tứ diện ABCD và M là trung điểm của cạnh AD.Mặt phẳng (P) đi qua điểm M và đồng thời song song với AC và BD.Xác định giao tuyến của (P) với các mặt của tứ diện đã cho. D.BÀI TẬP Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD, trên các cạnh SA và SC lần lược lấy hai điểm E và F sao cho . Chứng minh EF song song với mặt phẳng (ABCD). Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thang với AB//CD ; goi G, G’ lần lượt là trong jtâm của các tam giác SAD, SBC. Chứng minh đường thẳng GG’ song song với mặt phẳng (SAB). Bài 3:Cho tứ diện ABCD, gọi E là trung điểm của cạnh BD, I và J lần lượt là trung điểm các đoạn CE và CA. chứng minh đường thẳng IJ song song với mặt phẳng (ABD) Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AB//CD và CD > AB. Một mp(P) đi qua AB và cát các cạnh SC, SD lần lượt tại M và N. Chứng minh MN//mp(ABCD Bài 5: Cho hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mp phân biệt. Gọi M, N là hai điểm di động trên hai đoạn thẳng AD và BE sao cho: Chứng minh rằng MN luôn song song với một mp cố định Bài 6:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. a)Hãy xác định giao tuyến của hai mp (SAB) và (SCD) và giao tuyến của hai mp (SAC) và (SBD). b)Một mp () thay đổi qua BC cắt cạnh SA tại A’(A’ không trùng với S và A và cắt cạnh SD tại D’. Tứ giác BCD’A’ là hình gì? c)Gọi I là giao điểm của BA’ và CD’, J là giao điểm của CA’ và BD’. Với () như câu b) thì I và J chạy trên các đường nào? Bài 7: Cho tứ diện ABCD có AB = CD. Gọi M, N là hai điểm thay đổi trên hai cạnh AB và CD sao cho BM = CN. Chứng minh rằng MN luôn luôn song song với một mặt phẳng cố định. Bài 8: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, B’C’, DD’. a)Hãy xác định thiết diện tạo bởi hình lập phương đã cho và mp (MNP) b)Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với mp (BDC’). Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M,N lần lược là trung điểm của BC,CD.Gọi () là mặt phẳng qua MN và song song với đường thẳng SC a/ Tìm giao tuyến của mp(SAC) với mp(SBD) b/ Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng ()? Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là tứ giác lồi. M là trung điểm cạnh BC, N là điểm thuộc cạnh CD sao cho CN = 2ND. 1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SMN) 2. Tìm giao điểm đường thẳng BD với mặt phẳng (SMN) Bài 11.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trên cạnh SA lấy một điểm M không trùng với S và A. Gọi là mặt phẳng qua M và song song với AB và SD. 1) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (SAC) và (SBD); (SAB) và (SCD). 2) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng. Thiết diện là hình gì ? Bài 12: Cho hình chóp tứ giác . Trên cạnh SA lấy điểm E sao cho EA=2ES. Gọi F,G lần lượt là trung điểm của các cạnh SD, BC. Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng và ; Tìm giao điểm I của đường thẳng SB với mặt phẳng (EFG). Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD, O là giao điểm của AC và BD, I là điểm thuộc cạnh SC, J là điểm thuộc cạnh SA. 1) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng: (SAC) và (SBD); (BIJ) và(SBD). 2) Gọi M là trọng tâm của tam giác SAB và N là điểm thuộc BO sao cho BN = 2NO. Hãy tìm giao điểm của SN và mặt phẳng (MIJ). §4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG ™ª˜ TÓM TẮT GIÁO KHOA 1.Định nghĩa:Hai mặt phẳng được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung.Kí hiệu . . 2.Định lí và tính chất: 1)Nếu mp chứa hai đường thẳng cắt nhau a,b và hai đường thẳng này cùng song song với mp thì mp //mp. Hệ quả :Nếu mp chứa hai đường thẳng cắt nhau a,b.mp chứa hai đường thẳng cắt nhau a/,b/ đồng thời a//a/,b//b/ thì mp //mp. 2)Qua một điểm nằm ngoài một mp cho trước có một và chỉ một mp song song với mp đã cho. Hệ quả 1: Nếu đường thẳng d song song với mp thì trong có một đường thẳng song song với d và qua d có duy nhất một mp song song với . Hệ quả 2:Hai mp phân biệt cùng song song với mp thứ ba thì song song với nhau. Hệ quả 3:Cho điểm A không nằm trong mp .Mọi đường thẳng đi qua A và song song với đều nằm trong mp đi qua A và song song với . 3)Cho hai mp song song với nhau.Nếu một mp cắt mp này thì cũng cắt mp kia và hai giao tuyến song song với nhau. Hệ quả: Hai mp song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau. 4)Định lí Ta-let thuận:Ba mp đôi một song song định ra trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. 3.Hình lăng trụ và hình chóp cụt 1)Hình lăng trụ: Cho hai mp song song và .Trên cho đa giác lồi .Qua các đỉnh ta vẽ các đường thẳng song song với nhau và cắt lần lượt tại .Hình gồm hai đa giác, và các hình bình hành được gọi là hình lăng trụ và kí hiệu là . Lăng trụ có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp. 2)Hình chóp cụt: Cho hình chóp S..Một mp không qua đỉnh,song song với mp đáy của hình chóp cắt các cạnh SA1,SA2,…,SAn lần lượt tại .Hình tạo bởi thiết diện và đáy của hình chóp cùng với các tứ giác gọi là hình chóp cụt, kí hiệu là . DẠNG TOÁN -Dạng 1:Vẽ hình biểu diễn của một hình chóp,chóp cụt,lăng trụ -Dạng 2:Chứng minh hai mặt phẳng song song với nhau. -Dạng 3:Xác định thiết diện tạo bởi mp với một hình chóp khi cho biết song song với một mp nào đó trong hình chóp. VÍ DỤ MẪU Ví dụ: a)Vẽ hình biểu diễn của hình lăng trụ với đáy tà tam giác. b)Vẽ hình biểu diễn của hình chóp cụt với đáy là tam giác đều.Chỉ ra trên hình vẽ mặt đáy ,mặt bên,cạnh đáy,cạnh bên của chóp cụt đó. Ví dụ:Cho hình lập phương . a)Mặt phẳng có cắt mp (ABCD) không ? b)Chứng minh rằng . Ví dụ: :Cho hình lập phương .Xác định giao tuyến của mp (P) đi qua trung điểm M của cạnh BB/và mp (P) song song với (ABCD). Ví dụ:Cho lăng trụ có M là trung điểm của CA/.Mặt phẳng (P) đi qua điểm M và đồng thời song song với AB/ và BC/.xác định thiết diện của hình lăng trụ khi cắt bởi mp (P). Ví dụ: Cho tứ diện ABCD.Các điểm M,N thoe thứ tự chạy trên các cạnh AD và BC sao cho .Chứng minh rằng MN luôn song song với một mp cố định. D.BÀI TẬP Bài tập1: Từ 4 điểm của hình bình hành ABCD vẽ bốn nửa đường thẳng song song cùng chiều Ax, By, Cz, Dt. Một mp ()cắt 4 nửa đường thẳng Ax, By, Cz, Dt tại A’, B’, C’, D’. a)Chứng minh hai mp (Ax, By) và (Cz, Dt) song song với nhau. b)Chứng minh tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành. c)Gọi O, O’ lần lượt là tâm các hình bình hành ABCD, A’D’C’D’. Chứng minh đường thẳng OO’ song song với đường thẳng AA’ và AA’ +CC’ =BB’ +DD’. §5. PHÉP CHIẾU SONG SONG ™ª˜ TÓM TẮT GIÁO KHOA 1.Phép chiếu song song: Cho mp và đường thẳng cắt .Với mỗi điểm M trong không gian,đường thẳng đi qua M và song song hoặc trùng với cắt tại điểm M/ xác định. Điểm M/ được gọi là hình chiếu song song của điểm M trên mp theo phương . Mặt phẳng được gọi là mp chiếu,phương của đường thẳng được gọi là phương chiếu. Phép đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với hình chiếu M/ của nó trên mp được gọi là phép chiếu song song lên theo phương . 2.Các tính chất của phép chiếu song song (với đường thẳng và đoạn thẳng không song song hoặc trùng với phương chiếu) 1)Phép chiếu song song Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và thứ tự giữa các điểm được bảo toàn 2)Phép chiếu song song biến đường thẳng thành một đường thẳng,biến tia thành tia,biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng 3) Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. 4)Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng. 3.Hình biểu diễn của một số hình không gian trên mặt phẳng. 1)Một tam giác bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một tam giác tùy ‏‎í cho trước (có thể là tam giác đều,tam giác cân,tam giác vuông…) 2)Một hình bình hành bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình bình hành tùy í cho trước (có thể là hình bình hành,hình vuông,hình chữ nhật,hình thoi,…) 3)Một hình thang bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình thang tùy í cho trước,miễn là tỉ số độ dài hai đáy của hình biểu diễn phải bằng tỉ số độ dài hai đáy của hình đã cho. 4)Người ta thường dùng hình elip để biểu diễn hình tròn. DẠNG TOÁN -Dạng 1:Xác định hình chiếu của một hình phẳng qua phép chiếu song song. -Dạng 2:Vẽ hình biểu diễn của một hình không gian. VÍ DỤ MẪU Ví dụ 1:Xác định hình chiếu của một đường thẳng qua phép chiếu song song trong các trường hợp: -Đường thẳng đó song song với phương chiếu. -Đường thẳng đó không song song với phương chiếu. Ví dụ 2:Hình chiếu song song của một hình bình hành có là hình bình hành không? Ví dụ:Vẽ hình biểu diễn của:tam giác đều,hình thang vuông,hình bình hành,hình thoi. Ví dụ 3:Vẽ hình biểu diễn của một lục giác đều nội tiếp một đường tròn. D.BÀI TẬP Chương III.VEC TƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN §1. VEC TƠ TRONG KHÔNG GIAN ™ª˜ TÓM TẮT GIÁO KHOA 1.Các định nghĩa: 1)Vec tơ,giá và độ dài của vec tơ. *Vec tơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu chỉ vec tơ có điểm đầu A,điểm cuối B.Vec tơ còn được kí hiệu là … *Giá của vec tơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vec tơ đó. Hai vec tơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.Hai vec tơ cùng phương thì có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. *Độ dài hay môđun của vec tơ là độ dài của đoạn thẳng có hai đầu mút là điểm đầu và điểm cuối của vec tơ đó.vec tơ có độ dài bằng 1 được gọi là vec tơ đơn vị.ta kí hiệu độ dài vec tơ là .Như vậy . 2)Hai vec tơ bằng nhau,vec tơ-không *Hai vec tơ và được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.Khi đó ta kí hiệu . * ‘Vec tơ-không”là một vec tơ đặc biệt có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau,nghĩa là với mọi điểm A tùy í ta có và khi đó mọi đường thẳng đi qua điểm A đều chứa vec tơ .Quy ước mọi đều bằng nhau,.có độ dài bằng 0 và cùng phương,cùng hướng với mọi vec tơ.Dó đó ta viết với mọi điểm A,B tùy í 2.Phép cộng và phép trừ vec tơ 1)Định nghĩa: *Cho hai vec tơ và .Trong không gian lấy một điểm A tùy í,dựng .Vec tơ được gọi là tổng của hai vec tơ và .,và được kí hiệu: . *Vec tơ và vec tơ đối của vec tơ nếu và ngược hướng với nhau.Kí hiệu . * 2)Tính chất: Với các vec tơ bất kì ta có * (tính chất giao hoán) * (tính chất kết hợp) * (tính chất của vec tơ-không) * 3)Các quy tắc cần nhớ khi tính toán a)Quy tắc ba điểm với ba điểm A,B,C bất kì,ta có: b)Quy tắc hình bình hành:Với hình bình hành ABCD ta có c)Quy tắc hình hộp Cho hình hộp với AB,AD,AA/ là ba cạnh có chung đỉnh A và AC/ là đường chéo.ta có: d)Mở rộng quy tắc ba điểm Cho n điểm bất kì ta có: 3.Phép nhân vec tơ với một số: 1)Định nghĩa:Cho số thực và vec tơ .Tích của số k với vec tơ là một vec tơ,kí hiệu là ,cùng hướng với nếu k>0,ngược hướng với vec tơ nếu k<0 và có độ dài bằng . 2)Tính chất:Với mọi vec tơ và mọi sớ thực m,n ta có: 4.Điều kiện đồng phẳng của ba vec tơ. 1)Khái niệm về sự đồng phẳng của ba vec tơ trong không gian. Cho ba vec tơ đều khác vec tơ-không trong không gian.Từ một điểm O bất kì ta dựng các vec tơ và .Khi đó xảy ra hai trường hợp sau: *Nếu các đường thẳng OA,OB,OC không cùng nằm trong một mặt phẳng,ta nói ba vec tơ không đồng phẳng. * Nếu các đường thẳng OA,OB,OC cùng nằm trong một mặt phẳng,ta nói ba vec tơ đồng phẳng.. 2)Định nghĩa: Trong không gian,ba vec tơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng. 3)Điều kiện để ba vec tơ đồng phẳngĐịnh lí 1:Trong không gian cho hai vec tơ không cùng phương và một vec tơ .Khi đó ba vec tơ đồng phẳng khi và chỉ khi có duy nhất cặp số thực m,n sao cho 4)Phân tích (biểu thị) một vec tơ theo ba vec tơ không đồng phẳng. Định lí 2:Cho là ba vec tơ không đồng phẳng,Với mọi vec tơ trong không gian ta đều tìm được duy nhất một bộ ba số thực m,n,p sao cho DẠNG TOÁN -Dạng 1:Xác định các yếu tố của vec tơ;xác định góc giữa hai vec tơ trong không gian. -Dạng 2:Chứng minh các đẳng thức về vec tơ. -Dạng 3:Xét sự đồng phẳng hoặc không đồng phẳng của ba vec tơ trong không gian. VÍ DỤ MẪU Ví dụ 1:Cho tam giác đều ABC cạnh a,gọi M là trung điểm BC. a)Cho biết độ dài của vec tơ . b)Xác định góc giữa hai vec tơ . Ví dụ 2:Cho tứ diện ABCD,gọi G là trọng tâm tam giác BCD,chứng minh rằng . Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD.Gọi I,J tương ứng là trung điểm của AB,CD.Chứng minh rằng là các vec tơ đồng phẳng. Ví dụ 4:Trong không gian,cho tam giác ABC,chứng minh rằng nếu điểm M thuộc mp (ABC) thì với mọi điểm O và x+y+z=1 D.BÀI TẬP §2. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC ™ª˜ TÓM TẮT GIÁO KHOA 1.Tích vô hướng của hai vec tơ trong không gian 1)Góc giữa hai vec tơ: Cho và là hai vec tơ trong không gian.Từ một điểm A bất kì dựng .Khi đó ta gọi là góc giữa hai vec tơ và ,kí hiệu ( ,).Ta có 2)Tích vô hướng Tích vô hướng của hai vec tơ và (đều khác vec tơ )trong không gian là một số,được kí hiệu là và xác định bởi: . Nếu hoặc thì ta quy ước =0 3)Tính chất: Với ba vec tơ bất kì trong không gian và mọi số thực k ta có: * (tính chất giao hoán) * (tính chất phân phối đối với phép cộng vec tơ) * 4)Vec tơ chỉ phương của đường thẳng *Vec tơ được gọi là vec tơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vec tơ song song hoặc trùng với đường thẳng d. *Nếu vec tơ là vec tơ chỉ phương của đường thẳng d thì vec tơ k với k khác 0 cũng là vec tơ chỉ phương của đường thẳng d. *Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn được xác định khi biết một điểm A thuộc d và một vec tơ chỉ phương của d. 5)Một số ứng dụng của tích vô hướng *Tính độ dài của đoạn thẳng AB: . *Xác định góc giữa hai vec tơ và là ( , ) theo công thức * 2.Góc giữa hai đường thẳng Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a/ và b/ cùng đi qua một điểm bất kì đồng thời tương ứng song song với a và b. 3.Hai đường thẳng vuông góc: *Hai đường thẳng a và b được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900.ta kí hiệu hoặc . *Nếu vec tơ và lần lượt là vec tơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b thì . *Nếu a//b và c vuông góc với một trong hai đường thẳng đó thì c vuông góc với đường thẳng còn lại. DẠNG TOÁN -Dạng 1:Tính tích vô hướng của hai vec tơ.Sử dụng tích vô hướng để tính độ dài của đoạn thẳng (hoặc tính khoảng cách giữa hai điểm)trong không gian. -Dạng 2: Xác định vec tơ chỉ phương của đường thẳng,tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian. -Dạng 3:Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau. VÍ DỤ MẪU Ví dụ: Cho tam giác đều ABC cạnh a,gọi M là trung điểm BC. a)Tính b)Cho biết Ví dụ:Cho tam giác ABC,tìm một vec tơ chỉ phương của đường thẳng a)Chứa cạnh BC. b)Chứa trung tuyến AM. Ví dụ:Cho hình lập phương .Xác định góc giữa các đường thẳng AB/ và CD/ Ví dụ:Cho hình lập phương .Chứng minh rằng AB/ vuông góc với CD/. Ví dụ:Chứng minh rằng nếu b//c mà a vuông góc với b thì a vuông góc với c. Ví dụ:Cho hình tứ diện ABCD.Chứng minh rằng:Nếu thì D.BÀI TẬP §3. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC ™ª˜ TÓM TẮT GIÁO KHOA I. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong . Khi đó ta nói vuông góc với d và kí hiệu hoặc ,mỗi vec tơ chỉ phương của đường thẳng d còn được gọi là một vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng . II.Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mp thì d vuông góc với . III.Tính chất: 1)Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước. 2) Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước. IV.Liên hệ giữa tính vuông góc và tính song song của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian 1)Cho hai đường thẳng song song.Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia. 2)Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. 3)Cho hai mặt phẳng song song.Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia. 4)Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. 5)Cho đường thẳng a và mp song song với nhau.Đường thẳng nào vuông góc với thì cũng vuông góc với a. 6)Nếu một đường thẳng a và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó)cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau. V.Phép chiếu vuông góc và định lí ba đường vuông góc. 1)Định nghĩa:Cho đường thẳng d vuông góc với mp .Phép chiếu song song theo phương d lên mp được gọi là phép chiếu vuông góc lên mp . 2)Định lí ba đường vuông góc: Cho đường thẳng a nằm trong mp và b là đường thẳng không thuộc đồng thời không vuông góc với .Gọi b/ là hình chiếu vuông góc của b lên .Khi đó a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với b/. 3)Góc giũa đường thẳng và mặt phẳng: Cho đường thẳng d và mặt phẳng .ta có định nghĩa: *Nếu đường thẳng d vuông góc với mp thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng bằng 900. * Nếu đường thẳng d không vuông góc với mp thì góc giữa d và hình chiếu d/ của nó trên được gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng . Lưu í:Số đo (bằng độ) của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là một số không âm và không vướt quá 900. DẠNG TOÁN -Dạng 1:Chứng minh:Một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, Một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng. -Dạng 2:Xác định vec tơ pháp tuyến của một mặt phẳng;xác định hình chiếu vuông góc của một điểm,một đường thẳng,một tam giác. -Dạng 3:Vận dụng định lí ba đường vuông góc để giải toán -Dạng 4:Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. -Dạng 5:Các bài toán vận dụng mối liên hệ giũa tính song song và tính vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng. VÍ DỤ MẪU Ví dụ 1:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và các cạnh bên bằng nhau.Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của đáy. a)Chứng minh rằng SO vuông góc với (ABCD) b)Chỉ ra một vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD) Ví dụ 2:Qua phép chiếu vuông góc hai góc bằng nhau có bằng nhau không? Ví dụ 3:Cho hình chóp S.ABC.có SA vuông góc với đáy và đáy là tam giác vuông tại B. a)Chứng minh rằng SB vuông góc với CB. b)Xác định góc giữa SB và (ABC). c)Xác định hình chiếu vuông góc của C trên (SAB). Ví dụ 4:Cho hình tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau.Chứng minh rằng H là hình chiếu vuông góc của O trên (ABC) thì H là trực tâm tam giác ABC. Ví dụ 5:Cho tứ diện ABCD,xác định điểm O sao cho OA=OB=OC=OD D.BÀI TẬP Bài 1 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, tâm O và AB = SA = a, BC = , SA (ABCD) a. Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông. b. Gọi I là trung điểm của SC. Chứng minh IO(ABCD) c. Tính góc giữa SC và (ABCD). Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh bằng 1 và các cạnh bên bằng nhau và bằng . a. Chứng minh (SBD) (SAC) b. Tính độ dài đường cao của hình chóp. c. Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy. Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tâm tại A, SA = AB = AC = a SA đáy a. Gọi I là trung điểm BC. Chứng minh BC (SAI) b. Tính SI c. Tính góc giữa (SBC) và mặt đáy. Bài 4:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA (ABCD) . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD. a. Chứng minh BC (SAB), BD (SAC) b. Chứng minh SC (AHK) c. Chứng minh HK (SAC) Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tâm O và SA = SC, SB = SD. a. Chứng minh SO (ABCD) b. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh IKSD Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O, SA = a và SA (ABCD) . a. Tính khoảng cách từ A đến (SBD). b. Chứng minh (SBC) (SAB) c. Tính khoảng cách từ C đến (SBD). Bài 7: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng a, SA = a, SA vuông góc với cạnh BC, khoảng cách từ S đến cạnh BC là a.Gọi M trung điểm BC. a) CMR: BC vuông góc với (SAM) b) Tính chiều cao của hình chóp c) Dựng và tính đoạn vuông góc chung của SA và BC. Bài 8: Tứ diện S.ABC có góc ABC = 1v, AB = 2a, BC = , SA vuông góc với (ABC), SA = 2a.Gọi M là trung điểm của AB. a)Tính góc giữa (SBC) và (ABC). b)Tính đường cao AK của tam giác AMC c)Tính góc giữa (SMC) và (ABC). d)Tính khoảng cách từ A đến (SMC) Bài 9:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD lần lượt là H, K. a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp S.ABCD là các tam giác vuông. b) Chứng minh AH và AK cùng vuông góc với SC. b) Mặt phẳng (AHK) cắt đoạn thẳng SC tại I, chứng minh HK vuông góc với AI. Bài 10:Cho tư diện S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại B. a) Chứng minh đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (SAB); b) Gọi AH là đường cao của tam giác SAB. Chứng minh AH vuông góc với mặt phẳng (SBC). Bài 11:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O; gọi I, J lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC. Biết SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng: a) Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD). b) Đường thẳng IJ vuông góc với mặt phẳng (SBD). Bài 12:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Mặt SAB là tam giác cân tại S và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Chứng minh rằng: a)BC và AD cùng vuông góc với mặt phẳng (SAB). b)SI vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Bài 13:Cho hình thoi ABCD tâm O; gọi S là một điểm trong không gian sao cho hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) vuông góc với nhau. Chứng minh SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD). §4. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC ™ª˜ TÓM TẮT GIÁO KHOA 1.Góc giữa hai mặt phẳng: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì ta nói rằng góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 00. *Xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau: Cho hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến c.Từ một điểm I bất kì trên c ta dựng đường thẳng a trong vuông góc với c và dựng đường thẳng b trong vuông góc với c.Khi đó góc giữa là góc giữa hai đường thẳng a và b. *Diện tích hình chiếu của đa giác: (với S là diện tích đa giác nằm trong ,S/ là diện tích hình chiếu vuông góc của đa giác đó trên , là góc giữa . 2.Hai mặt phẳng vuông góc: 1)Định nghĩa:Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng đó là một góc vuông.Khi đó ta kí hiệu . 2)Tính chất: a)Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. b)Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia. c)Cho hai mặt phẳng vuông góc với nhau.Nếu từ một điểm thuộc mặt phẳng ta dựng một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì đường thẳng này nằm trong mặt phẳng . d)Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng đó. 3.Hình lăng trụ đứng,hình hộp chữ nhật,hình lập phương Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Hình hộp chữ nhật là hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật. Hình lập phương là hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông và các mặt bên đều là hình vuông. 4.Hình chóp đều và hình chóp cụt đều: Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều và chân của đường cao trùng với tâm của đa giác đáy. Phần của hình chóp đều nằm giữa đáy và một thiết diện song song với đáy cắt tất cả các cạnh bên của hình chóp đều đó được gọi là hình chóp cụt đều. Hai đáy của hình chóp cụt đều là hai đa giác đều,đồng dạng với nhau. DẠNG TOÁN -Dạng 1:Xác định góc giữa hai mặt phẳng. -Dạng 2:Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc. -Dạng 3:Vận dụng tính chất của lăng trụ đứng,hình hộp,hình chóp đều,chóp cụt đều vào giải một số bài toán. C.VÍ DỤ MẪU Ví dụ 1:Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy và đáy là hình chữ nhật. a)Xác định góc giữa mặt phẳng (SCB) và (ABCD). b)Chứng minh :( SAB) vuông góc (SAD). Ví dụ 2:Cho biết mệnh đề nào sau đây là đúng +Hình hộp là hình lăng trụ đứng. +Hình hộp chữ nhật là lăng trụ đứng. +Lăng trụ là hình hộp. +Có lăng trụ không là hình hộp. Ví dụ 3:Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều và các cạnh bên bằng nhau có là hình chóp đều không?Vì sao? Ví dụ 4:Hình chóp cụt tam giác có hai đáy là tam giác đều có phải là hình chóp cụt đều không? Ví dụ 5:Cho tam giác ABC và mặt phẳng (P).Biết góc giữa (P) và mp (ABC) là .Hình chiếu (vuông góc) của tam giác ABC trên (P) là tam giác A/B/C/.Gọi S và S/ theo thứ tự là diện tích của các tam giác ABC và A/B/C/.Chứng minh: D.BÀI TẬP Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mp (ABCD). Gọi M, N là hai điểm lần lượt trên hai cạnh BC, DC sao cho BM = , DN=. Chứng minh hai mp (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau. Bài tập 2: Cho hình vuông ABCD, I là trung điểm của cạnh AB. Trên đường thẳng vuông góc với mp (ABCD) tại I ta lấy một điểm S (S khác I) a)Chứng minh hai mp (SAD) và (SBC) cùng vuông góc với mp (SAB); b) Gọi J là trung điểm của cạnh BC, chứng minh hai mặt phẳng (SBD) và (SIJ) vuông góc với nhau. Bài tập 3:Cho tam giác ABC vuông góc tại A; gọi O, I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AB, AC. T