Bài giảng môn toán: Các dạng toán đếm trọng tâm phần 2

Khóa học TOÁN 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa TOÁN 11 tại www.Moon.vn để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi TSĐH! DẠNG 2. BÀI TOÁN ĐẾM SỐ CÓ ĐIỀU KIỆN Bài 1: Hỏi từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau, sao cho trong các chữ số đó có mặt số 0 và 1. Lời giải: * Soá caùc soá coù 6 chöõ soá khaùc nhau laø: −6 510 10A A = 9.9.8.7.6.5 = 136080 * Soá caùc soá coù 6 chöõ soá khaùc nhau vaø ñeàu khaùc 0 laø: 69A = 9.8.7.6.5.4 = 60480 * Soá caùc soá coù 6 chöõ soá khaùc nhau vaø ñeàu khaùc 1 laø: −6 59 9A A = 8.8.7.6.5.4 = 53760 Vaäy soá caùc soá coù 6 chöõ soá khaùc nhau trong ñoù ñeàu coù maët 0 vaø 1 laø: 136080 – 60480 – 53760 = 21840 soá. Bài 2: Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5. Lời giải: * Tröôùc heát ta tìm soá caùc soá goàm 4 chöõ soá khaùc nhau: Coù 4 khaû naêng choïn chöõ soá haøng ngaøn (khoâng choïn chöõ soá 0) Coù 34A khaû naêng choïn 3 chöõ soá cuoái. ⇒ Coù 4. 34A = 4.4! = 96 soá. * Tìm soá caùc soá goàm 4 chöõ soá khaùc nhau vaø chia heát cho 5: Neáu chöõ soá taän cuøng laø 0: coù 34A = 24 soá Neáu chöõ soá taän cuøng laø 5: coù 3 khaû naêng choïn chöõ soá haøng nghìn, coù 23A = 6 khaû naêng choïn 2 chöõ soá cuoái. Vaäy coù 3.6 = 18 soá Do ñoù coù 24 + 18 = 42 soá goàm 4 chöõ soá khaùc nhau vaø chia heát cho 5. Vaäy coù: 96 – 42 = 54 soá goàm 4 chöõ soá khaùc nhau vaø khoâng chia heát cho 5. Bài 3: Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Từ các chữ số đã cho ta có thể lập được: 1. Bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số và bốn chữ số đó khác nhau từng đôi một. 2. Bao nhiêu số chia hết cho 5, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng đôi một. 3. Bao nhiêu số chia hết cho 9, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng đôi một. Lời giải: 1. Soá chaün goàm boán chöõ soá khaùc nhau coù daïng: abc0 hoaëc abc2 hoaëc abc4 * Vôùi soá abc0 ta coù: 5 caùch choïn a, 4 caùch choïn b, 3 caùch choïn c. ⇒ Coù 5.4.3 = 60 soá * Vôùi soá abc2 hoaëc abc4 ta coù: 4 caùch choïn a, 4 caùch choïn b, 3 caùch choïn c. ⇒ Coù 4.4.3 = 48 soá abc2 vaø 48 soá abc4 Vaäy coù: 60 + 48 + 48 = 156 soá chaün. 2. Soá chia heát cho 5 vaø goàm ba chöõ soá coù daïng ab0 hoaëc ab5 . * Vôùi soá ab0 ta coù: 5 caùch choïn a, 4 caùch choïn b. ⇒ Coù 5.4 = 20 soá * Vôùi soá ab5 ta coù: 4 caùch choïn a, 4 caùch choïn b. ⇒ Coù 4.4 = 16 soá Vaäy coù: 20 + 16 soá caàn tìm. 3. Goïi abc laø soá chia heát cho 9 goàm ba chöõ soá khaùc nhau. Khi ñoù {a,b,c} coù theå laø: {0,4,5}, {1,3,5}, {2,3,4}. * Khi {a,b,c} = {0,4,5} thì caùc soá phaûi tìm laø: 405, 450, 504, 540 CÁC DẠNG TOÁN ĐẾM TRỌNG TÂM – P2 Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học TOÁN 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa TOÁN 11 tại www.Moon.vn để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi TSĐH! → coù 4 soá * Khi {a,b,c} = {1,3,5} hay {2,3,4} thì soá phaûi tìm laø hoaùn vò cuûa 3 phaàn töû → coù 3! = 6 soá. Vaäy coù: 4 + 6 + 6 = 16 soá caàn tìm. Bài 4: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 ta lập các số mà mỗi số có năm chữ số trong đó các chữ số khác nhau từng đôi một. Hỏi 1. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt chữ số 2. 2. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt hai chữ số 1 và 6. Lời giải: Xeùt soá naêm chöõ soá 1 2 3 4 5a a a a a 1. Xeáp chöõ soá 2 vaøo moät trong naêm vò trí: coù 5 caùch xeáp Sau ñoù xeáp 5 chöõ soá coøn laïi vaøo 4 vò trí coøn laïi: coù 45A = 120 caùch. Vaäy coù 5.120 = 600 soá. 2. Xeáp caùc chöõ soá 1 vaø 6 vaøo 5 vò trí: coù 25A caùch. Xeáp 4 chöõ soá coøn laïi vaøo 3 vò trí coøn laïi: coù 34A = 24 caùch. Vaäy coù 25A . 3 4A = 480 soá. Bài 5: Với các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và trong đó phải có mặt chữ số 0. Lời giải: Soá caùc soá töï nhieân goàm 4 chöõ soá khaùc nhau ñöôïc vieát töø 6 chöõ soá: 0, 1, 2, 3, 4, 5 laø: 5. 35A = 300 Trong caùc soá noùi treân, soá caùc soá töï nhieân khoâng coù maët chöõ soá 0 laø: 45A = 120 Vaäy soá caùc soá töï nhieân thoaû maõn yeâu caàu laø: 300 – 120 = 180 soá. Bài 6: Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4. Lời giải: Giaû söû soá caàn tìm coù daïng: A = 1 2 3 4 5 6a a a a a a . +) Neáu a1 = 4 thì caùc chöõ soá coøn laïi cuûa A laø moät trong 7 chöõ soá 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7. Vaäy coù 57A = 2520 soá. +) Neáu a1 ≠ 4 thì vì a1 ≠ 0 neân chæ coù 6 caùch choïn a1. Vì soá 4 phaûi coù ñuùng moät trong 5 vò trí coøn laïi laø a2, a3, a4, a5, a6. Khi ñoù caùc vò trí khaùc (khoâng coù chöõ soá 4) seõ chæ coøn 46A soá khaùc nhau. Vaäy tröôøng hôïp naøy coù 6.5. 46A = 10800 soá. Vaäy taát caû coù: 2520 + 10800 = 13320 soá. Bài 7: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 5 chữ số khác nhau và trong đó phải có chữ số 5. Lời giải: Ta söû duïng 5 oâ sau ñeå vieát soá coù 5 chöõ soá: • Tröôøng hôïp 1: Soá taïo thaønh chöùa chöõ soá 0: Coù 4 caùch choïn vò trí cho chöõ soá 0. Sau ñoù coøn 4 caùch choïn vò trí cho chöõ soá 5. Soá caùch choïn 3 chöõ soá coïn laïi laø: 35A ⇒ Soá caùc soá thu ñöôïc laø: 4.4. 35A = 960 soá • Tröôøng hôïp 2: Soá taïo thaønh khoâng chöùa soá 0: Coù 5 caùch choïn vò trí cho chöõ soá 5. Soá caùch choïn 4 chöõ soá coøn laïi laø: 45A ⇒ Soá caùc soá thu ñöôïc laø: 5. 45A = 600 soá. Vaäy coù taát caû: 960 + 600 = 1560 soá. Bài 8: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể thiết lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau? Lời giải: Soá caùc soá goàm 6 chöõ soá khaùc nhau laø: 6! = 720 Trong ñoù, soá caùc soá coù chöùa 16 laø 5! = 120 Khóa học TOÁN 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa TOÁN 11 tại www.Moon.vn để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi TSĐH! soá caùc soá coù chöùa 61 laø 5! = 120 Vaäy soá caùc soá caàn tìm laø: 720 – 240 = 480 soá. Bài 9: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có 9 chữ số mà chữ số 9 đứng ở vị trí chính giữa? Lời giải: Ta chæ coù 1 caùch choïn vò trí cho chöõ soá 9. Khi ñoù soá caùch xeáp 8 chöõ soá coøn laïi laø 8! Vaäy taát caû coù: 8! = 40320 soá. Bài 10: Tính tổng tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một được lập từ 6 chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8. Lời giải: Kí hieäu X laø taäp hôïp taát caû caùc soá töï nhieân goàm 5 chöõ soá khaùc nhau ñoâi moät laäp töø 6 chöõ soá 1, 3, 4, 5, 7, 8. Xeùt x = 1 2 3 4 5a a a a a ∈ X. Neáu choïn a5 = 1 thì 1 2 3 4a a a a öùng vôùi moät chænh hôïp chaäp 4 cuûa 5 phaàn töû 3, 4, 5, 7, 8 ⇒ coù 4 5A soá coù chöù haøng ñôn vò laø 1. Töông töï coù 45A soá coù chöù haøng ñôn vò laø 3; … ⇒ Toång taát caû chöõ soá haøng ñôn vò cuûa caùc phaàn töû x ∈ X laø: (1 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8). 45A = 3360. Laäp luaän töông töï, toång taát caû chöõ soá haøng chuïc cuûa caùc phaàn töû x ∈ X laø: 3360.10; … Vaäy toång taát caû caùc phaàn töû cuûa X laø: S = 3360 + 3360.10 + 3360.100 + 3360.1000 + 3360.10000 = 3360.11111 = 3732960. Bài 11: 1. Có bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. 2. Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 mà các số đó nhỏ hơn số 345. Lời giải: 1. Xeùt caùc soá chaün x = abc vôùi 3 chöõ soá khaùc nhau; a, b, c ∈ {1;2;3;4;5} = E. Vì x chaün neân c ∈ {2;4} ⇒ coù 2 caùch choïn c. Vôùi moãi caùch choïn c, coù 24A caùch choïn bc . Vaäy taát caû coù: 2. 24A = 24 soá chaün. 2. Xeùt x = abc vôùi 3 chöõ soá khaùc nhau thuoäc E = {1;2;3;4;5;6} * Neáu a ≥ 4 thì x > 345. * Neáu a = 1 hoaëc 2 thì vôùi moïi chænh hôïp chaäp 2 (b,c) cuûa E \ {a} ta ñeàu coù x = abc < 345. Loaïi naøy coù: 2. 25A = 40 soá. * Neáu a = 3 thì x = 3bc < 345 ⇔ { } = ∈  = = b 1hoaëc 2; c E \ a,b b 4; c 1hoaëc 2 Loaïi naøy coù: 2.4 + 1.2 = 10 soá. Vaäy coù taát caû: 40 + 10 = 50 soá. Bài 12: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau và không lớn hơn 789? Lời giải: Ta xeùt caùc tröôøng hôïp sau: 1. Chöõ soá haøng ñôn vò laø 2, 4, 6 ⇒ coù 3 caùch choïn chöõ soá haøng ñôn vò. a) Chöõ soá haøng traêm nhoû hôn 7: Khi ñaõ choïn chöõ soá haøng ñôn vò, ta coøn 5 caùch choïn chöõ soá haøng traêm. Sau khi ñaõ choïn chöõ soá haøng ñôn vò vaø haøng traêm, ta coøn 7 caùch choïn chöõ soá haøng chuïc. ⇒ Soá caùc soá thu ñöôïc laø: 3.5.7 = 105 soá. b) Chöõ soá haøng traêm baèng 7: Sau khi choïn chöõ soá haøng ñôn vò, ta coøn 6 caùch choïn chöõ soá haøng chuïc. ⇒ Soá caùc soá thu ñöôïc laø: 3.6 = 18 soá. 2. Chöõ soá haøng ñôn vò laø 8: a) Chöõ soá haøng traêm nhoû hôn 7: coù 6 caùch choïn chöõ soá haøng traêm. Sau khi ñaõ choïn chöõ soá haøng traêm, ta coøn 7 caùch choïn chöõ soá haøng chuïc. Khóa học TOÁN 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa TOÁN 11 tại www.Moon.vn để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi TSĐH! ⇒ Soá caùc soá thu ñöôïc laø: 6.7 = 42 soá. b) Chöõ soá haøng traêm baèng 7: coù 6 caùch choïn chöõ soá haøng chuïc. ⇒ Soá caùc soá thu ñöôïc laø: 6 soá. Vaäy taát caû coù: 105 + 18 + 42 + 6 = 171 soá. Bài 13: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3. Lời giải: Ta coi caëp (2;3) chæ laø moät phaàn töû “keùp”, khi ñoù chæ coù 5 phaàn töû laø 0, 1, (2; 3), 4, 5. Soá hoaùn vò cuûa 5 phaàn töû naøy laø P5, phaûi loaïi tröø soá tröôøng hôïp phaàn töû 0 ôû vò trí ñaàu goàm P4 tröôøng hôïp. Chuù yù raèng ñoái vôùi phaàn töû keùp, ta coù theå giao hoaùn neân soá tröôøng hôïp seõ ñöôïc nhaân ñoâi. Neân soá caùc soá töï nhieân thoaû maõn ñeà baøi laø: 2(P5 – P4) = 192 soá. Bài 14: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số và thoả mãn điều kiện: sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 chữ số cuối một đơn vị. Lời giải: Coi soá töï nhieân goàm 6 chöõ soá khaùc nhau ñöôïc choïn töø taäp 6 chöù soá ñaõ cho coù daïng: 1 2 3 4 5 6a a a a a a (ai ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}; ai ≠ aj ) sao cho: a1 + a2 + a3 = a4 + a5 + a6 – 1 ⇔ a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 2(a4 + a5 + a6) – 1 ⇔ 21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 2(a4 + a5 + a6) – 1 ⇔ a4 + a5 + a6 = 11 ⇒ a1 + a2 + a3 = 10 (1) Vì a1, a2 a3 ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} neân heä thöùc (1) chæ coù theå thoaû maõn trong 3 khaû naêng sau: • a1, a2, a3 ∈ {1; 3; 6} • a1, a2, a3 ∈ {1; 4; 5} • a1, a2, a3 ∈ {2; 3; 5} Moãi boä soá a1, a2, a3 neâu treân taïo ra 3! hoaùn vò, vaø moãi hoaùn vò ñoù laïi ñöôïc gheùp vôùi 3! hoaùn vò cuûa boä soá a4, a5, a6 . Vì vaäy toång coäng soá caùc soá töï nhieân goàm 6 chöõ soá thoaû maõn yeâu caàu ñeà baøi laø: 3.3!.3! = 108 soá. Bài 15: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau? Lời giải: Caùc soá phaûi laäp laø chaün neân phaûi coù chöõ soá ñöùng cuoái cuøng laø 0 hoaëc 2, 4, 6, 8. • Tröôøng hôïp chöõ soá ñöùng cuoái laø 0: thì 6 chöõ soá coøn laïi laø moät chænh hôïp chaäp 6 cuûa 8 phaàn töû. Do ñoù coù 68A soá thuoäc loaïi naøy. • Tröôøng hôïp chöõ soá ñöùng cuoái laø moät trong caùc chöõ soá 2, 4, 6, 8: thì 6 chöõ soá coøn laïi laø moät chænh hôïp chaäp 6 cuûa 8 phaàn töû (keå caû soá coù chöõ soá 0 ñöùng ñaàu). Vaäy soá caùc soá loaïi naøy laø: 4. ( )−6 58 7A A . Vaäy taát caû coù: 68A + 4. ( )−6 58 7A A = 90720 soá. Bài 16: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 245. Lời giải: Goïi soá caàn tìm laø: x = 1 2 3a a a Vì x < 245 neân a1 = 1 hoaëc a1 = 2 • a1 = 1: x = 2 31a a a2, a3 laø chænh hôïp chaäp 2 cuûa 4 phaàn töû: 2, 3, 4, 5 ⇒ Coù: 24A = 4.3 = 12 soá • a1 = 2: x = 2 32a a a2 coù 2 khaû naêng: * a2 < 4 ⇒ a2 ∈ {1, 3} ⇒ a2 coù 2 caùch choïn, a3 coù 3 caùch choïn trong 3 soá coøn laïi ⇒ Coù 2.3 = 6 soá * a2 = 4; a3 ≠ 5, 2, 4 ⇒ a3 coù 2 caùch choïn ⇒ Coù 2 soá ⇒ Coù 6 + 2 = 8 soá x = 2 32a a Vaäy coù taát caû: 12 + 8 = 20 soá thoaû yeâu caàu ñeà baøi. Bài 17: Từ 5 chữ số 0, 1, 2, 5, 9 có thể lập được bao nhiêu số lẻ, mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau. Khóa học TOÁN 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa TOÁN 11 tại www.Moon.vn để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi TSĐH! Lời giải: Soá caàn tìm coù daïng: 1 2 3 4a a a a . Choïn a4 töø {1, 5, 9} ⇒ coù 3 caùch choïn. Choïn a1 töø {0, 1, 2, 5, 9} \ {0, a4} ⇒ coù 3 caùch choïn. Choïn a2 töø {0, 1, 2, 5, 9} \ {a1, a4} ⇒ coù 3 caùch choïn. Choïn a3 töø {0, 1, 2, 5, 9} \ {a1, a2, a4} ⇒ coù 2 caùch choïn. Vaäy taát caû coù: 3.3.3.2 = 54 soá thoaû maõn yeâu caàu ñeà baøi. Bài 18: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn bằng 8. Lời giải: Goïi x = 1 2 3 4 5 6a a a a a a laø soá caàn laäp. YCBT: a3 + a4 + a5 = 8 ⇒ a3, a4, a5 ∈ {1, 2, 5} hoaëc a3, a4, a5 ∈ {1, 3, 4} a) Khi a3, a4, a5 ∈ {1, 2, 5} • Coù 6 caùch choïn a1 • Coù 5 caùch choïn a2 • Coù 3! caùch choïn a3, a4, a5 • Coù 4 caùch choïn a6 ⇒ Coù: 6.5.6.4 = 720 soá x. b) Khi a3, a4, a5 ∈ {1, 3, 4}, töông töï ta cuõng coù 720 soá x. Vaäy taát caû coù: 720 + 720 = 1440 soá x. Bài 19: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có 2 chữ số 1, 5. Lời giải: • Caùch 1: Goïi x = 1 2 3 4 5a a a a a laø soá caàn laäp. Tröôùc tieân ta coù theå xeáp 1 vaø 5 vaøo 2 trong vò trí: coù 25A = 20 caùch. Sau ñoù, ta coù 5 caùch choïn 1 chöõ soá cho vò trí coøn laïi ñaàu tieân. 4 caùch choïn 1 chöõ soá cho vò trí coøn laïi thöù hai. 3 caùch choïn 1 chöõ soá cho vò trí coøn laïi thöù ba. Vaäy taát caû coù: 20.5.4.3 = 1200 soá. • Caùch 2: * Böôùc 1: Xeáp 1, 5 vaøo 2 trong 5 vò trí: coù 25A = 20 caùch. * Böôùc 2: coù 35A = 60 caùch xeáp 3 trong 5 soá coøn laïi vaøo 3 vò trí coøn laïi. Vaäy coù 20.60 = 1200 soá. Bài 20: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong đó chữ số 0 có mặt đúng 2 lần, chữ số 1 có mặt đúng 1 lần và hai chữ số còn lại phân biệt? Lời giải: Choïn 2 vò trí xeáp chöõ soá 0: coù 24C caùch. Choïn 1 vò trí xeáp chöõ soá 1: coù 3 caùch. Choïn 2 chöõ soá xeáp vaøo 2 vò trí coøn laïi: coù caùch. Vaäy taát caû coù: 24C .3. 2 8A = 1008 soá thoaû yeâu caàu ñeà baøi.