Bài giảng môn Phương pháp tính (Mới)

Euler Ta chia đoạn [x0; X] thành n phần bằng nhau bằng các điểm chia xi = x0 + ih, trong đó h = 0 X x n  . Khi đó nghiệm gần đúng của bài toán Cô si đƣợc xác định qua các giá trị ui nhƣ sau: 0 0 0 1 ( ) . ( ; )i i i i u y y x u u h f x u         3. Sự hội tụ và sai số Ta gọi ei = ui - y(xi) là sai số của phƣơng pháp Euler tại điểm xi. Khi đó Định nghĩa: Nếu tại xi xác định, ei  0 khi h  0 thì ta nói rằng phƣơng pháp Euler hội tụ. Ta gọi ui là giá trị gần đúng của y(xi). Định lý: Giả sử f L y    ; "y K , trong đó L và K là các hằng số thì phƣơng pháp Euler hội tụ và  0( )i i ie u y x M e ah    , trong đó 0 ( )iL x xM e  và 2 K a  4. Thí dụ: Giải bài toán Cô si sau đây bằng phƣơng pháp Euler 2 ' (0) 1 x y y y y       Với 0  x  1 5. Phƣơng pháp Euler cải tiến: Phƣơng pháp Euler có độ chính xác cấp một, tức là tuyến tính so với bƣớc chia h. Để tăng độ chính xác của phƣơng pháp Euler, ta dùng công thức sau: (0) 1 . ( , )i i i iu u h f x u   ( ) ( 1) 1 1 1[ ( , ) ( , )] 2 m m i i i i i i h u u f x u f x u      , với , 1i o n  , m = 1, 2, ... Công thức này có độ chính xác cấp 2, tức là tốt hơn công thức Euler. 5.3. Phƣơng pháp Runger-Kutta 1. Mở đầu Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính 43 Phƣơng pháp Runge-Kutta là phƣơng pháp có độ chính xác cao và cũng là phƣơng pháp hiện nhƣ phƣơng pháp Euler. Nếu phƣơng pháp EWuler chỉ có độ chính xác cấp một thì phƣơng pháp Ruge-Kutta có độ chính xác cấp bốn. 2. Công thức tính nghiệm gần đúng của bài toán Cô si bằng phƣơng pháp Ruge-Kutta u0 = y(x0) =  k1 = h.f(xi; ui) k2 = h.f(xi+0,5h; ui+0,5k1) k3 = h.f (xi+0,5h; ui+0,5k2) k4 = h.f(xi+h; ui+k3) ui+1 = ui + 1 6 (k1 + 2k2 + 2k3 + k4) NX: So với phƣơng pháp Euler, phƣơng pháp Ruge-Kutta có khối lƣợng tính toán tăng gấp 5 lần. BÀI TẬP Bài 1. Cho bài toán Côsi: y' = 2xy, 0  x  2, y(0) = 1. Giải gần đúng bài toán bằng phƣơng pháp chuỗi Taylo đến đạo hàm cấp 3. Bài 2. Cho bài toán Côsi: y' = x 2 + y 2 + 4, 0  x  1, y(0) = 2. Giải gần đúng bài toán bằng phƣơng pháp Ơ-le với n = 10. TRẢ LỜI 1. Áp dụng công thức: 2 30 '(0) "(0) '''(0) 1 2 6 y y y y y x x x    2. Chia đoạn [0, 1] thành 10 phần bằng các điểm chia: xi = x0 + ih = ih, trong đó h = 0 1 0 1 0,1 10 10 X x n      . Sau đó áp dụng công thức: ui+1 = ui + h.f(xi; ui) Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính 44 ĐỌC THÊM CHƢƠNG 6 TÍNH GẦN ĐÖNG NGHIỆM CỦA MỘT HỆ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 6.1. Mở đầu 1. Dạng tổng quát của một hệ đại số tuyến tính Môṭ hê ̣đaị số tuyến tính có thể có m phƣơng trình n ẩn . ở đây ta chỉ xét những hệ có n phƣơng trình ẩn: a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = f1 a21x2 + a22x2 + ... + a2nxn = f2 ... ... an1x1 + an2x2 + ... + annxn = fn Trong đó: aij là hệ số của ẩn x j của phƣơng trình i , fi là vế phải của phƣơng trình thứ i . Giả sửa đã biết aij và fi ta phải tìm các ẩn xj. Ma trâṇ (3.2) Gọi là ma trận hệ số của hệ (3.1). Các vectơ: (3.3) Đƣợc gọi l à vectơ vế phải và vectơ ẩn của hệ . Sau này để tiết kiêṃ giấy, thay cho cách viết trên ta có thể viết. f = (f1, f2, ... fn) T , x = (x1, x2, ..., xn) t . Biết rằng tích của ma trâṇ A với vectơ x, viết là Ax, là một vectơ có tọa độ thứ i là: Đó chính là vế trái của phƣơng trình thƣ́ i của hê ̣(3.1) Vâỵ hê ̣(3.1), có thể viết ở dạng vectơ hay dạng ma trận nhƣ sau: Ax - f (3.4). (3.1) Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính 45 2. Sƣ ̣tồn taị và duy nhất nghiêṃ của hê ̣ Gọi định thức của ma trận A là định thức của hệ , viết là  :  = det (A). Nếu  = 0 ta nói ma trận A suy biến và hệ (3.1), tƣ́c là (3.4) là hệ suy biến. Gọi i là định thức suy từ  bằng cách thay côṭ thƣ́ i bởi côṭ vế phải. Ta có điṇh lý sau: Điṇh lý 3.1. (Crame): Nếu   0 tƣ́c là nếu hê ̣không suy biến thì hê ̣ (3.1) có nghiệm duy nhất cho bởi công thƣ́c: 3. Chú thích: Kết quả này rất goṇ và rất đep̣ về măṭ lý thuyết nhƣng tính nghiêṃ bằng công thƣ́c (3.5) rất đắt nghiã là mất rất nhiều công , số các phép tính sơ cấp (+, -, x, : ) cần thiết là vào cỡ (n + 1)! n. Ký hiệu số đó là Nc(n) ta có: NC(n)  (n + 1)!n Với n = 15 ta có N C(15)  3.10 14 . Đây là môṭ số rất lớn . Sau đây ta trình bày môṭ phƣơng pháp khác tiết kiêṃ đƣơc̣ công tính rất nhiều. đó là phƣơng pháp Gaoxơ. Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính 46 6.2. Phƣơng pháp Gaoxơ (Gauss) 1. Phƣơng pháp Gaoxơ Phƣơng pháp gaoxơ dùng cách khƣ̉ dần các ẩn để đƣa hê ̣đa ̃cho về môṭ hê ̣có daṇg tam giác trên rồi giải hệ tam giác này từ dƣới lên trên, không phải tính môṭ điṇh thƣ́c nào. Lấy môṭ thí dƣ ̣đơn giản: xét hệ 2x1 + x2 = 1 4x1 + 6x2 = 3 Khƣ̉ x1 khỏi phƣơng trình thứ hai ta đƣợc 2x1 + x2 = 1 4x2 = 1 Hê ̣này có daṇg tam giác. Giải nó từ dƣới lên ta đƣợc x2 = 0,25 x1 = (1 - x2)/2 = 0,375 Ta thấy rằng cách giải bài toán cũng khá đơn giản . Nhƣng nếu hê ̣có nhiều phƣơng trình nhiều ẩn thì vấn đề trở nên phức tạp hơn nhiều. Để trình bày phƣơng pháp gaoxơ cho dê ̃hiểu ta chỉ xét hê ̣gồm 3 phƣơng trình 3 ẩn để suy ra các thƣ́c tính, các công thức này suy rộng đƣợc cho trƣờng hợp n phƣơng trình n ẩn Xét hệ: a11x1 + a12x2 + a13x3 = a14 (3.6a) a21x1 + a22x2 + a23x3 = a24 (3.6b) a31x1 + a32x2 + a33x3 = a34 (3.6c) Hê ̣tam giác mà ta mong muốn có daṇg x1 + b12x2 + b13x3 = b14 x2 + b23x3 = b24 x3 = b34 Các số hạng ở vế phải ta viết là ai4 và bi4 là cốt để viết các công thức sau này tiện lợi. Quá trình khử để đƣa hệ (3.6) về daṇg (3.7) gọi là quá trình xuôi ; quá trình giải hệ (3.7) gọi là quá trình ngƣợc. 2. Quá trình xuôi. Bƣớc 1: Khƣ̉ x1. Giả sử a 11 ở (3.6a)  0 ta goị nó là tru ̣thƣ́ nhất và chia phƣơng trì nh (3.6a) cho a11, ta đƣơc̣ (3.9) (3.7) Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính 47 Ta dùng (3.8) để khử x1 khỏi các phƣơng trình (3.6b) và (3.6c). Để khƣ̉ x1 khỏi (3.6b), ta nhân (3.8) với a21 (hê ̣số của x1 ở 3.6b): a21x1 + a21 Rồi lấy phƣơng trình (3.6b) trƣ̀ phƣơng trình này ta đƣơc̣: Để khƣ̉ x1 khỏi (3.6c) ta cũng làm tƣơng tƣ:̣ Nhân (3.8) với a31 (hê ̣số của x1 ở 3.6c)). Rồi lấy (3.6c) trƣ̀ phƣơng trình này: Đến đây hai phƣơng trình (3.10) và (3.12) không chƣ́a x1 nƣ̃a. Chúng tạo thành một hệ gồm hai phƣơng trình hai ẩn x 2 và x3, tƣ́c là có số ít đi môṭ so với số ẩn của hê ̣ban đầu. Ta lăp̣ laị viêc̣ làm trên để khƣ̉ x2 khỏi (3.12). Bƣớc 2: Khƣ̉ x2. Giả sử ở (3.10)  0, ta goị nó là tru ̣thƣ́ hai và chia (3.10) cho . Nhân (3.14) với ở (3.12) (hê ̣số của x2 ở (3.12)). Lấy (3.12) trƣ̀ phƣơng trình này: (3.16) (3.17) Phƣơng trình (3.16) không có x2 nƣ̃ Bƣớc 3: (bƣớc cuối cùng đối với hê ̣3 ẩn) Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính 48 Giả sử ở (3.16)  0. Ta chia (3.16) cho (3.18) (3.19) Bây giờ ta ghép các phƣơng trình (3.8) (3.14) và (3.18 lại ta sẽ đƣợc hệ tam giác dạng (3.7) (3.20a) (3.20b) (3.20c) 3. Quá trình ngƣợc. Giải hệ tam giác. Tƣ̀ (3.20c) ta có x3, thay x3 ấy vào (3.20b) ta có x2, rồi thay x 3, x2 ấy vào (3.20a) ta có x1: Vâỵ là hê ̣(3.6) đa ̃giải xong mà không phải tính môṭ điṇh thƣ́c nào. 4. Thí dụ: Xét hệ : 2x1 + 4x2 + 3x3 = 4 (3.22a) 3x1 + x2 - 2x3 = - 2 (3.22b). 4x1 + 11X2 + 7x3 = 7 (3.22c) a) Quá trình xuôi : Bƣớc 1: Khƣ̉ x1. Chia (3.22a) cho a11 = 2 (hê ̣số  0 của x1 ở (3.22a)): x1 + 2x2 + 1,53 = 2 (3.23) Nhân (3.23) với 3 (hê ̣số của x1 ở (3.22b)) rồi trƣ̀ khỏi (3.22b). - 5x2 - 6,5x3 = - 8 (3.24) Nhân (3.23) với 4 (hê ̣số của x1 ở (3.22c)) rồi trƣ̀ khỏi (3.22c) 3x2 + x3 = 1 (3.25) Ta đƣơc̣ hê ̣2 phƣơng trình 2 ẩn x2, x3 : (3.24) (3.25). Bƣớc 2: Khƣ̉ x2 khỏi (3.25). chia (3.24 cho -5 (hê ̣số  0) của x2 ở 3.24): x2 + 1,3x3 = 1,6 (3.26). Nhân (3.26) với 3 hê ̣số của x2 ở (3.25)) rồi trƣ̀ khỏi (3.25): Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính 49 - 2,9x3 = - 5,8 (3.27). Bƣớc 3: (bƣớc cuối cùng của quá trình xuôi): Chia (3.27) cho (-2,9) (hê ̣số  của x3 ở đó): x3 = 2 (3.28). Ghép các phƣơng trình (3.23) (3.26) (3.28) lại: x1 + 2x2 + 1,5x3 = 2 x2 + 1,3x3 = 1,6 x3 = 2 Vâỵ xong quá trình xuôi. b) Quá trình ngƣợc : Giải hệ tam giác (3.23) (3.26) (3.28) tƣ̀ dƣới: x3 = 2 x2 = 1,6 - 1,3x3 = - 1 x1 = 2 - 2x2 + 1,5x3 = 1 Vâỵ nghiêṃ của hê ̣là x1 = 1 ; x2 = -1 ; x3 = 2. Quá trình tính toán ở trên có thể ghi tóm tắt vào bảng 3.1. Hê ̣số của x1 Hê ̣số của x2 Hê ̣số của x3 Vế phải Phƣơng trình 2 3 4 4 1 11 3 -2 7 4 -2 7 (3.22a) (3.22b) (3.22c) 1 2 -5 3 1,5 -6,5 1 2 -8 1 (3.23) (3.24) (3.25) 1,3 -2,9 1,6 -5,8 (2.26) (3.27) 1 2 2 -1 1 (3.28) 5. Chọn trụ tối đa Trong quá trình xuôi của phƣơng pháp gaoxơ ta đa ̃phải giả thiết a 11  0,  0,  0. Nếu môṭ trong các hê ̣số đố bằng không thì quá trình tính không tiếp tuc̣ đƣơc̣ . Lúc đó ta phải thay đổi cách tính . Giả sử khi khử x 1 ở các phƣơng trình ở dƣới , ta nhìn các hê ̣số Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính 50 a21, a31, của x1 ở các phƣơng trình ở dƣới, nếu có cái nào khác không ta có thể lấy nó thay cho vai trò của a 11bằng cách hoán vi ̣ hai phƣơng trình . Nếu cả ba hê ̣số a 11, a21, a31 đề bằng không thì hê ̣đa ̃cho suy biến . Ta chú ý thêm rằng khi chia cho môṭ số thì s ai số tính toán càng bé khi số chia có trị tuyệt đối càng lớn . Vì vậy để hạn chế bớt sai sối tính toán ta chọn trong các số a11, a21, a31 số có tri ̣ tuyêṭ đối lớn nhất làm tru ̣thƣ́ nhất goị là tru ̣tối đaị thƣ́ nhất để khƣ̉ x1. Khi khƣ̉ x 2 và x3 ta cũng làm tƣơng tƣ ̣ . Sau đây ta tính theo cách làm đó trên thì dụ đã xét ở trên (xem bảng 3.2) Bảng 3.2 Hê ̣số của x1 Hê ̣số của x2 Hê ̣số của x3 Vế phải 2 3 4 4 1 11 3 -2 7 4 -2 7 4 3 2 11 1 4 7 -2 3 7 -2 4 1 2,75 -7,25 - 1,5 1,75 -7,25 -0,5 1,75 -7,25 0,5 1 1 1 1 1 1 2 -1 1 Chú ý là khi khử x 1 vì 4 = max {|2|, |3|, |4|} nên ta đa ̃hoán vi ̣ dòng thƣ́ nhất với dòng thƣ́ ba ở bảng trên trƣớc khi làm các đôṇg tác để khƣ̉ x1. 6. Chú ý: Cách nhớ các công thức tính . Xét các công thức (3.11) và (3.9). Chúng cho phép tính theo aij. Đaṭ aij = các công thức đó cho: Môṭ cách tƣơng tƣ,̣ các công thức (3.13) và (3.9) cho: Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính 51 Hai công thƣ́c này có thể viết chung thành môṭ : Vị trí của các phần tử ở vế trái sắp xếp thành một hình chữ nhật Hình chữ nhật này có đỉnh trên bên trái là (trụ thứ nhất ) đỉnh dƣới bên phải là (đó là phần tƣ̉ cần biến đổi thành Sau khi đa ̃xác điṇh đƣơc̣ hình chƣ̃ nhâṭ trên thì công thƣ́c tí nh đa ̃viết ở trên phát biểu thành lời nhƣ sau: aij (mới) bằng aij (cũ), trƣ̀ tích của ai1(cũ) nhân với a1j (cũ) chia cho a11(cũ); hay là phần tƣ̉ (mới) nằm ở góc dƣới bên phải bằng phần tƣ̉ (cũ) nằm ở góc dƣới bên phải trƣ̀ tích của phần tƣ̉ (cũ) nằm ở góc dƣới bên trái nhân với phần tƣ̉ (cũ) nằm ở góc trên bên phải chia cho phân tƣ̉ (cũ) nằm ở góc trên bên trái (tƣ́c là phần tƣ̉ tru ̣cũ). Quy tắc này goị là quy tắc hình chƣ̃ nhâṭ . Nó giúp ta dễ nhớ cách tính . Cách tính dƣạ vào (3.17) và (3.15) thông qua cũng có thể nhớ theo quy tắc tƣơng tƣ ̣ Quy tắc hình chƣ̃ nhâṭ có thể giúp ta dê ̃nhớ cách tính theo nhƣ sau: Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính 52 7. Khối lƣơṇg tính và công thƣ́c tính đối với môṭ hê ̣n ẩn. Phƣơng pháp Gaoxơ có thể áp duṇg cho môṭ hê ̣đaị số tuyến tính gồm n phƣơng trình n ẩn. Số các phép tính + , - , x, : phải làm để giải một hê ̣n phƣơng trình n ẩn là : Với n = 15 thì NG(15) = 2570. Số này ít hơn rất nhiều so với NC(15) (xem muc̣ 3 (3.1)). Các công thức tính cho một hệ n phƣơng trình n ẩn phức tạp , ta chỉ nhắc rằng chúng vâñ ở daṇg (3.8) (3.10) (3.12) v.v... nhƣng giá tri ̣ cuối cùng của j ở (3.9) (3.11) (3.13) v.v... phải là n + 1. 8. Sơ đồ tóm tắt phƣơng pháp Gaoxơ. Xét hệ n phƣơng trình n ẩn. a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2 .............................................. .............................................. an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn Khi áp duṇg thƣờng ngƣời ta sƣ̉ duṇg phƣơng pháp Gaoxơ có choṇ tru ̣tối đaị . Cho nên sau đây se ̃trình bầy sơ đồ tóm tắt phƣơng pháp Gaoxơ có choṇ tru ̣tối đaị . Quá trình xuôi: Với k lần lƣơṭ là 1, 2, ..., n - 1. Tìm r để: . Nếu = 0 thì dừng quá trình tính và thông báo: hê ̣suy biến nếu thì đổi chỗ với , j = k, ..., n với Tính : i = k + 1 , k + 2, ..., n j = k + 1, k + 2, ..., n Sau quá trình xuôi ta đƣơc̣ hê ̣tam giác phát triển: Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính 53 ... mà ta viết lại gọn hơn bằng cách bỏ các chỉ số trên thành l11x1 + l12x2 + .... + l1nxn = c1 l22x2 + .... + l2nxn = c2 ................................... lnnxn = cn với Do đó ta có Quá trình ngƣợc: Nếu lnn = 0 thì dừng quá trình tính và thông báo: hê ̣suy biến. Nếu lnn  0 thì tính xn = cn/lnn xn-1 = (cn-1 n xn)/ln - 1 n-1 ... x1 = (c1 - l12x2 - ... - l1n-1xn-1)/l11 9. Chú thích: Phƣơng pháp Gaoxơ cũng cho phép tính điṇh thƣ́c , chẳng haṇ, với điṇh thƣ́c cấp 3, ta có theo mục 2 (3.2). Cụ thể, theo thí du ̣ở 4 (3.2). Phƣơng pháp Gaoxơ cũng cho pohép tính ma trâṇ nghic̣h đoả , nhƣng chúng ta không trình bày ở đây. Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính 54 6.3. Phƣơng pháp lăp̣ đơn 1. Mô tả phƣơng pháp Phƣơng pháp Gaoxơ thuôc̣ loaị phƣơng pháp đúng , thƣ́c là nếu các phép tính sơ cấp làm đúng hoàn toàn thì cuối cùng ta đƣơc̣ nghiêṃ đúng của hê ̣ . Ngƣời ta còn nói nó thuôc̣ loại phƣơng pháp trực tiếp. Ngoài ra còn một loại phƣơng pháp khác gọi là phƣơng pháp lặp . ở đây ta chỉ nói sơ về phƣơng pháp lặp đơn. Xét hệ (3.1) đa ̃viết ở daṇg vectơ (xem công thƣ́c 3.4): Ax = f (3.29) Ta chuyển hê ̣này về môṭ hê ̣tƣơng đƣơng có daṇg x = Bx + g (3.30) Trong đó ma trâṇ B và vectơ g suy tƣ̀ A và f cách nào đó, giả sử: Sau đó ta xây dƣṇg công thƣ́c tính lăp̣ x (m) = Bx (m-1) + g (3.31) x (0) cho trƣớc (3.32)_ Ta chú ý rằng Phƣơng pháp tính x (m) theo (3.31) (3.32) gọi là phƣơng pháp lặp đơn . Ma trâṇ B goị là ma trâṇ lăp̣. 2. Sƣ ̣hôị tu ̣ Điṇh nghiã 3.1. Giả sử  = (1, 2, ..., n) T là nghiệm của hệ (3.30) ( tƣ́c là của hê ̣ (3.29)). Nếu i khi m  ∞, i = 1, 2 , ..., n thì ta nói phƣơng pháp lăp̣ (3.31) (3.32) hôị tu.̣ Điṇh nghiã 3.2 - Cho vectơ Z = (Z1, Z2, ..., Zn) T thì mỗi đại lƣợng sau: ||Z||0 : = max {|Zi|} ||Z||1 : = |Z1| + |Z2| + ... + |Zn| ||Z||2 : = ( 1/2 Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính 55 Gọi là một độ dài mở rộng của vectơ Z, ngƣời ta còn goị nó là chuẩn của Z. Chúng có tính chất giống nhƣ độ dài thông thƣờng của một vectơ , hay tri ̣ tuyêṭ đối của môṭ số thƣc̣: Với p = 0 hay 1 hay 2 ta đều có 1) ||z||p  0, ||z||p = 0 z = vectơ không 2) ||z||p = || ||z||p ,  là một số thực. 3) ||u + v||p  ||u||p + ||v||p Hê ̣quả - Phƣơng pháp lăp̣ (3.31) hôị tu ̣khi và chỉ khi: ||x (m) - ||p  0 khi m  ∞ (3.34). Đối với ma trận vuông B = (bij) ta điṇh nghiã chuẩn của ma trâṇ B: , p = 0,1, thỏa mãn ba tính chất giống ba tính chất của chuẩn của vectơ . 1) ||B||p  0, ||B||p = 0  B là ma trâṇ không; 2) ||kB||p = |k| ||B||p , k là môṭ số thƣc̣. 3) ||B + C||p  ||B||p + ||C||p , C là ma trâṇ cùng cấp với B. Ngoài ra còn tính chất thứ tƣ: 4) ||BZ||p  ||B||p ||Z||p , Z là vectơ có số chiều bằng cấp của B. Điṇh lý 3.2 - nếu ||B||p < 1 (3.35) thì phƣơng pháp lặp (3.31) (3.32) hôị tu ̣với bất kỳ xấp xỉ đầu x (0) nào, đồng thời sai số có đánh giá (3.36) (3.37) Trong đó: p = 0 nếu < 1 p = 1 nếu < 1 Chƣ́ng minh: Vì  là nghiệm của hệ (3.29) tƣ́c là hê ̣(3.30) nên Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính 56  = B + g Lấy (3.31) trƣ̀ đẳng thƣ́c này vế với vế ta đƣơc̣: x (m) -  = B(x(m-1) - ). Do đó: Vâỵ có: (3.38) Tƣơng tƣ:̣ ..... ..... Nhân các bất đẳng thƣ́c này vế với vế và giản ƣớc các thành phần giống nhau ở hai bên ta đƣơc̣ : Cho m   thì 0  < 1 theo giả thiết nên  0. Do đó: Đó chính là (3.34). Vâỵ phƣơng pháp lăp̣ (3.31) và (3.32) hôị tu.̣ Bây giờ xét các đánh giá sai số. Ta có: Ta suy ra: Do bất đẳng thƣ́c (3.38) cho: Vâỵ có Vì theo giả thiết của định lý nên 1 - > 0. Ta suy ra: Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính 57 Đó là đánh giá (3.36) Bây giờ tƣ̀ (3.31) ta có Trƣ̀ hai đẳng thƣ́c này vế với vế ta đƣơc̣ Do đó: Vâỵ : Ta suy dần ra: Thay vào vế trái của (3.36) ta đƣơc̣ (3.37). 3. Thí dụ Xét hệ: Giải: Hê ̣này có daṇg (3.29). Ta phải đƣa nó về daṇg (3.30) sao cho điều kiêṇ hôị tu ̣ (3.35) đƣơc̣ thỏa mañ . Tƣ̀ ba phƣơng trình của hê ̣ , bằng cách giải phƣơng trình thƣ́ nhất đối với x1, phƣơng trình thƣ́ hai đối với x2, phƣơng trình thứ ba đối với x3: Vâỵ có x = Bx + g Với Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính 58 Để kiểm tra điều kiêṇ (3.35) ta tính Do đó ||B||o = max{0,08 ; 0,08 ; 0,0} = 0,08 < 1 Vâỵ theo điṇh lý 3.2 phƣơng pháp lăp̣ đơn Hôị tu ̣với x(0) chọn trƣớc. Ta choṇ x(0)= (0,0,0)T. Kết quả tính ghi thành bằng 3.3 Bảng 3.3 m 0 1 2 3 4 0 2 1,92 1,9094 1,90923 0 3 3,19 3,1944 3,19495 0 5 5,04 5,0446 5,04485 Để đánh giá sai số ta tính: = max {0,00017 ; 0,00055; 0,00025} = 0,00055 Áp duṇg công thƣ́c (3.36) với p = 0 ta thu đƣơc̣ Vâỵ có: 1 = 1,90923  0,00005 2 = 3,19495  0,00005 3 = 5,04485  0,00005. 4. Sơ đồ tóm tắt phƣơng pháp lăp̣ đơn 1) Cho hê ̣phƣơng trình tuyến tính Ax = b. 2) ấn định sai số cho phép ,  > 0 Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính 59 3) Đƣa hê ̣Ax = b về hê ̣tƣơng đƣơng. x = Bx + g. Sao cho điều kiêṇ (3.35) thỏa mãn. 4) Chọn x(0) (tuỳ ý. 5. Tính , m = 0, 1, 2, ... Cho tới khi Thì dừng quá trình tính. Kết quả: x(m)  . Với sai số  Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính 60 PHỤ LỤC 2 VỀ MÔṬ HÊ ̣ĐAỊ SỐ TUYẾN TÍNH KHÔNG ỔN ĐIṆH Bây giờ ta nêu môṭ hiêṇ tƣơṇg đăc̣ biêṭ đáng chú ý khi giải gần đúng môṭ hê ̣phƣơng trình đại số tuyến tính. Xét hai hệ cụ thể: x + 2y = 2 (3.39) 2x + 3,9y = 2 x + 2y = 2 (3.40) 2x + 4,1y = 2 Nghiêṃ của hê ̣(3.39) là x = -38, y = 20 Nghiêṃ của hê ̣(3.40) là = 42, = - 20 Ta thấy rằng hai hê ̣ (3.39) và (3.40) chỉ khác nhau ở một hệ s ố 3,9 và 4,1 với |4,1 - 3,9| = 0,2, nhƣng nghiêṃ của chúng khác nhau khá xa. | - x| = |42 - (-38)| = 80 | - y| = |-20 - 20| = 40 Hiêṇ tƣơṇg “sai môṭ li đi môṭ dăṃ” này là môṭ hiêṇ tƣơṇg không ổn điṇh trong tí nh toán. Ngƣời làm tính cần phải biết để đề phòng. BÀI TẬP 1. Dùng phƣơng pháp Gaoxơ giải hệ tính tới ba chữ số lẻ thập phân. 2. Dùng phƣơng pháp Gaoxơ giải các hệ a) b) 1,5x1 - 0,2x2 + 0,1x3 = 0,4 - 0,1x1 + 1,5x2 - 0,1x3 = 0,8 - 0,3x1 + 0,2x2 - 0,5x3 = 0,2 Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính 61 Các phép tính lấy đến 5 chƣ̃ số lẻ thâp̣ phân. 3. Giải hệ sau đây bằng phƣơng pháp lặp đơn, tính lặp ba lần và cho biết sai số: 1,02x1 - 0,05x2 - 0,10x3 = 0,795 - 0,11x1 + 1,03x2 - 0,05x3 = 0,849 - 0,11x1 - 0,12x2 + 1,04x3 = 1,398 4. Giải hệ: Bằng phƣơng pháp lăp̣ đơn cho tới khi Và đánh giá sai số. TRẢ LỜI 1. x1 = 1,642 ; x2 = - 2,789 ; x3 = 12,672 2. a) x1 = 0,5 ; x2 = 1,3 ; x3 = 2,5 b) x1 = 0,980 ; x2 = 0,53053 ; x3 = - 0,40649 3. x1 = 0,980 ; x2 = 1,004 ; x3 = 1,563 Với sai số tuyêṭ đối nhỏ hơn 1,1.10-3 nếu choṇ xấp xỉ đầu : x (0) = (0,80 ; 0,85; 1,40) 4. x1 = 0,9444 ; x2 = 1,1743 ; x3 = 1,1775. Với sai số theo chuẩn || . ||0 bé hơn 0,5 . 10 -4 . Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính 62 MỘT SỐ ĐỀ THI MẪU ĐỀ SỐ 1 Câu 1: Khái niệm số gần đúng và sai số. Cách viết số xấp xỉ. Sự quy tròn số và sai số quy tròn. Các quy tắc tính sai số. Sai số phƣơng pháp và sai số tính toán. Cho ví dụ. Câu 2: Tính tổng sau đây với 6 chữ số thập phân: A = 1 1 1 1 ... 2 4 6 20     Đánh giá sai số của kết quả tìm đƣợc. Câu 3: Giải gần đúng phƣơng trình x2 - sin2x = 0,15 bằng phƣơng pháp lặp với sai số tuyệt đối không quá 10 -6 . ĐỀ SỐ 2 Câu 1: Trình bày bài toán giải gần đúng phƣơng trình. Định nghĩa nghiệm và khoảng phân ly nghiệm. Trình bày nội dung của phƣơng pháp lặp và phƣơng pháp dây cung. Câu 2: Hàm f(x) đƣợc cho bằng bảng: x -2 0 2 3 y 2 -1 1 2 1. Tìm đa thức nội suy Lagrange của f(x) 2. Tìm đa thức nội suy Newton của f(x) Câu 3: Cho bài toán Côsi: y' = 2xy 2 , 0  x  2, y(0) = 1. Giải gần đúng bài toán bằng phƣơng pháp chuỗi Taylo đến đạo hàm cấp 3. ĐỀ SỐ 3 Câu 1: Trình bày khái niệm đa thức nội suy. Nêu công thức tính đa thức nội suy Lagrange và đa thức nội suy Newton. Câu 2: 1. Khi đo chiều dài của một cái cầu ta đƣợc kết quả là 1254,32m với sai số tuyệt đối của phép đo là 0,02m. Tính sai số tƣơng đối của phép đo ấy. 2. Khi đo diện tích của một thửa ruộng ta đƣợc kết quả là 452,58m2 với sai số tƣơng đối của phép đo là 0,001m2. Tính sai số tuyệt đối của phép đo ấy. 3. Xác định các chữ số đáng tin của số a = 254,321872 biết sai số tuyệt đối của nó là a = 0,4.10 -3 . Câu 3: Cho bài toán Côsi: y' = x 2 + y 2 + 4, 0  x  1, y(0) = 2. Giải gần đúng bài toán bằng phƣơng pháp Ơ-le với n = 10. Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính 63 ĐỀ SỐ 4 Câu 1: Trình bày công thức tính gần đúng đạo hàm và công thức tính gần đúng tích phân xác định. Câu 2: Giải gần đúng phƣơng trình x2 - sin2x = 0,15 bằng phƣơng pháp lặp với sai số tuyệt đối không quá 10 -6 . Câu 3: Hàm f(x) đƣợc cho bằng bảng: x -2 0 2 3 y 3 -1 1 2 1. Tìm đa thức nội suy Lagrange của f(x) 2. Tìm đa thức nội suy Newton của f(x) ĐỀ SỐ 5 Câu 1: Trình bày phƣơng pháp Euler và phƣơng pháp Runger-Kutta để giải gần đúng bài toán Côsi. Câu 2: Dùng công thức hình thang và công thức Simpson với n = 10 tính gần đúng giá trị của tích phân xác định: I = 1 0 1 3 dx x . Đánh giá sai số của từng phƣơng pháp. Câu 3: Giải gần đúng phƣơng trình x2 - sin2x = 0,15 bằng phƣơng pháp lặp với sai số tuyệt đối không quá 10 -6 . Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính 64 TÓM TẮT ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Đề 1 Câu 1. (3 điểm) Nêu đƣợc khái niệm số gần đúng và sai số. Có 3 cách viết số xấp xỉ Nêu đƣợc quy tắc làm tròn số. Quy tắc tính sai số: quy tắc cộng và quy tắc nhân. Phân biệt đƣợc sai số tính toán và sai số phƣơng pháp. Câu 2. (3 điểm) Tính đƣợc giá trị gần đúng của A là: 1,464484 Câu 3. (4 điểm) Tìm đƣợc nghiệm gần đúng của phƣơng trình. Đề 2 Câu 1. (3 điểm) Nêu đƣợc bài toán giải gần đúng phƣơng trình đại số. Định nghĩa đƣợc nghiệm và khoảng phân ly nghiệm của phƣơng trình Nêu đƣợc nội dung của phƣơng pháp dây cung và phƣơng pháp lặp. Câu 2. (4 điểm) Tìm đƣợc đa thức nội suy Newton và đa thức nội suy Lagrange của f(x) Câu 3. (3 điểm) Dùng công thức chuỗi Taylo tmf đƣợc đa thức nội suy cấp 3 của f(x). Đề 3 Câu 1. (3 điểm) Trình bày đƣợc khái niệm đa thức nội suy. Nêu đƣợc công thức tính đa thức nội suy Lagrange và đa thức nội suy Newton. Câu 2. (3 điểm) 1. Sai số tƣơng đối là: 0,001573 2. Sai số tuyệt đối của phép đo là: 18,3714 3. Các chữ số đáng tin là: 741,321 Câu 3. (4 điểm) Dùng phƣơng pháp Ơ le với n = 10 giải đƣợc nghiệm gần đúng của bài toán Cô si. Đề 4 Câu 1. (3 điểm) Trình bày đƣợc công thức tính gần đúng đạo hàm và tích phân của hàm số cho trƣớc. Câu 2. (3 điểm) Dùng phƣơng pháp lặp giải gần đúng nghiệm của phƣơng trình đã cho. Câu 3. (4 điểm) Từ bảng đã cho tìm đƣợc đa thức nội suy Lagrange và Newton của hàm số cho bằng bảng. Đề 5 Câu 1. (3 điểm) Trình bày đƣợc phƣơng pháp Ơ le và phƣơng pháp Runge Kutta giải gần đúng bài toán Cô si trong khoảng cho trƣớc. Câu 2. (4 điểm) Dùng công thức hình thang và công thức Simpson với n = 10 tính đƣợc giá trị gần đúng của tích phân là I = ln4. Câu 3. (3 điểm) Dùng phƣơng pháp lặp với sai số tuyệt đối không quá 10-4 tính đƣợc nghiệm gần đúng của phƣơng trình. Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính 65 TÀI LIÊỤ THAM KHẢO [1] Lê Đình Thiṇh, Phương p