Bài giảng Mô tả toán học hệ thống điều khiển rời rạc

Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 1 Chương 7 MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 7.1. HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 7.1.1. Khái niệm Chương này đề cập đến một loại hệ thống điều khiển có hồi tiếp, trong đó tín hiệu tại một hay nhiều điểm là một chuổi xung, không phải là hàm liên tục theo thời gian. Tùy thuộc vào phương pháp lượng tử hoá tín hiệu mà ta có các loại hệ thống xử lý tín hiệu khác nhau. Phương pháp lượng tử hoá theo thời gian cho tín hiệu có biên độ liên tục, thời gian rời rạc. Hệ thống xử lý loại tín hiệu này được gọi là hệ thống rời rạc. Nếu phép lượng tử hoá được tiến hành theo thời gian và cả theo biên độ thì kết quả nhận được là tín hiệu số. Hệ thống xử lý tín hiệu số gọi là hệ thống số. Trong hệ thống rời rạc và hệ thống số, thông số điều khiển – biên độ của tín hiệu chỉ xuất hiện tại các thời điểm rời rạc cách đều nhau đúng bằng một chu kỳ lấy mẫu tín hiệu. Vì có thời gian trễ tất yếu do lấy mẫu, việc ổn định hệ thống trở nên phức tạp hơn so với hệ liên tục, do đó đòi hỏi những kỹ thuật phân tích và thiết kế đặc biệt. Sự phát triển mạnh mẽ của kỹ thuật số, kỹ thuật vi xử lý và kỹ thuật máy tính làm cho ngày càng có nhiều hệ thống điều khiển số được sử dụng để điều khiển các đối tượng. Hệ thống điều khiển số có nhiều ưu điểm so với hệ thống điều khiển liên tục như uyển chuyển, linh hoạt, dễ dàng thay đổi thuật toán điều khiển, dễ dàng áp dụng các thuật toán điều khiển phức tạp bằng cách lập trình. Máy tính số còn có thể điều khiển nhiều đối tượng cùng một lúc. Ngoài ra, giá máy tính ngày càng hạ trong khi đó tốc độ xử lý, độ tin cậy ngày càng tăng lên cũng góp phần làm cho việc sử dụng các hệ thống điều khiển số trở nên phổ biến. Hiện nay các hệ thống điều khiển số được sử dụng rất rộng rãi, từ các bộ điều khiển đơn giản như điều khiển nhiệt độ, điều khiển động cơ DC, AC,… đến các hệ thống điều khiển phức tạp như điều khiển robot, máy bay, tàu vũ trụ, các hệ thống điều khiển quá trình công nghệ hóa học và các hệ thống tự động cho những ứng dụng khác nhau. Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 2 Hình 7.1 trình bày sơ đồ khối của hệ thống điều khiển số thường gặp, trong hệ thống có hai loại tín hiệu: tín hiệu liên tục c(t), uR(t) và tín hiệu số r(kT), cht(kT), u(kT). Trung tâm của hệ thống là máy tính số, máy tính có chức năng xử lý thông tin phản hồi từ cảm biến, và xuất ra tín hiệu điều khiển đối tượng. Vì cảm biến và đối tượng là hệ thống liên tục nên cần sử dụng bộ chuyển đổi A/D và D/A để giao tiếp với máy tính. Do đó để phân tích và thiết kế hệ thống điều khiển số trước tiên ta phải mô tả toán học được quá trình chuyển đổi A/D và D/A. Tuy nhiên hiện nay không có phương pháp nào cho phép mô tả chính xác quá trình chuyển đổi A/D và D/A do sai số lượng tử hoá biên độ, vì vậy thay vì khảo sát hệ thống số ở hình 7.1 ta khảo sát hệ rời rạc ở hình 7.2. Hình 7.1: Sơ đồ khối hệ thống điều khiển số Hình 7.2: Sơ đồ khối hệ thống điều khiển rời rạc Trong quyển sách này, chúng ta phát triển các phương pháp phân tích và thiết kế hệ thống điều khiển liên tục cho hệ thống điều khiển rời rạc. Nếu độ phân giải của phép lượng tử hoá biên độ đủ nhỏ để có thể bỏ qua sai số qua thì ta có thể xem tín hiệu số là tín hiệu rời rạc, điều đó có nghĩa là lý thuyết điều khiển rời rạc trình bày trong quyển sách này hoàn toàn có thể áp dụng để phân tích và thiết kế các hệ thống điều khiển số. Máy tính số D/A Đối tượng A/D r(kT) c(t)u(kT) uR(t) cht(kT) Cảm biến Xử lý rời rạc Giữ dữ liệu Đối tượng Lấy mẫu r(kT) c(t)u(kT) uR(t) cht(kT) Cảm biến Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 3 7.1.2. Đặc điểm lấy mẫu Lấy mẫu là biến đổi tín hiệu liên tục theo thời gian thành tín hiệu rời rạc theo thời gian. Xét bộ lấy mẫu có đầu vào là tín hiệu liên tục x(t) và đầu ra là tín hiệu rời rạc x*(t) (xem hình 7.3). Quá trình lấy mẫu có thể mô tả bởi biểu thức toán học sau: )().()(* tstxtx (7.1) trong đó s(t) là chuổi xung dirac: ¦ f f  k kTtts )()( G (7.2) Thay (7.2)vào (7.1), đồng thời giả sử rằng e(t) = 0 khi t < 0, ta được: ¦ f  0 * )()()( k kTttxtx G Ÿ ¦ f  0 * )()()( k kTtkTxtx G (7.3) Biến đổi Laplace hai vế phương trình (7.3) ta được: ¦ f  0 * )()( k kTsekTxsX (7.4) Biểu thức (7.4) chính là biểu thức toán học mô tả quá trình lấy mẫu. Hình 7.3: Quá trình lấy mẫu dữ liệu x(t) x*(t) T x(t) t 0 s(t) 1 x*(t) 0 t t 0 Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 4 Định lý Shanon: Để có thể phục hồi dữ liệu sau khi lấy mẫu mà không bị méo dạng thì tần số lấy mẫu phải thỏa mãn điều kiện: cfT f 21 t (7.5) trong đó fc là tần số cắt của tín hiệu cần lấy mẫu. Trong các hệ thống điều khiển thực tế, nếu có thể bỏ qua được sai số lượng tử hóa thì các khâu chuyển đổi A/D chính là các khâu lấy mẫu. 7.1.3. Khâu giữ dữ liệu Khâu giữ dữ liệu là khâu chuyển tín hiệu rời rạc theo thời gian thành tín hiệu liên tục theo thời gian. Khâu giữ dữ liệu có nhiều dạng khác nhau, đơn giản nhất và được sử dụng nhiều nhất trong các hệ thống điều khiển rời rạc là khâu giữ bậc 0 (Zero-Order Hold – ZOH), xem hình 7.4. (a) (b) Hình 7.4: Khâu giữ bậc 0 (ZOH) Ta tìm hàm truyền của khâu ZOH. Để ý rằng nếu tín hiệu vào của khâu ZOH là xung dirac thì tín hiệu ra là xung vuông có độ rộng bằng T (hình 7.4b). Ta có: 1)( sR (vì r(t) là hàm dirac) x*(t) xR (t) ZOH x* (t) t 0 xR (t) t 0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T r(t) t 1 c(t) t 0 T 1 0 Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 5 ^ ` ^ ` s ee ss TtututcsC Ts Ts      111)()()()( LL Theo định nghĩa: )( )( )( sR sCsGZOH Do đó: s esG Ts ZOH  1)( (7.6) Biểu thức (7.6) chính là hàm truyền của khâu giữ bậc 0. Trong các hệ thống điều khiển thực tế, nếu có thể bỏ qua được sai số lượng tử hóa thì các khâu chuyển đổi D/A chính là các khâu giữ bậc 0 (ZOH). Nhận xét: Bằng cách sử dụng phép biến đổi Laplace ta có thể mô tả quá trình lấy mẫu và giữ dữ liệu bằng các biểu thức toán học (7.4) và (7.6). Tuy nhiên các biểu thức toán học này lại chứa hàm ex nên nếu ta sử dụng để mô tả hệ rời rạc thì khi phân tích, thiết kế hệ thống sẽ gặp nhiều khó khăn. Ta cần mô tả toán học khác giúp khảo sát hệ thống rời rạc dễ dàng hơn, nhờ phép biến đổi Z trình bày dưới đây chúng ta sẽ thực hiện được điều này. 7.2. PHÉP BIẾN ĐỔI Z 7.2.1 Định nghĩa: Cho x(k) là chuổi tín hiệu rời rạc. Biến đổi Z của x(k) là: ^ ` ¦ f f  k kzkxkxzX )()()( Z (7.7) Trong đó: Tsez (s là biến Laplace) Ký hiệu: )()( zXkx omZ Nếu 0)( kx , 0k thì biểu thức định nghĩa trở thành: ^ ` ¦ f  0 )()()( k kzkxkxzX Z (7.8) x Miền hội tụ (Region Of Convergence – ROC) ROC là tập hợp tất cả các giá trị z sao cho X(z) hữu hạn. x Ý nghĩa của phép biến đổi Z: Giả sử x(t) là tín hiệu liên tục trong miền thời gian, lấy mẫu x(t) với chu kỳ lấy mẫu T ta được chuổi rời rạc x(k) = x(kT). Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 6 Biểu thức lấy mẫu x(t): ¦ f  0 * )()( k kTsekTxsX (7.9) Biểu thức biến đổi Z: ¦ f  0 )()( k kzkxzX (7.10) Vì Tsez nên vế phải của hai biểu thức (7.9) và (7.10) là như nhau, do đó bản chất của việc biến đổi Z một tín hiệu chính là rời rạc hóa tín hiệu đó. x Phép biến đổi Z ngược: Cho X(z) là hàm theo biến phức z. Biến đổi Z ngược của X(z) là: ³  C k dzzzX j kx 1).( 2 1 )( S với C là đường cong kín bất kỳ nằm trong miền hội tụ ROC của X(z) và bao gốc tọa độ. 7.2.2 Tính chất của phép biến đổi Z: 1. Tính tuyến tính: Nếu: )()( 11 zXkx om Z )()( 22 zXkx om Z Thì: )()()()( 22112211 zXazXakxakxa om Z (7.11) 2. Dời trong miền thời gian: Hình 7.5: Làm trể tín hiệu k0 mẫu x(k) k 0 1 2 3 4 5 6 7 } x(kk0) k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 k0 } Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 7 Nếu: )()( zXkx omZ Thì : )()( 00 zXzkkx kom Z (7.12) Nhận xét: Nếu trong miền Z ta nhân X(z) với 0kz thì tương đương với trong miền thời gian ta là trể tín hiệu x(k) k0 chu kỳ lấy mẫu. Vì )()1( 1 zXzkx om Z nên z1 được gọi là toán tử làm trể 1 chu kỳ lấy mẫu. 3. Tỉ lệ trong miền Z: Nếu: )()( zXkx omZ Thì : )()( 1zaXkxak omZ (7.13) 4. Đạo hàm trong miền Z: Nếu: )()( zXkx omZ Thì : dz zdXzkkx )()( omZ (7.14) 5. Định lý giá trị đầu: Nếu: )()( zXkx omZ Thì : )(lim)0( zXx z fo (7.15) 7. Định lý giá trị cuối: Nếu: )()( zXkx omZ Thì : )()1(lim)( 1 1 zXzx z  o  f (7.16) 7.2.3 Biến đổi Z của các hàm cơ bản 7.2.3.1. Hàm dirac ¯ ® ­ z 00 01 )( k k k nếu nếu G Theo định nghĩa: 0 k G(k) 1 Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 8 ^ ` 1)0()()( 0  f f ¦ zzkk k k GGGZ Vậy: 1)( omZkG (ROC: toàn bộ mặt phẳng Z) 7.2.3.2. Hàm nấc đơn vị: Hàm nấc đơn vị (liên tục trong miền thời gian) ¯ ® ­  t 00 01 )( t t tu nếu nếu Lấy mẫu u(t) với chu kỳ lấy mẫu là T, ta được: ¯ ® ­  t 00 01 )( k k ku nếu nếu Theo định nghĩa: ^ ` f f  f f   ¦¦ zzzzkuzkuku k k k k 21 0 1)()()(Z Nếu 11 z thì biểu thức trên là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Áp dung công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, ta dễ dàng suy ra: ^ ` 11 1 )( 1    z z z kuZ Vậy: 11 1 )( 1   om  z z z ku Z (ROC: 1!z ) 7.2.3.3. Hàm dốc đơn vị: Hàm dốc đơn vị (liên tục trong miền thời gian) ¯ ® ­  t 00 0 )( t tt tr nếu nếu Lấy mẫu r(t) với chu kỳ lấy mẫu là T, ta được: ¯ ® ­  t 00 0 )( k kk kr nếu nếuT Ÿ )()( kkTukr 0 k u(k) 1 } 0 t u(t) 1 0 k r(k) 1 } 0 t r(t) 1 Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 9 Ta tìm biến đổi Z của r(k) bằng cách áp dụng tín chất tỉ lệ trong miền Z: Ta có: 11 1 )(  om z ku Z Ÿ 21 1 1 )1(1 1 )(     ¿ ¾ ½ ¯ ® ­  om z z zdz dzkku Z Ÿ 221 1 )1()1( )(   om   z Tz z TzkkTu Z Vậy 221 1 )1()1( )()(   om   z Tz z TzkkTukr Z (ROC: 1!z ) 7.2.3.4. Hàm mũ: Hàm mũ liên tục trong miền thời gian: ¯ ® ­  t  00 0 )( t tetx at nếu nếu Lấy mẫu r(t) với chu kỳ lấy mẫu là T, ta được: ¯ ® ­  t  00 0 )( k kekx ka nếu nếuT Ÿ )()( kuekx kaT Theo định nghĩa: ^ `   f  f f  ¦¦ 221 0 1)()()( zezezkxzkxkx aTaT k k k kZ   21 )()(1 zeze aTaT Nếu 1)( 1 zeaT thì biểu thức trên là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Áp dung công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, ta suy ra: ^ ` aTaT ez z ze kx    1)(1 1 )(Z Vậy: aTaT kaT ez z ze kue     om 1)(1 1 )()( Z (ROC: 1!zeaT œ aTez ! ) 0 t x(t) 1 0 k x(k) 1 } Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 10 Kết quả trên ta dễ dàng suy ra: az z az kuak   om 11 1 )( Z 7.2.4. Các phương pháp tìm biến đổi Z ngược Cho hàm X(z), bài toán đặt ra là tìm x(k). Theo công thức biến đổi Z ngược, ta có: ³  C k dzzzX j kx 1).( 2 1 )( S với C là đường cong kín bất kỳ nằm trong ROC của X(z) và bao gốc tọa độ. Tìm x(k) bằng công thức trên rất phức tạp, thực tế ta thường áp dụng các cách sau: x Cách 1: Phân tích X(z) thành tổng các hàm cơ bản, sau đó tra bảng biến đổi Z. Thí dụ 7.1: Cho )3)(2( )(  zz zzX . Tìm x(k). Lời giải: Phân tích X(z), ta được: )3()2( )(     z z z zzX Tra bảng biến đổi Z: az zkuak  omZ)( Suy ra: )()32()( kukx kk   x Cách 2: Phân tích X(z) thành chuổi lũy thừa: Theo định nghĩa biến đổi Z: ...).3().2().1().0()()( 3210 0   f ¦ zxzxzxzxzkxzX k k Do đó nếu phân tích X(z) thành tổng của chuổi lũy thừa ta sẽ được giá trị x(k) chính là hệ số của thành phần kz . Thí dụ 7.2: Cho )3)(2( )(  zz zzX . Tìm x(k). Lời giải: 65)3)(2( )( 2   zz z zz zzX Chia đa thức, ta được: Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 11   3321 65195)( zzzzzX Suy ra: 0)0( x ; 11 )(x ; 5)2( x ; 193 )(x ; 65)4( x ,…  x Cách 3: Tính x(k) bằng công thức đệ qui Thí dụ 7.3: Cho )3)(2( )(  zz zzX . Tìm x(k). Lời giải: Ta có 21 1 2 65165)3)(2( )(      zz z zz z zz zzX Ÿ 121 )()651(   zzXzz Ÿ 122 )(6)(5)(   zzXzzXzzX Biến đổi Z ngược hai vế phương trình trên (để ý tính chất dời trong miền thời gian), ta được: )1()2(6)1(5)(   kkxkxkx G Ÿ )1()2(6)1(5)(  kkxkxkx G Với điều kiện đầu: 0)1( kx 0)2( kx Thay vào công thức trên ta tìm được: 0)0( x ; 1)1( x ; 5)2( x ; 19)3( x ; 65)4( x ,…  x Cách 4: Áp dụng công thức thặng dư > @ củacựccáctạiRes )(1 1)()( zXzk kzXzkx ¦ Nếu z0 là cực bậc 1 thì: > @ 00 )()()(Res 10zz 1 zz kk zXzzzzXz    Nếu z0 là cực bậc p thì: > @ > @ 00 )()( )!1( 1 )(Res 101 1 zz 1 zz kp p p k zXzzz dz d p zXz       Thí dụ 7.4: Cho )3)(2( )(  zz zzX . Tìm x(k). Lời giải: Áp dụng công thức thặng dư, ta được: > @ > @z2z ResRes 311 )()()(    zXzzXzkx kk Mà: Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 12 x > @ 212z1 )()2()(Res    zkk zXzzzXz 2 1 )3)(2( )2(    z k zz zzz k z k z z 2 )3( 2   x > @ 313z1 )()3()(Res    zkk zXzzzXz 3 1 )3)(2( )3(    z k zz zzz k z k z z 3 )2( 3  Do đó: kkkx 32)(   7.3. MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG HÀM TRUYỀN 7.3.1 Hàm truyền của hệ rời rạc Quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thống rời rạc được mô tả bằng phương trình sai phân:   )()1(...)1()( 110 kcakcankcankca nn )()1(...)1()( 110 krbkrbmkrbmkrb mm   (7.17) trong đó mn t , n gọi là bậc của hệ thống rời rạc Biến đổi Z hai vế phương trình (7.17) ta được:    )()(...)()( 1 1 10 zCazzCazCzazCza nn nn )()(...)()( 1 1 10 zRbzzRbzRzbzRzb mm mm    œ )(]...[)(]...[ 1 1 101 1 10 zRbzbzbzbzCazazaza mm mm nn nn       œ nn nn mm mm azazaza bzbzbzb zR zC       1 1 10 1 1 10 ... ... )( )( Đặt: nn nn mm mm azazaza bzbzbzb zR zCzG       1 1 10 1 1 10 ... ... )( )( )( (7.18) G(z) được gọi là hàm truyền của hệ thống rời rạc. Hệ thống rời rạc r(k) c(k) Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 13 Hàm truyền (7.18) có thể biến đổi tương đương về dạng: n n n n m m m m mn zazazaa zbzbzbbz zR zCzG         1 1 1 10 1 1 1 10 )( ... ]...[ )( )( )( (7.19) Hai cách biểu diễn trên hoàn toàn tương đương nhau, trong thực tế hàm truyền dạng thứ hai được sử dụng nhiều hơn. Thí dụ 7.5: Cho hệ thống rời rạc mô tả bởi phương trình sai phân: )()2(2)(3)1(5)2(2)3( krkrkckckckc   Tìm hàm truyền của hệ thống. Lời giải: Biến đổi Z hai vế phương trình sai phân mô tả hệ thống, ta được: )()(2)(3)(5)(2)( 223 zRzRzzCzzCzCzzCz   Ÿ 352 12 )( )( )( 23 2   zzz z zR zCzG œ 321 21 3521 )2( )( )( )(     zzz zz zR zCzG  7.3.2. Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối Khi thêm vào hệ thống liên tục các khâu lấy mẫu, khâu giữ dữ liệu (và bộ điều khiển số) ta được hệ thống điều khiển rời rạc. Bài toán đặt ra là tìm hàm truyền hệ rời rạc theo biến z từ sơ đồ khối có các khâu lấy mẫu. Xét một số sơ đồ thường gặp sau đây: 7.3.2.1. Hai khâu nối tiếp cách nhau bởi khâu lấy mẫu Hình 7.6: Hai khâu nối tiếp cách nhau bởi khâu lấy mẫu )()( )( )( )( 21 zGzGzR zCzG (7.20) Trong đó: ^ `)()( 11 sGzG Z ^ `)()( 22 sGzG Z R(s) C*(s) G1(s) G2(s) R*(s) Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 14 Thí dụ 7.6: Cho as sG  1)(1 và bs sG  1)(2 . Tìm hàm truyền tương đương của hai hệ thống có sơ đồ khối ở hình 7.6. Lời giải Tra bảng biến đổi Z, ta có: ^ ` aTez z as sGzG  ¿ ¾ ½ ¯ ® ­  1)()( 11 ZZ ^ ` bTez z bs sGzG  ¿ ¾ ½ ¯ ® ­  1)()( 22 ZZ Do đó dễ dàng suy ra: ))(( )()( 2 21 bTaT ezez zzGzG    7.3.2.2. Hai khâu nối tiếp không cách nhau bởi khâu lấy mẫu Hình 7.7: Hai khâu nối tiếp không cách nhau bởi khâu lấy mẫu )( )( )( )( 21 zGGzR zCzG (7.21) Trong đó: ^ `)()()( 2121 sGsGzGG Z Cần chú ý là: ^ ` ^ ` ^ ` )()()()()()()( 21212121 zGGsGsGsGsGzGzG z ZZZ Thí dụ dưới đây sẽ minh họa điều này. Thí dụ 7.7: Cho as sG  1)(1 và bs sG  1)(2 . Tìm hàm truyền tương đương của hai hệ thống có sơ đồ khối ở hình 7.7. Lời giải Tra bảng biến đổi Z, ta có: ^ ` ¿ ¾ ½ ¯ ® ­  ))(( 1 )()()( 1121 bsas sGsGzGG ZZ R(s) G1(s) C*(s)=C(z) G2(s) R*(s) T T Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 15 ¿ ¾ ½ ¯ ® ­    )( 1 )( 1 )( 1 )( 1 bsbaasab Z ¿ ¾ ½ ¯ ® ­ ¿ ¾ ½ ¯ ® ­   )( 1 )( 1 )( 1 )( 1 bsbaasab ZZ )()( 1 )()( 1 bTaT ez z baez z ab     Ÿ ))()(( )( )(21 bTaT aTbT ezezab eezzGG     Rõ ràng kết quả tính hàm truyền tương đương của hai hệ thống ở thí dụ 7.6 và 7.7 hoàn toàn khác nhau.  7.3.2.3. Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong kênh sai số Hình 7.8: Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong kênh sai số )(1 )( )( )( )( zGH zG zR zCzGk  (7.22) Trong đó: ^ `)()( sGzG Z ^ `)().()( sHsGzGH Z Trường hợp H(s) = 1 (hệ thống hồi tiếp âm đơn vị) ta có: )(1 )( )( )( )( zG zG zR zCzGk  (7.23) Thí dụ 7.8: Cho as sG  1)( và bs sH  1)( . Tìm hàm truyền tương đương của hai hệ thống có sơ đồ khối ở hình 7.7. Lời giải Thực hiện phép biến đổi Z tương tự như đã làm ở thí dụ 7.6 và 7.7, ta dễ dàng tính được: R(s) G(s) C(s)+ H(s) T Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 16 ^ ` aTez z as sGzG  ¿ ¾ ½ ¯ ® ­  1)()( ZZ ^ ` ))()(( )(1 . 1 )()()( bTaT aTbT ezezab eez bsas sHsGzGH     ¿ ¾ ½ ¯ ® ­  ZZ Thay vào công thức (7.22) ta được: ))()(( )( 1 )( )(1 )( )( )( )( bTaT aTbT aT k ezezab eez ez z zGH zG zR zCzG        Ÿ )())()(( ))(( )( aTbTbTaT bT k eezezezab zezabzG      7.3.2.4. Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong vòng hồi tiếp Hình 7.9: Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong vòng hồi tiếp Trường hợp này không tìm được biểu thức hàm truyền, quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra như sau: )()(1 )( )( zHzG zRGzC  (7.24) Trong đó: ^ `)()()( sGsRzRG Z ^ ` ^ `)()()()( sHsGzHzG ZZ 7.3.2.5. Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu đồng bộ trong nhánh thuận Hình 7.10: Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu đồng bộ trong nhánh thuận R(s) C(s) G(s)+ H(s) T R(s) G(s) C(s) + H(s) T T Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 17 )()(1 )( )( )( )( zHzG zG zR zCzGk  (7.25) Trong đó: ^ `)()( sGzG Z ^ `)()( sHzH Z 7.3.2.6. Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu đồng bộ và các khâu nối tiếp ở nhánh thuận Hình 7.11: Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu đồng bộ và các khâu nối tiếp ở nhánh thuận )()(1 )()( )( )( )( 21 21 zHGzG zGzG zR zCzGk  Trong đó: ^ `)()( 11 sGzG Z ^ `)()( 22 sGzG Z ^ `)()()( 22 sHsGzHG Z 7.3.2.7. Sơ đồ dòng tín hiệu – Công thức Mason cho hệ rời rạc Có thể mở rộng khái niệm sơ đồ dòng tín hiệu đã trình bày trong chương 2 cho hệ liên tục để áp dụng vào hệ rời rạc với một vài thay đổi nhỏ. Để sử dụng công thức Mason cho hệ rời rạc cần để ý các nguyên tắc dưới sau đây: x Nếu không có bộ lấy mẫu giữa đầu vào R(s) và khâu đầu tiên trong vòng thuận (ví dụ như G(s)) thì không thể tách biệt biến đổi Z của đầu vào và khâu đầu tiên và ta luôn có số hạng RG(z). Do đó trong trường hợp này không thể tính được hàm truyền bằng tỉ lệ giữa biến đổi Z tín hiệu ra và tín hiệu vào của hệ thống. x Nếu một khâu trong vòng thuận hay trong vòng hồi tiếp phân biệt với đầu vào, đầu ra của hệ thống và với các khâu khác bởi các bộ lấy mẫu ở đầu vào và đầu ra của nó thì nó hoàn toàn độc lập về biến đổi Z. R(s) G1(s) C(s)+ H(s) T T G2(s) Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 18 x Nếu một khâu trong vòng thuận hay vòng hồi tiếp không phân biệt với các khâu kế cận hay với đầu vào của hệ thống bởi bộ lấy mẫu thì phải thực hiện phép biến đổi Z của hàm truyền kết hợp của hai khâu hay giữa khâu đó với đầu vào. Dùng lý thuyết Mason và ba nguyên tắc trên cho hệ rời rạc, đọc giả có thể kiểm chứng được các công thức tính hàm truyền đã dẫn ra trong mục 7.3.2 này. 7.4. MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.1 Thành lập phương trình trạng thái từ phương trình sai phân 7.4.1.1. Vế phải của phương trình sai phân không chứa sai phân của tín hiệu vào Xét hệ thống rời rạc có quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra mô tả bởi phương trình sai phân: )()()1(...)1()( 011 krbkcakcankcankc nn   (7.26) Chú ý: ở phương trình trên hệ số 10 a . Nếu 10 za ta chia hai vế cho 0a để được phương trình sai phân có dạng (7.26). Tương tự như đã làm đối với hệ liên tục, ta đặt các biến trạng thái để biến đổi tương đương phương trình sai phân bậc n ở trên thành hệ n phương trình sai phân bậc 1. Đặt các biến trạng thái như sau: )()(1 kckx )1()( 12  kxkx Ÿ )1()(2  kckx )1()( 23  kxkx Ÿ )2()(3  kckx … )1()( 1   kxkx nn Ÿ )1()(  nkckxn Ÿ )()1( nkckxn   Thay vào phương trình (7.26) ta được: Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 19 )()()(...)()1( 01211 krbkxakxakxakx nnnn   Ÿ )()()(...)()1( 01211 krbkxakxakxakx nnnn    Kết hợp phương trình trên với các biểu thức đặt biến trạng thái ta được hệ phương trình sau: ° ° ° ¯ °° ° ® ­        )()()(...)()1( )()1( )()1( )()1( 01211 1 32 21 krbkxakxakxakx kxkx kxkx kxkx nnnn nn  Viết lại dưới dạng ma trận: )( 0 0 0 )( )( )( )( 10000 00100 00010 )1( )1( )1( )1( 0 1 2 1 1221 1 2 1 kr bkx kx kx kx aaaaakx kx kx kx n n nnnn n » » » » » » ¼ º « « « « « « ¬ ª  » » » » » » ¼ º « « « « « « ¬ ª » » » » » » ¼ º « « « « « « ¬ ª  » » » » » » ¼ º « « « « « « ¬ ª               Đáp ứng của hệ thống: > @ » » » » » » ¼ º « « « « « « ¬ ª  )( )( )( )( 0001)()( 1 2 1 1 kx kx kx kx kxkc n n  Đặt: » » » » » » ¼ º « « « « « « ¬ ª  )( )(