Bài giảng Mặt nón – hình nón – khối nón

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95 Ví dụ 1: Trong không gian cho tam giác vuông OAB tại O có OA = 4, OB = 3. Khi quay tam giác vuông OAB quanh cạnh góc vuông OA thì đường gấp khúc OAB tạo thành một hình nón tròn xoay. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón Hướng dẫn giải: HD: a) * Sxq = piRl = pi.OB.AB = 15pi Tính: AB = 5 ( ∨ ∆ AOB tại O) * Stp = Sxq + Sđáy = 15pi + 9pi = 24pi b) V = 21 3 piR h = 2 1 3 pi.OB .OA = 2 1 3 4 3 . .pi = 12pi Ví dụ 2: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón Hướng dẫn giải: HD: a) * Sxq = piRl = pi.OB.SB = 2pia2 * Stp = Sxq + Sđáy = 2pia2 + pia2 = 23pia2 b) V = 21 3 piR h = 2 1 3 pi.OB .SO = 3 21 33 3 3 pi pi = a .a .a Tính: SO = 2 3 3 2 = a a (vì SO là đường cao của tam giac SAB đều cạnh 2a) Ví dụ 3: Một hình nón có chiều cao bằng a và thiết diện qua trục là tam giác vuông. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón Hướng dẫn giải: Tài liệu bài giảng: MẶT NÓN – HÌNH NÓN – KHỐI NÓN Thầy Đặng Việt Hùng 2a A B S 3 4 A B O LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95 HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác vuông cân tại S nên A ∧ = B ∧ = 450 * Sxq = piRl = pi.OA.SA = pia2 2 Tính: SA = a 2 ; OA = a ( ∨ ∆ SOA tại O) * Stp = Sxq + Sđáy = pia2 2 + pia2 = ( )1 2+ pia2 b) V = 21 3 piR h = 2 1 3 pi.OA .SO = 3 21 3 3 pi pi = a .a .a Ví dụ 4: Một hình nón có đường sinh bằng l và thiết diện qua trục là tam giác vuông. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón Hướng dẫn giải: HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB vuông cân tại S nên A ∧ = B ∧ = 450 * Sxq = piRl = pi .OA.SA = pi . 2 l .l = 2 2 lpi Tính: OA = 2 l ( ∨ ∆ SOA tại O) * Stp = Sxq + Sđáy = 2 2 lpi + 2 2 lpi = 21 1 22 l + pi    b) V = 21 3 piR h = 2 1 3 pi.OA .SO = 2 31 3 2 2 6 2 pi pi = l l l . . Tính: SO = 2 l ( ∨ ∆ SOA tại O) Ví dụ 5: Một hình nón có đường cao bằng a, thiết diện qua trục có góc ở đỉnh bằng 1200. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón Hướng dẫn giải: 45 S B A l 45 S B A O LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95 a) Thiết diện qua trục là tam giác SAB cân tại S nên

030= =A B hay ASO = BSO= 600 * Sxq = piRl = pi.OA.SA = pi. 3a .2a = 22 3pia Tính: OA = 3a ; SA = 2a ( ∨ ∆ SOA tại O) * Stp = Sxq + Sđáy = 22 3pia + 3 pia2 = ( ) 22 3 3+ pia b) V = 21 3 piR h = 2 1 3 pi.OA .SO = 2 3 1 3 3 pi = pi. a .a a Ví dụ 6: Một hình nón có độ dài đường sinh bằng l và góc giữa đường sinh và mặt đáy bằng α . a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón Hướng dẫn giải: a) * Góc giữa đường sinh và mặt đáy là A ∧ = B ∧ = α * Sxq = piRl = pi .OA.SA = pi. lcos α .l = 2pi α cos Tính: OA = lcos α ( ∨ ∆ SOA tại O) * Stp = Sxq + Sđáy = 2pi α cos + pi l2cos2 α = ( ) 21 cos l cos+ α pi α b) V = 21 3 piR h = 2 1 3 pi.OA .SO = 21 3 pi α α2.l cos .l sin = 3 3 pi α α2l cos sin Tính: SO = lsinα ( ∨ ∆ SOA tại O) Ví dụ 7: Một hình nón có đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh của mặt nón bằng 2pia2. Tính thể tích của hình nón Hướng dẫn giải: 120 a S B A O α l S B A O LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95 * Sxq = piRl ⇔ piRl = 2pia2 ⇒R = 2 22 2 2 pi = = pi a a a l a * Tính: SO = 3a ( ∨ ∆ SOA tại O) * V = 21 3 piR h = 2 1 3 pi.OA .SO = 3 21 33 3 3 pi pi = a .a .a Ví dụ 8: Một hình nón có góc ở đỉnh bằng 600 và diện tích đáy bằng 9pi. Tính thể tích của hình nón Hướng dẫn giải: * Thiết diện qua trục là tam giác SAB đều * Sđáy = piR2 ⇔ 9 pi = piR2 ⇔ R2 = 9 ⇔ R = 3 * SO = 3 2 3 3 3 2 2 = = AB R * V = 21 3 piR h = 2 1 3 pi.OA .SO = 2 1 3 3 3 9 3 3 pi = pi. . Ví dụ 9: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng a. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nó c) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 600. Tính diện tích của thiết diện này Hướng dẫn giải: a) Stp = Sxq + Sđáy = 2 2 pia + 2 2 pia = 21 1 22   + pi    a b) V = 21 3 piR h = 2 1 3 pi.OA .SO = 2 31 3 2 2 6 2 pi pi = a a a . . Tính: SO = 2 a ( ∨ ∆ SOA tại O) c) Thiết diện (SAC) qua trục tạo với đáy 1 góc 600:  060=SMO 2a S A O 60 S B A O C M 45 a S B A O LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95 HD: a) * Thiết diện qua trục là ∆ SAB vuông cân tại Snên A ∧ = B ∧ =450 * Sxq = piRl = pi .OA.SA = 2 pia .a = 2 2 pia * SSAC = 1 2 SM.AC = 1 2 . 6 3 a . 2 3 3 a = 2 2 3 a * Tính: SM = 6 3 a ( ∨ ∆ SMO tại O). * Tính: AC = 2AM = 2 3 3 a Tính: OA = 2 a ( ∨ ∆ SOA tại O) * Tính: AM = 2 2−OA OM = 3 3 a * Tính: OM = 6 6 a ( ∨ ∆ SMO tại O) Ví dụ 10: Cho hình nón tròn xoay có đướng cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12 cm. Tính diện tích của thiết diện đó Hướng dẫn giải: a) * Sxq = piRl = pi .OA.SA = pi .25.SA = 25 pi 1025 (cm2) Tính: SA = 1025 ( ∨ ∆ SOA tại O) Stp = Sxq + Sđáy = 25 pi 1025 + 625 pi b) V = 21 3 piR h = 2 1 3 pi.OA .SO = 2 2 1 25 20 3 pi. . (cm3) c) * Gọi I là trung điểm của AB và kẻ OH ⊥ SI ⇒OH = 12cm * SSAB = 1 2 .AB.SI = 1 2 .40.25 = 500(cm2) * Tính: SI = OS.OI OH = 20 12 .OI = 25(cm) ( ∨ ∆ SOI tại O) * Tính: 2 2 2 1 1 1 = − OI OH OS ⇒OI = 15(cm) ( ∨ ∆ SOI tại O) * Tính: AB = 2AI = 2.20 = 40(cm) * Tính: AI = 2 2 20− =OA OI (cm) ( ∨ ∆ AOI tại I) Ví dụ 11: Cắt hình nón đỉnh S bởi mp đi qua trục ta được một ∆ vuông cân có cạnh huyền bằng 2a a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón l h O I H B A S LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95 c) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc 600. Tính diện tích tam giác SBC Hướng dẫn giải: a) * Thiết diện qua trục là ∆ SAB vuông cân tại S nên A ∧ = B ∧ = 450 * Sxq = piRl = pi .OA.SA = 2 2 pia .a = 2 2 2 pia Tính: OA = 2 AB = 2 2 a ; Tính: SA = a ( ∨ ∆ SOA tại O) * Stp = Sxq + Sđáy = 2 2 2 pia + 2 2 pia = 22 1 2 + pi( ) a b) V = 21 3 piR h = 2 1 3 pi.OA .SO = 2 31 2 2 3 2 2 12 pi pi = a a a . . Tính: SO = 2 2 a ( ∨ ∆ SOA tại O) c) * Kẻ OM ⊥ BC ⇒ 060=SMO * SSBC = 1 2 SM.BC = 1 2 2 2 3 3 a a . . = 2 2 3 a * Tính: SM = 2 3 a ( ∨ ∆ SOM tại O) * Tính: BM = 3 a ( ∨ ∆ SMB tại M) C M a 2 S B A O