Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Dãy phép thử Bernoulli - Nguyễn Thị Hồng Nhung

HỌc phẦn: Lý thuyẾt xác suẤt và thỐng kê toán Tên bài học: Dãy phép thử Bernoulli Tiết theo chương trình: Tiết thứ 8 Lớp dạy: Lý tin K30 Giảng viên thực hiện: Nguyễn Thị Hồng Nhung Một xạ thủ bắn 3 viên đạn độc lập vào bia, xác suất bắn trúng không đổi trong mỗi lần bắn là 0,8. Tìm xác suất để: a. Cả ba viên đều trúng đích b. Hai viên trúng đích c. Một viên trúng đích d. Cả ba viên đều bắn trượt 3 2 2 3 L N L U O B I E R Jacob Bernoulli • Sinh: 27 tháng 12, 1654, tại Basel, Thụy Sĩ • Mất : 16 tháng 8, 1705 (50 tuổi), • Nổi tiếng vì: Phép thử Bernoulli, Số Bernoulli Lời giải a. Cả ba viên đều trúng đích b. Hai viên trúng đích 3 ( ) ( ). ( ). ( ) 0,8 0,512 P AAA P A P A P A   Gọi A là biến cố “xạ thủ bắn trúng vào bia trong mỗi lần bắn” 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 3. ( ). ( ). ( ) 3.0,8 .0,2 0,384 P AAA AAA AAA P AAA P AAA P AAA P A P A P A         Bài toán: Một xạ thủ bắn 3 viên đạn độc lập vào bia, xác suất bắn trúng không đổi trong mỗi lần bắn là 0,8. Gọi A là biến cố “xạ thủ bắn trúng vào bia trong mỗi lần bắn” c. Một viên trúng đích d. Cả ba viên đều bắn trượt 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 3. ( ). ( ). ( ) 3.0,8 .0,2 0,096 P AAA AAA AAA P AAA P AAA P AAA P A P A P A         3 ( ) ( ). ( ). ( ) 0,2 0,008 P AAA P A P A P A   N ận xét đặc điểm của dãy phép thử trong bài toán trên - Số biến cố trong mỗi phép thử - Xác suất của các biến cố : { , }A A Không đổi Dãy phép thử Bernoulli Tiết 8. DÃY PHÉP THỬ BERNOULLI 1. Định nghĩa dãy phép thử Bernoulli D·y phÐp thö G1, G2, ..., Gn mµ trong mçi phÐp thö t¬ng øng víi kh«ng gian c¸c biÕn cè s¬ cÊp cã 2 biÕn cè ®îc gäi lµ dãy phÐp thö Becnuli nÕu tho¶ m·n: (i) D·y phÐp thö ®ã lµ ®éc lËp. (ii) X¸c suÊt ®Ó A x¶y ra trong c¸c phÐp thö kh«ng ®æi vµ b»ng p. { , }A A 2. C«ng thøc x¸c suÊt nhÞ thøc AA...A ... k n k AA A  k nC ( ) . .(1 )k k n kn nP k C p p   Bµi to¸n: Tìm x¸c suÊt ®Ó trong d·y n phÐp thö Bernouli biÕn cè A xuÊt hiÖn ®óng k lÇn ( k = 0,1,...n). Hướng dẫn giải: - Có tất cả bao nhiêu dãy biến cố A xuất hiện đúng k lần ? AA...A ... .(1 )k k k n k P AA A p p         - Mỗi dãy phép thử Bernoulli có xác suất là bao nhiêu ? Công thức xác suất nhị thức Ví dụ 1: Một bác sĩ có xác suất chuẩn đoán đúng bệnh là 0,7. Có 5 người đến khám, tính xác suất để: a) Không có ai được chuẩn đoán đúng bệnh b) Có 2 người chuẩn đoán đúng bệnh c) Có 4 người chuẩn đoán đúng bệnh d) Có người cho rằng: Cứ 5 người đến khám thì có 4 người được chuẩn đoán đúng bệnh” điều này có đúng không? Lời giải 2 2 3 5 5(2) .0,7 .(1 0,7) 0,1323P C   0 0 5 5 5(0) .0,7 .(1 0,7) 0,243P C  a) Không có ai được chuẩn đoán đúng bệnh b) Có 2 người chuẩn đoán đúng bệnh c) Có 4 người chuẩn đoán đúng bệnh - Nhận xét: Phép thử Bernoulli với n=5, p=0,7. - Gọi A là biến cố ”chuẩn đoán đúng bệnh”. 4 4 1 5 5(4) .0,7 .(1 0,7) 0,36015P C   d) Có người cho rằng: Cứ 5 người đến khám thì có 4 người khỏi bệnh” điều này có đúng không ? - Không đúng! - Chỉ có thể khẳng định có 5 người đến khám thì xác suất để 4 người khỏi bệnh là cao nhất. Có cách nào tìm xác suất cao nhất mà không phải tính tất cả các khả năng xảy ra không? Khảo sát sự biến thiên của hàm xác suất, biến k. Gợi ý: ( 1) 1 ( ) n n P k P k   ( 1) 1 ( ) n n P k P k   ( ) . .(1 )k k n kn nP k C p p   Hàm đồng biến Hàm nghịch biến k Pn(k) 0 np - q n max ( 1) ( ) 1 ( ) ( 1)(1 ) n n P k n k p P k k p        (n - k) p  k q + q (q=1-p)  k  np - q. VËy Pn(k) t¨ng khi k t¨ng tõ 0 ®Õn np – q. T-¬ng tù ( 1) ( ) 1 ( ) ( 1)(1 ) n n P k n k p P k k p       víi k > np – q. VËy khi k t¨ng tõ np – q ®Õn n th× Pn(k) gi¶m. Khi k = np – q th× ( 1) 1 ( ) n n P k P k   , nghÜa lµ Pn(k+1) = Pn(k). Song k chØ nhËn gi¸ trÞ nguyªn, vËy: - NÕu np – q lµ sè nguyªn th× k cã hai gi¸ trÞ k0 = np – q vµ k1 = np – q + 1 mµ t¹i ®ã Pn(k) ®¹t cùc ®¹i. - NÕu np – q kh«ng nguyªn th× k cã mét gi¸ trÞ k0 = [np – q] + 1 t¹i ®ã Pn(k) ®¹t cùc ®¹i. d) Có người cho rằng: Cứ 5 người đến khám thì có 4 người khỏi bệnh” điều này có đúng không ? 5 55.0,7 0,3 3,2 , ( ) (4)np q Z MaxP k P      Ví dụ 2 Tín hiệu thông tin được phát đi 3 lần độc lập nhau. Xác suất thu được mỗi lần là 0.4. a) Tìm xác suất để nguồn thu nhận được thông tin đúng 2 lần. b) Tìm xác suất để nguồn thu nhận được thông tin đó. c) Nếu muốn xác suất thu được tin ≥ 0,9 thì phải phát đi ít nhất bao nhiêu lần. Có thể xem mỗi lần phát tin là một phép thử Bernoulli mà sự thành công của phép thử là nguồn thu nhận được tin, theo giả thiết xác suất thành công của mỗi lần thử là 0,4. Vậy: a) Xác suất để nguồn thu nhận được thông tin đúng 2 lần là     22 2 3(3) 0,4 0,6 0,288P C  . b) Xác suất để nguồn thu nhận được thông tin là   3 1 0,6 0,784P    . c) Xác suất để nguồn thu nhận được thông tin khi phát n lần là  1 0,6 n P   Vậy nếu muốn xác suất thu được tin ≥ 0,9 thì phải phát đi ít nhất n lần sao cho:         1 0,6 0,9 0,1 0,6 lg 0,1 1 4,504 lg 0,6 0,778 5 n n n n            Tổng kết bài học - Định nghĩa dãy phép thử Bernoulli - Công thức tính xác suất nhị thức - Giá trị max của xác suất nhị thức