Bài giảng Lý thuyết Xác suất và Thống kê toán - Chương 4: Biến ngẫu nhiên hai chiều hàm các biến ngẫu nhiên

Chương 4 Biến ngẫu nhiên hai hiều Hàm á biến ngẫu nhiên Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 147 / 293 1. Mở đầu Nội dung hương 4 1 Khái niệm 2 Bảng PPXS ủa BNN hai hiều rời rạ 3 BNN hai hiều liên t 4 Cá tham số đặ trưng 5 Hàm á BNN Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 148 / 293 1. Mở đầu Nội dung hương 4 1 Khái niệm 2 Bảng PPXS ủa BNN hai hiều rời rạ 3 BNN hai hiều liên t 4 Cá tham số đặ trưng 5 Hàm á BNN Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 148 / 293 1. Mở đầu Nội dung hương 4 1 Khái niệm 2 Bảng PPXS ủa BNN hai hiều rời rạ 3 BNN hai hiều liên t 4 Cá tham số đặ trưng 5 Hàm á BNN Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 148 / 293 1. Mở đầu Nội dung hương 4 1 Khái niệm 2 Bảng PPXS ủa BNN hai hiều rời rạ 3 BNN hai hiều liên t 4 Cá tham số đặ trưng 5 Hàm á BNN Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 148 / 293 1. Mở đầu Nội dung hương 4 1 Khái niệm 2 Bảng PPXS ủa BNN hai hiều rời rạ 3 BNN hai hiều liên t 4 Cá tham số đặ trưng 5 Hàm á BNN Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 148 / 293 2. Khái niệm về biến ngẫu nhiên hai hiều Định nghĩa. Hai biến ngẫu nhiên một hiều đượ xt một á h đồng thời tạo nên biến ngẫu nhiên hai hiều, kí hiệu: (X,Y). Thí d: Thu nhập và tiêu dùng ủa một người. Chiều dài và hiều rộng ủa một sản phẩm. Phân loại biến ngẫu nhiên hai hiều: + biến ngẫu nhiên hai hiều gọi là rời rạ nếu á thành phần ủa nó là á biến ngẫu nhiên rời rạ . + biến ngẫu nhiên hai hiều gọi là liên t nếu á thành phần ủa nó là á biến ngẫu nhiên liên t . Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 149 / 293 2. Khái niệm về biến ngẫu nhiên hai hiều Định nghĩa. Hai biến ngẫu nhiên một hiều đượ xt một á h đồng thời tạo nên biến ngẫu nhiên hai hiều, kí hiệu: (X,Y). Thí d: Thu nhập và tiêu dùng ủa một người. Chiều dài và hiều rộng ủa một sản phẩm. Phân loại biến ngẫu nhiên hai hiều: + biến ngẫu nhiên hai hiều gọi là rời rạ nếu á thành phần ủa nó là á biến ngẫu nhiên rời rạ . + biến ngẫu nhiên hai hiều gọi là liên t nếu á thành phần ủa nó là á biến ngẫu nhiên liên t . Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 149 / 293 3. Bảng phân phối xá suất 3.1. Bảng phân phối xá suất đồng thời Y y 1 y 2 ... y m P(x i ) X x 1 P(x 1 , y 1 ) P(x 1 , y 2 ) ... P(x 1 , y m ) P(x 1 ) x 2 P(x 2 , y 1 ) P(x 2 , y 2 ) ... P(x 2 , y m ) P(x 2 ) ... ... ... ... ... ... x n P(x n , y 1 ) P(x n , y 2 ) ... P(x n , y m ) P(x n ) P(y j ) P(y 1 ) P(y 2 ) ... P(y m ) 1 P(x i , y j ) > 0 với i = 1, n, j = 1,m n∑ i=1 m∑ j=1 P(x i , y j ) = 1 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 150 / 293 3. Bảng phân phối xá suất Thí d 4.1. Một đề thi ó 2 âu hỏi độ lập với xá suất họ sinh làm đúng đều là 0,4. Nếu làm đúng âu 1 đượ 4 điểm, âu 2 đượ 6 điểm, sai đượ 0 điểm. Gọi X là số âu trả lời đúng, Y là số điểm đạt đượ ủa họ sinh. Lập bảng PPXS đồng thời ủa (X, Y) X Y 0 4 6 10 0 ? 0 0 0 1 0 ? ? 0 2 0 0 0 ? Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 151 / 293 3. Bảng phân phối xá suất 3.2. Bảng phân phối xá suất biên Bảng phân phối xá suất biên ủa thành phần X: X x 1 ... x i ... x n P P(x 1 ) ... P(x i ) ... P(x n ) trong đó P(x i ) = m∑ j=1 P(x i , y j ) với i = 1, n. Dễ thấy n∑ i=1 P(x i ) = 1. Tương tự ta ó bảng phân phối xá suất biên ủa thành phần Y với P(y j ) = n∑ i=1 P(x i , y j ) với j = 1,m Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 152 / 293 3. Bảng phân phối xá suất 3.2. Bảng phân phối xá suất biên Bảng phân phối xá suất biên ủa thành phần X: X x 1 ... x i ... x n P P(x 1 ) ... P(x i ) ... P(x n ) trong đó P(x i ) = m∑ j=1 P(x i , y j ) với i = 1, n. Dễ thấy n∑ i=1 P(x i ) = 1. Tương tự ta ó bảng phân phối xá suất biên ủa thành phần Y với P(y j ) = n∑ i=1 P(x i , y j ) với j = 1,m Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 152 / 293 3. Bảng phân phối xá suất 3.3. Bảng phân phối xá suất ó điều kiện Bảng phân phối xá suất ó điều kiện ủa thành phần X với điều kiện Y = y j ó dạng: X/y j x 1 ... x i ... x n P P(x 1 /y j ) ... P(x i /y j ) ... P(x n /y j ) trong đó P(x i /y j ) = P(x i , y j ) P(y j ) i = 1, n, j = 1,m Tương tự ta ó bảng PPXS ó điều kiện ủa Y với điều kiện X = x i Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 153 / 293 4. Cá tham số đặ trưng Giả sử (X,Y) là biến ngẫu nhiên hai hiều. 4.1. Kì vọng toán Từ bảng phân phối xá suất biên ủa á thành phần ta tìm đượ kì vọng toán p ủa á thành phần là: E(X) = n∑ i=1 x i P(x i ) = n∑ i=1 m∑ j=1 x i P(x i , y j ) E(Y) = m∑ j=1 y j P(y j ) = n∑ i=1 m∑ j=1 y j P(x i , y j ) Kì vọng toán phản ánh giá trị trung bình ủa mỗi thành phần. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 154 / 293 4. Cá tham số đặ trưng 4.2. Phương sai Từ bảng phân phối xá suất biên ủa á thành phần ta tìm đượ phương sai ủa á thành phần là V(X) = n∑ i=1 m∑ j=1 x 2 i P(x i , y j )− [E(X)]2 V(Y) = n∑ i=1 m∑ j=1 y 2 j P(x i , y j )− [E(Y)]2 Phương sai phản ánh mứ độ phân tán ủa á giá trị ủa mỗi thành phần so với giá trị trung bình. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 155 / 293 4. Cá tham số đặ trưng 4.3. Hiệp phương sai Hiệp phương sai ủa á biến ngẫu nhiên X và Y, kí hiệu Cov(X,Y), là kì vọng toán ủa tí h á sai lệ h ủa á biến ngẫu nhiên đó với kì vọng toán ủa húng. Cov(X,Y) = E{[X− E(X)][Y− E(Y)]} = E(X.Y)− E(X).E(Y) Đối với biến ngẫu nhiên rời rạ thì Cov(X,Y) = n∑ i=1 m∑ j=1 x i y j P(x i , y j )− E(X)E(Y) Hiệp phương sai đo mứ độ hặt hẽ ủa sự ph thuộ giữa X và Y. |Cov(X,Y)| àng lớn thì X và Y àng ph thuộ hặt hẽ và ngượ lại. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 156 / 293 4. Cá tham số đặ trưng 4.3. Hiệp phương sai Hiệp phương sai ủa á biến ngẫu nhiên X và Y, kí hiệu Cov(X,Y), là kì vọng toán ủa tí h á sai lệ h ủa á biến ngẫu nhiên đó với kì vọng toán ủa húng. Cov(X,Y) = E{[X− E(X)][Y− E(Y)]} = E(X.Y)− E(X).E(Y) Đối với biến ngẫu nhiên rời rạ thì Cov(X,Y) = n∑ i=1 m∑ j=1 x i y j P(x i , y j )− E(X)E(Y) Hiệp phương sai đo mứ độ hặt hẽ ủa sự ph thuộ giữa X và Y. |Cov(X,Y)| àng lớn thì X và Y àng ph thuộ hặt hẽ và ngượ lại. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 156 / 293 4. Cá tham số đặ trưng 4.3. Hiệp phương sai Hiệp phương sai ủa á biến ngẫu nhiên X và Y, kí hiệu Cov(X,Y), là kì vọng toán ủa tí h á sai lệ h ủa á biến ngẫu nhiên đó với kì vọng toán ủa húng. Cov(X,Y) = E{[X− E(X)][Y− E(Y)]} = E(X.Y)− E(X).E(Y) Đối với biến ngẫu nhiên rời rạ thì Cov(X,Y) = n∑ i=1 m∑ j=1 x i y j P(x i , y j )− E(X)E(Y) Hiệp phương sai đo mứ độ hặt hẽ ủa sự ph thuộ giữa X và Y. |Cov(X,Y)| àng lớn thì X và Y àng ph thuộ hặt hẽ và ngượ lại. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 156 / 293 4. Cá tham số đặ trưng 4.4. Hệ số tương quan Hệ số tương quan ủa á biến ngẫu nhiên X và Y, kí hiệu ρ xy , là tỷ số giữa hiệp phương sai và tí h á độ lệ h huẩn ủa á biến ngẫu nhiên đó. ρ xy = Cov(X,Y) σ x σ y Chú ý: Hệ số tương quan không ó đơn vị đo. Cá tính hất ủa hệ số tương quan : 1. ρ xy = ρ yx . 2. −1 6 ρ xy 6 1. 3. Nếu X và Y độ lập thì ρ xy = 0. 4. Nếu ρ xy = ±1 thì X và Y ph thuộ hàm số với nhau. Chú ý: Nếu X và Y độ lập thì xy 0 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 157 / 293 4. Cá tham số đặ trưng 4.4. Hệ số tương quan Hệ số tương quan ủa á biến ngẫu nhiên X và Y, kí hiệu ρ xy , là tỷ số giữa hiệp phương sai và tí h á độ lệ h huẩn ủa á biến ngẫu nhiên đó. ρ xy = Cov(X,Y) σ x σ y Chú ý: Hệ số tương quan không ó đơn vị đo. Cá tính hất ủa hệ số tương quan : 1. ρ xy = ρ yx . 2. −1 6 ρ xy 6 1. 3. Nếu X và Y độ lập thì ρ xy = 0. 4. Nếu ρ xy = ±1 thì X và Y ph thuộ hàm số với nhau. Chú ý: Nếu X và Y độ lập thì xy 0 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 157 / 293 4. Cá tham số đặ trưng Hiệp phương sai và hệ số tương quan đượ dùng để đặ trưng ho mứ độ hặt hẽ ủa mối liên hệ ph thuộ giữa á biến ngẫu nhiên X và Y. 2 biến ngẫu nhiên gọi là tương quan với nhau nếu hiệp phương sai ( ũng như là hệ số tương quan) khá 0. Hai biến ngẫu nhiên gọi là không tương quan nếu hiệp phương sai ( ũng tứ là hệ số tương quan ) bằng 0. Chú ý: nếu hai biến ngẫu nhiên tương quan với nhau thì ũng ph thuộ nhau, song điều ngượ lại hưa hắ đúng. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 158 / 293 4. Cá tham số đặ trưng Với khái niệm hiệp phương sai ta ó thêm á tính hất sau: Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên ph thuộ thì V(X± Y) = V(X) + V(Y)± 2Cov(X,Y) V(aX± bY) = a2V(X) + b2V(Y)± 2abCov(X,Y) Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên độ lập thì V(X.Y) = [E(Y)]2V(X) + [E(X)]2V(Y) + V(X)V(Y) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 159 / 293 4. Cá tham số đặ trưng 4.5. Kì vọng toán ó điều kiện Kì vọng toán ó điều kiện ủa biến ngẫu nhiên rời rạ Y với điều kiện X = x i là tổng á tí h giữa á giá trị ó thể ó ủa Y với á xá suất ó điều kiện tương ứng. E(Y/X = x i ) = m∑ j=1 y j P(y j /x i ) tương tự ta ó E(X/Y = y j ) = n∑ i=1 x i P(x i /y j ) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 160 / 293 4. Cá tham số đặ trưng 4.6. Hàm hồi quy Hàm hồi quy ủa Y đối với X là kì vọng toán ó điều kiện ủa Y đối với X: g 1 (x) = E(Y/x). Tương tự hàm hồi quy ủa X đối với Y là kì vọng toán ó điều kiện ủa X đối với Y: g 2 (y) = E(X/y) Cá hàm hồi quy ho biết giá trị trung bình ủa biến ngẫu nhiên này ph thuộ vào biến kia như thế nào. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 161 / 293 4. Cá tham số đặ trưng Thí d 4.2. Cho X là giới tính, Y là lương (triệu đồng/tháng) ủa nhân viên 1 ông ty và ó bảng sau X Y 5 8 10 Nữ 1 0,2 0,15 0,05 0,4 Nam 0 0,1 0,3 0,2 0,6 0,3 0,45 0,25 1 a. Tính lương trung bình ủa nhân viên ông ty này. b. So sánh lương trung bình ủa nhân viên Nữ và Nam. . Lương và giới tính ó ph thuộ nhau không? Nếu ó thì mứ độ hặt hẽ thế nào? Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 162 / 293 Bài tập 4. Lập bảng: 46, 56, 62 Tìm TSĐT: 47, 49, 51 → 54, 61, 65 Câu hỏi ôn tập: 31 → 45 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 163 / 293