Bài giảng Lý thuyết Xác suất và Thống kê toán - Chương 2: Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất

i ) = n∏ i=1 E(X i ) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 86 / 293 4. Cá tham số đặ trưng ủa BNN . Bản hất và ý nghĩa ủa kì vọng toán d. ứng dng thự tế ủa kì vọng toán Trong kinh tế, kì vọng toán là một tiêu huẩn ra quyết định trong tình huống ần lựa họn giữa nhiều hiến lượ khá nhau. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 87 / 293 4. Cá tham số đặ trưng ủa BNN . Bản hất và ý nghĩa ủa kì vọng toán d. ứng dng thự tế ủa kì vọng toán Trong kinh tế, kì vọng toán là một tiêu huẩn ra quyết định trong tình huống ần lựa họn giữa nhiều hiến lượ khá nhau. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 87 / 293 Thí d 2.15. Một người làm việ đượ lựa họn một trong hai phương án thanh toán sau: Phương án 1: Nhận tiền ông 1 triệu. Phương án 2: Nếu hoàn tất ả ông việ thì đượ 3 triệu; nếu không hỉ đượ 100 ngàn a) Biết khả năng để hoàn tất ông việ là 50%. Nếu quan tâm đến kì vọng số tiền nhận đượ thì nên họn phương án nào. b) Người này quan tâm tới kì vọng số tiền nhận đượ và đã họn phương án 2. Người này đã đánh giá khả năng hoàn tất ông việ như thế nào? Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 88 / 293 4. Cá tham số đặ trưng ủa BNN 4.2. Trung vị Trung vị, kí hiệu m d , là giá trị nằm ở hính giữa tập hợp á giá trị ó thể ó ủa biến ngẫu nhiên. 4.3. Mốt Mốt, kí hiệu m 0 , là giá trị ủa biến ngẫu nhiên tương ứng với: + Xá suất lớn nhất nếu là biến ngẫu nhiên rời rạ , + Cự đại ủa hàm mật độ xá suất nếu là biến ngẫu nhiên liên t . Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 89 / 293 4. Cá tham số đặ trưng ủa BNN 4.2. Trung vị Trung vị, kí hiệu m d , là giá trị nằm ở hính giữa tập hợp á giá trị ó thể ó ủa biến ngẫu nhiên. 4.3. Mốt Mốt, kí hiệu m 0 , là giá trị ủa biến ngẫu nhiên tương ứng với: + Xá suất lớn nhất nếu là biến ngẫu nhiên rời rạ , + Cự đại ủa hàm mật độ xá suất nếu là biến ngẫu nhiên liên t . Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 89 / 293 4. Cá tham số đặ trưng ủa BNN 4.4. Phương sai a. Định nghĩa. Phương sai ủa biến ngẫu nhiên X, kí hiệu là V(X), là kì vọng toán ủa bình phương sai lệ h ủa biến ngẫu nhiên so với kì vọng toán ủa nó. V(X) = E[X− E(X)]2 Biến đổi: V(X) = E[X− E(X)]2 = E[X2 − 2X.E(X) + (E(X))2] = E(X2)− 2E(X).E(X) + [E(X)]2 = E(X2)− [E(X)]2 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 90 / 293 4. Cá tham số đặ trưng ủa BNN 4.4. Phương sai a. Định nghĩa. Phương sai ủa biến ngẫu nhiên X, kí hiệu là V(X), là kì vọng toán ủa bình phương sai lệ h ủa biến ngẫu nhiên so với kì vọng toán ủa nó. V(X) = E[X− E(X)]2 Biến đổi: V(X) = E[X− E(X)]2 = E[X2 − 2X.E(X) + (E(X))2] = E(X2)− 2E(X).E(X) + [E(X)]2 = E(X2)− [E(X)]2 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 90 / 293 4. Cá tham số đặ trưng ủa BNN + Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạ thì V(X) = n∑ i=1 x 2 i p i − [E(X)]2 + Nếu X là biến ngẫu nhiên liên t thì V(X) = +∞∫ −∞ x 2 f(x)dx− [E(X)]2 Chú ý: Từ ông thứ tính phương sai ta ó + V(X) > 0 vối mọi biến ngẫu nhiên X. + Đơn vị ủa phương sai là bình phương đơn vị ủa BNN. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 91 / 293 4. Cá tham số đặ trưng ủa BNN + Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạ thì V(X) = n∑ i=1 x 2 i p i − [E(X)]2 + Nếu X là biến ngẫu nhiên liên t thì V(X) = +∞∫ −∞ x 2 f(x)dx− [E(X)]2 Chú ý: Từ ông thứ tính phương sai ta ó + V(X) > 0 vối mọi biến ngẫu nhiên X. + Đơn vị ủa phương sai là bình phương đơn vị ủa BNN. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 91 / 293 4. Cá tham số đặ trưng ủa BNN Thí d 2.16. Tìm phương sai ủa BNN X ó bảng phân phối xá suất : X 1 3 4 p 0,1 0,5 0,4 Thí d 2.17. Tìm phương sai ủa BNN liên t X ó hàm mật độ xá suất: f(x) = { 2x với x ∈ (0, 1) 0 với x /∈ (0, 1) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 92 / 293 4. Cá tham số đặ trưng ủa BNN Thí d 2.16. Tìm phương sai ủa BNN X ó bảng phân phối xá suất : X 1 3 4 p 0,1 0,5 0,4 Thí d 2.17. Tìm phương sai ủa BNN liên t X ó hàm mật độ xá suất: f(x) = { 2x với x ∈ (0, 1) 0 với x /∈ (0, 1) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 92 / 293 4. Cá tham số đặ trưng ủa BNN b. Cá tính hất ủa phương sai Tính hất 1. V(C) = 0 với C là hằng số. Tính hất 2. V(C.X) = C2V(X) với C là hằng số. Tính hất 3. Với X và Y là hai BNN độ lập thì V(X+ Y) = V(X) + V(Y) Hệ quả 1. Với X 1 ,X 2 , ...,X n là á BNN độ lập thì V( n∑ i=1 X i ) = n∑ i=1 V(X i ) Hệ quả 2. V(C+ X) = V(X). Hệ quả 3. Với X và Y là hai BNN độ lập thì V(X− Y) = V(X) + V(Y) . Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 93 / 293 4. Cá tham số đặ trưng ủa BNN b. Cá tính hất ủa phương sai Tính hất 1. V(C) = 0 với C là hằng số. Tính hất 2. V(C.X) = C2V(X) với C là hằng số. Tính hất 3. Với X và Y là hai BNN độ lập thì V(X+ Y) = V(X) + V(Y) Hệ quả 1. Với X 1 ,X 2 , ...,X n là á BNN độ lập thì V( n∑ i=1 X i ) = n∑ i=1 V(X i ) Hệ quả 2. V(C+ X) = V(X). Hệ quả 3. Với X và Y là hai BNN độ lập thì V(X− Y) = V(X) + V(Y) . Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 93 / 293 4. Cá tham số đặ trưng ủa BNN b. Cá tính hất ủa phương sai Tính hất 1. V(C) = 0 với C là hằng số. Tính hất 2. V(C.X) = C2V(X) với C là hằng số. Tính hất 3. Với X và Y là hai BNN độ lập thì V(X+ Y) = V(X) + V(Y) Hệ quả 1. Với X 1 ,X 2 , ...,X n là á BNN độ lập thì V( n∑ i=1 X i ) = n∑ i=1 V(X i ) Hệ quả 2. V(C+ X) = V(X). Hệ quả 3. Với X và Y là hai BNN độ lập thì V(X− Y) = V(X) + V(Y) . Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 93 / 293 4. Cá tham số đặ trưng ủa BNN b. Cá tính hất ủa phương sai Tính hất 1. V(C) = 0 với C là hằng số. Tính hất 2. V(C.X) = C2V(X) với C là hằng số. Tính hất 3. Với X và Y là hai BNN độ lập thì V(X+ Y) = V(X) + V(Y) Hệ quả 1. Với X 1 ,X 2 , ...,X n là á BNN độ lập thì V( n∑ i=1 X i ) = n∑ i=1 V(X i ) Hệ quả 2. V(C+ X) = V(X). Hệ quả 3. Với X và Y là hai BNN độ lập thì V(X− Y) = V(X) + V(Y) . Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 93 / 293 4. Cá tham số đặ trưng ủa BNN b. Cá tính hất ủa phương sai Tính hất 1. V(C) = 0 với C là hằng số. Tính hất 2. V(C.X) = C2V(X) với C là hằng số. Tính hất 3. Với X và Y là hai BNN độ lập thì V(X+ Y) = V(X) + V(Y) Hệ quả 1. Với X 1 ,X 2 , ...,X n là á BNN độ lập thì V( n∑ i=1 X i ) = n∑ i=1 V(X i ) Hệ quả 2. V(C+ X) = V(X). Hệ quả 3. Với X và Y là hai BNN độ lập thì V(X− Y) = V(X) + V(Y) . Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 93 / 293 4. Cá tham số đặ trưng ủa BNN b. Cá tính hất ủa phương sai Tính hất 1. V(C) = 0 với C là hằng số. Tính hất 2. V(C.X) = C2V(X) với C là hằng số. Tính hất 3. Với X và Y là hai BNN độ lập thì V(X+ Y) = V(X) + V(Y) Hệ quả 1. Với X 1 ,X 2 , ...,X n là á BNN độ lập thì V( n∑ i=1 X i ) = n∑ i=1 V(X i ) Hệ quả 2. V(C+ X) = V(X). Hệ quả 3. Với X và Y là hai BNN độ lập thì V(X− Y) = V(X) + V(Y) . Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 93 / 293 4. Cá tham số đặ trưng ủa BNN . Bản hất và ý nghĩa ủa phương sai d. ứng dng thự tế ủa phương sai Phương sai ó những ứng dng to lớn trong nhiều lĩnh vự thự tiễn như: + Trong kĩ thuật phương sai đặ trưng ho sai số ủa thiết bị, hi tiết gia ông so với kí h thướ tiêu huẩn. + Trong lĩnh vự kinh tế phương sai đặ trưng ho mứ độ rủi ro ủa á quyết định. Thí d 2.18. Tiếp t thí d 2.15, nếu muốn ít ó rủi ro thì họn phương án nào. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 94 / 293 4. Cá tham số đặ trưng ủa BNN . Bản hất và ý nghĩa ủa phương sai d. ứng dng thự tế ủa phương sai Phương sai ó những ứng dng to lớn trong nhiều lĩnh vự thự tiễn như: + Trong kĩ thuật phương sai đặ trưng ho sai số ủa thiết bị, hi tiết gia ông so với kí h thướ tiêu huẩn. + Trong lĩnh vự kinh tế phương sai đặ trưng ho mứ độ rủi ro ủa á quyết định. Thí d 2.18. Tiếp t thí d 2.15, nếu muốn ít ó rủi ro thì họn phương án nào. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 94 / 293 4. Cá tham số đặ trưng ủa BNN . Bản hất và ý nghĩa ủa phương sai d. ứng dng thự tế ủa phương sai Phương sai ó những ứng dng to lớn trong nhiều lĩnh vự thự tiễn như: + Trong kĩ thuật phương sai đặ trưng ho sai số ủa thiết bị, hi tiết gia ông so với kí h thướ tiêu huẩn. + Trong lĩnh vự kinh tế phương sai đặ trưng ho mứ độ rủi ro ủa á quyết định. Thí d 2.18. Tiếp t thí d 2.15, nếu muốn ít ó rủi ro thì họn phương án nào. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 94 / 293 4. Cá tham số đặ trưng ủa BNN 4.5. Độ lệ h huẩn Định nghĩa: Độ lệ h huẩn ủa biến ngẫu nhiên X , kí hiệu σ(X), là ăn bậ hai ủa phương sai. Công thứ tính σ(X) = √ V(X) ứng dng: Khi ần đánh giá mứ độ phân tán ủa biến ngẫu nhiên theo đơn vị đo ủa nó thì dùng độ lệ h huẩn. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 95 / 293 4. Cá tham số đặ trưng ủa BNN 4.5. Độ lệ h huẩn Định nghĩa: Độ lệ h huẩn ủa biến ngẫu nhiên X , kí hiệu σ(X), là ăn bậ hai ủa phương sai. Công thứ tính σ(X) = √ V(X) ứng dng: Khi ần đánh giá mứ độ phân tán ủa biến ngẫu nhiên theo đơn vị đo ủa nó thì dùng độ lệ h huẩn. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 95 / 293 4. Cá tham số đặ trưng ủa BNN 4.6. Hệ số biến thiên Định nghĩa: Hệ số biến thiên ủa X, kí hiệu là CV, đượ xá định bởi ông thứ CV = ∣∣∣∣σ(X) E(X) ∣∣∣∣.100% nếu E(X) > 0 4.7. Giá trị tới hạn Định nghĩa: Giá trị tới hạn mứ α ủa biến ngẫu nhiên liên t X, kí hiệu là xα là giá trị ủa X thỏa mãn điều kiện: P(X > xα) = α ⇔ P(U < uα) = 1− α Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 96 / 293 4. Cá tham số đặ trưng ủa BNN 4.6. Hệ số biến thiên Định nghĩa: Hệ số biến thiên ủa X, kí hiệu là CV, đượ xá định bởi ông thứ CV = ∣∣∣∣σ(X) E(X) ∣∣∣∣.100% nếu E(X) > 0 4.7. Giá trị tới hạn Định nghĩa: Giá trị tới hạn mứ α ủa biến ngẫu nhiên liên t X, kí hiệu là xα là giá trị ủa X thỏa mãn điều kiện: P(X > xα) = α ⇔ P(U < uα) = 1− α Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 96 / 293 4. Cá tham số đặ trưng ủa BNN 4.8. Một vài tham số đặ trưng ho mứ độ phân phối xá suất a. Hệ số bất đối xứng Hệ số bất đối xứng đượ xá định bởi biểu thứ α 3 = à 3 σ3 trong đó à 3 = E[X− E(X)]3 b. Hệ số nhọn Hệ số nhọn đượ xá định bởi biểu thứ α 4 = à 4 σ4 trong đó à 4 = E[X− E(X)]4 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 97 / 293 Bài tập 2. BNN rời rạ : 1, 4, 5, 19 → 22, 30, 36, 37, 40, 41, 65 (70), 67, 72, 77 (đọ VD/110), 82, 86 BNN liên t : 9, 12, 24, 25, 83 Cá âu hỏi ôn tập 8, 45 → 64 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 98 / 293