Bài giảng Lý thuyết thông tin - Chương 4: Mã sửa sai (Phần 1)

Chương 4: Mã sửa sai 4.1 Khoảng cách Hamming và chận Hamming Giới thiệu • Ở chương này ta chỉ xét kênh nhị phân đối xứng • Các input của kênh được chọn từmột tập các từ mã nhị phân chiều dài n, nghĩa là tập các dãy n 9/30/2010 2 Huỳnh Văn Kha ký tự 0 và 1 • Giả sử các từmã xuất hiện với xác suất bằng nhau • Do lỗi có thể xảy ra ở bất cứ vị trí nào của chuỗi input nên output là tập 2n dãy nhị phân độ dài n • Bài toán đầu tiên là tìm phương án giải mã tối ưu cho bộmã nói trên Giới thiệu • Ký hiệu các từmã và các chuỗi output lần lượt là w1, w2, ., ws và v1, v2, • Phương án giải mã tối ưu là phương án làm cực 9/30/2010 3 Huỳnh Văn Kha tiểu xác suất sai • Khi nhận được v, như ta đã biết, phương án giải mã tối ưu là chọn w sao cho p(w|v) cực đại • Nhưng do các từmã có cùng xác suất nên cực đại p(w|v) tương đương với việc cực đại p(v|w) Khoảng cách Hamming • Ta định nghĩa khoảng cách d(v1, v2) giữa hai dãy nhị phân n ký tự v1, v2 là số vị trí mà ở đó ký tự mã của v1, v2 khác nhau 9/30/2010 4 Huỳnh Văn Kha • Ví dụ: v1 = 011011, v2 = 110001 Thì d(v1, v2) = 3 • Nếu input là w và output là v thì khi đó kênh đã truyền sai đúng d(w, v) ký tự. Do đó nếu xác suất truyền sai của kênh là β, thì Cực ñại p(v|w) • Ta sẽ so sánh p(v|w1) và p(v|w2) • Đặt d1 = d(w1,v), d2 = d(w2,v), ta có 9/30/2010 5 Huỳnh Văn Kha • Chú ý, đối với kênh nhị phân đối xứng ta luôn giả sử 01. Vậy p(v|w1) > p(v|w2) khi và chỉ khi d1 < d2 • Vậy p(v|w) cực đại khi d(v,w) cực tiểu ðịnh lý 4.1 Giả sử bộmã cho kênh nhị phân đối xứng gồm s từ mã độ dài n có xác suất như nhau. Phương án giải mã tối ưu là phương án làm cực tiểu khoảng 9/30/2010 6 Huỳnh Văn Kha cách. Nghĩa là với mỗi dãy v nhận được, bộ giải mã sẽ chọn từmã w sao cho khoảng cách d(w,v) là nhỏ nhất Nếu có nhiều hơn một cực tiểu thì chọn từmã nào trong số đó cũng không ảnh hưởng đến xác suất sai Ví dụ • Cho bộmã w1 = 00000 w = 10011 9/30/2010 7 Huỳnh Văn Kha • Tìm phương án giải mã tối ưu khi nhận được v = 01011, v’ = 00110? 2 w3 = 11100 w4 = 01111 Tính chất của khoảng cách Ta có thể kiểm chứng rằng khoảng cách Hamming là một metric, nghĩa là thỏa các tính chất sau a. d(v1, v2) ≥ 0, d(v1, v2) = 0 khi và chỉ khi v1 = v2 9/30/2010 8 Huỳnh Văn Kha b. d(v1, v2) = d(v2, v1) c. d(v1, v3) ≤ d(v1, v2) + d(v2, v3) Bất đẳng thức cuối cùng là bất đẳng thức tam giác • Do ta giải mã dãy v thành từmã gần với v nhất nên xuất hiện khái niệm bộmã “tốt” là bộmã có các từmã “ở xa” nhau Bổ ñề 4.2 Gọi w1, w2, , ws là các từmã nhị phân chiều dài n, và e là một số nguyên dương. Giả sử d(wi, wj) ≥ 2e + 1, với mọi i ≠ j 9/30/2010 9 Huỳnh Văn Kha Thì khi đó, mọi sự truyền sai không quá e bit đều có thể sửa được. Nếu d(wi, wj) ≥ 2e, với mọi i ≠ j, thì mọi sự truyền sai không quá e-1 bit đều có thể sửa được và mọi sự truyền sai e bit đều có thể phát hiện được, nhưng chưa chắc sửa được Bổ ñề 4.2 Ngược lại, bộmã có tính chất mọi sự truyền sai không quá e bit đều sửa được thì phải thỏa mãn d(wi, wj) ≥ 2e + 1, với mọi i ≠ j 9/30/2010 10 Huỳnh Văn Kha Một bộmã có tính chất mọi sự truyền sai không quá e-1 bit đều sửa được, và mọi sự truyền sai không quá e bit đều phát hiện được thì phải thỏa mãn d(wi, wj) ≥ 2e , với mọi i ≠ j Chứng minh bổ ñề 4.2 wi wj wi wj 9/30/2010 11 Huỳnh Văn Kha • Giả sửw được truyền và chuỗi nhận được là v. Xét w’ là từmã khác w • Đầu tiên giả sử khoảng cách cực tiểu của hai từ mã ít nhất là 2e+1, ta có d(w,v) + d(w’,v) ≥ d(w,w’) ≥ 2e+1 d(wi, wj) = 2e+1 d(wi, wj) = 2e Chứng minh bổ ñề 4.2 • Để bộ giãi mã v thành w’ thì d(w,v) ≥ e + 1. Nghĩa là để giải mã sai thì phải truyền sai ít nhất e + 1 ký tự 9/30/2010 12 Huỳnh Văn Kha • Nếu khoảng cách giữa hai từmã ít nhất là 2e thì d(w,v) + d(w’,v) ≥ d(w,w’) ≥ 2e • Nếu sai đúng e ký tự và d(w’,v) = e thì giải mã thành w hay w’ đều được, nghĩa là có thể sai • Nếu sai ít hơn e ký tự thì d(w,v) là nhỏ nhất và sẽ giải mã đúng. • Chiều ngược lại tương tự Chận Hamming Khi e lớn thì khoảng cách giữa các từmã cũng lớn hơn và dẫn tới số từmã ít đi. Câu hỏi đặt ra là có nhiều nhất bao nhiêu từmã trong một bộmã có 9/30/2010 13 Huỳnh Văn Kha thể sửa được mọi sự truyền sai không quá e ký tự Định lý 4.3: Nếu bộmã chứa s dãy nhị phân chiều dài n có thể sửa sai mọi sự truyền sai không quá e ký tự, thì: Chứng minh ñịnh lý 4.3 • Gọi các từmã là w1, w2, , ws. Vẽ các “mặt cầu” “tâm” wi “bán kính” e. Mỗi “mặt cầu” như vậy chứa tất cả dãy nhị phân v thỏa d(wi,v) ≤ e 9/30/2010 14 Huỳnh Văn Kha • Do bộmã sửa được mọi sự truyền sai e ký tự nên các “mặt cầu” là rời nhau • Số dãy nhị phân trong mỗi mặt cầu là • Do đó Chú ý • Cố định e, n và gọi s là số nguyên lớn nhất thỏa điều kiện định lý 4.3 thì chưa chắc tồn tại bộmã sửa sai được e ký tự chứa s từmã chiều dài n 9/30/2010 15 Huỳnh Văn Kha • Ví dụ, nếu e = 1, n = 4 ta có 2n/(1+n) = 16/5 và số nguyên lớn nhất thỏa là s = 3 • Tuy nhiên không có bộmã nào sửa sai được 1 ký tựmà có số từmã nhiều hơn 2 (kiểm tra) • Vậy chận Hamming là điều kiện cần nhưng chưa đủ cho sự tồn tại của của bộmã sửa sai e ký tự