Bài giảng Lý thuyết cơ bản về tương giao

Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! Xét các hàm số ( )=y f x có đồ thị là (C), tập xác định D1 và hàm số ( )=y g x có đồ thị là (C’), tập xác định là D2. Khi đó số nghiệm của phương trình ( ) ( )=f x g x với ( )1 2∈ ∩x D D chính là số giao điểm của hai đồ thị đã cho. Phương trình ( ) ( )=f x g x hay ( ) ( ) 0 ( ) 0− = ⇔ =f x g x h x được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số. Ví dụ 1: [ĐVH]. Biện luận theo m số giao điểm của hai đồ thị cho dưới đây : a) ( ) 3 3 2 2  = − −  = − y x x y m x b) 2 1 2 2 +  =  +  = + xy x y x m c) ( ) 4 2 2 1 1 2  = + +  = − + y x x y m x m Hướng dẫn giải: a) ( ) 3 3 2 2  = − −  = − y x x y m x Phương trình hoành độ giao điểm: ( ) ( )( ) ( ) ( )3 23 2 2 2 2 1 2 , 1− − = − ⇔ − + + = −x x m x x x x m x ( ) ( ) ( )2 2 2 1 2 1 0, 2 = ⇔  + = ⇔ = + + − = x x m h x x x m Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm của phương trình (1). Do (1) là phương trình bậc ba nên có tối đa ba nghiệm, khi đó số giao điểm tối đa của hai đồ thị là 3.
Hai đồ thị cắt nhau tại 1 điểm khi (1) chỉ có một nghiệm. Điều đó xảy ra khi (2) vô nghiệm, hoặc có nghiệm kép x = 2. Từ đó ta có điều kiện tương ứng ( )0 1 1 0 0 0 0.0 2 1 2 2 ′∆ <  − − < ⇔ < ′ ∆ = ⇔ ⇔ <=  →  = − = − =   o m m mm vnb x a
Hai đồ thị cắt nhau tại 2 điểm khi (1) có hai nghiệm phân biệt. Điều đó xảy ra khi (2) có nghiệm kép khác x = 2, hoặc có hai nghiệm phân biệt và trong đó một nghiệm là x = 2. Ta có điều kiện ( ) 0 0 2 2 0 0 9 2 0 9 ′ ∆ =  → = = − ≠  ′∆ > > ⇔ → =  = =  mb x a m m h m
Hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm khi (1) có ba nghiệm phân biệt. Điều đó xảy ra khi (2) có hai nghiệm phân biệt và đều khác 2 ( ) 0 0 2 0 9 ′∆ > > ⇔ ⇔  ≠ ≠  m h m Kết luận: + Hai đồ thị cắt nhau tại một điểm khi m < 0. + Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm khi m = 0 hoặc m = 9. + Hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt khi m > 0 và m ≠ 9. b) 2 1 2 2 +  =  +  = + xy x y x m . Điều kiện: x ≠ −2. 03. LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ TƯƠNG GIAO Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! Phương trình hoành độ giao điểm: ( ) ( ) ( )22 1 2 2 2 2 1 0 0, 1 . 2 + = + ⇔ + + + − = ⇔ = + x x m x m x m h x x Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm khác −2 của phương trình (1). Do (1) là phương trình bậc hai nên có tối đa hai nghiệm, khi đó số giao điểm tối đa của hai đồ thị là 2.
Hai đồ thị không cắt nhau khi (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x = −2. Ta có ( )2 2 4 4 8 2 1 00 6 2 6 6 2 6 0 12 12 0 6 2 6 6 2 6.6 2 6 22 622 4  + + − − <∆ <  − < < + ∆ =  − + = ⇔ ⇔ ⇔ − < < +  = ± →  += − = − =− = −     o m m m m m m mm vnb mx m a
Hai đồ thị cắt nhau tại một điểm khi (1) có nghiệm kép khác −2 hoặc có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm là x = −2. Ta có điều kiện: ( ) ( ) 2 2 12 12 0 6 2 60 6 2 62 62 42 2 6 2 60 12 12 0 6 2 62 0 8 2 2 2 1 0 3 0  − + =  = ±  ∆ = ⇔ → = ± +  ≠− ≠ −   = − ≠ −  ⇔  > + ∆ >  − + >   ⇔ →   < − = − + + − =   = o m m m mm mb x a m m m vnmh m m
Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi (1) có hai nghiệm phân biệt và đều khác −2 Ta có điều kiện: ( ) ( ) 2 6 2 60 12 12 0 6 2 6 6 2 62 0 8 2 2 2 1 0 6 2 6 3 0  > + ∆ >  − + > > +  ⇔ ⇔ →    < −≠ − + + − ≠ < −   ≠ m m m m mh m m m Kết luận: + Hai đồ thị không cắt nhau khi 6 2 6 6 2 6.− < < +m + Hai đồ thị cắt nhau tại một điểm khi 6 2 6.= ±m + Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi 6 2 6 6 2 6  > +  < − m m c) ( ) 4 2 2 1 1 2  = + +  = − + y x x y m x m Phương trình hoành độ giao điểm: ( ) ( ) ( )4 2 2 4 21 1 2 1 2 0 0, 1 .+ + = − + ⇔ + + − = ⇔ =x x m x m x mx m h x Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm của phương trình (1). Do (1) là phương trình bậc bốn nên có tối đa bốn nghiệm, khi đó số giao điểm tối đa của hai đồ thị là 4. Đặt ( ) ( ) ( )2 2, 0 1 2 0, 2= ≥ → = + + − =t x t h t t mt m
Hai đồ thị không cắt nhau khi (1) vô nghiệm, điều đó xảy ra khi (2) vô nghiệm, hoặc có nghiệm kép âm, hoặc có hai nghiệm âm phân biệt. + (2) vô nghiệm khi ( ) ( )22 20 4 1 2 0 8 4 0 4 20 4 2 5 4 2 5∆ < ⇔ − − < ⇔ + − < ⇔ + < ⇔ − − < < − +m m m m m m + (2) có nghiệm kép âm khi 20 8 4 0 4 2 5 4 2 5. 0 00 2 2 ∆ = + − =  = − ±   ⇔ ⇔ → = − + −   − = <    m m m mb mt m a + (2) có hai nghiệm âm phân biệt khi 2 1 2 1 2 4 2 5 4 2 50 8 4.0 10 0 0 4 2 5 . 2 1 2 0 10 2  > − +   + −   + →− + < <      − >>   <   m mm m t t m m m mt t m Hợp ba khả năng lại ta được điều kiện để hai đồ thị không cắt nhau là 14 2 5 . 2 − − < <m
Hai đồ thị cắt nhau tại một điểm khi (1) có một nghiệm, điều đó chỉ xảy ra khi nghiệm đó là x = 0. Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! Từ đó ta được kiện 11 2 0 . 2 − = ⇔ =m m
Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm khi phương trình (1) có hai nghiệm, điều đó xảy ra khi (2) có nghiệm kép dương, hoặc có hai nghiệm trái dấu. + (2) có nghiệm kép dương khi 20 8 4 0 4 2 5 4 2 5. 0 00 2 2 ∆ = + − =  = − ±   ⇔ ⇔ → = − − −   − = >    m m m mb mt m a + (2) có hai nghiệm trái dấu khi 1 2 10 1 2 0 . 2 t t m m Hợp hai khả năng lại ta được điều kiện để hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm là 4 2 5 1 2  = − −   >  m m
Hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm khi (1) có ba nghiệm, điều đó xảy ra khi (2) có một nghiệm t = 0 và một nghiệm t > 0. Điều đó xẩy ra khi ( ) 1 2 10 0 1 2 0 .200 0  = − = =  ⇔ ⇔ →   − >+ >   < o h m m vn mt t m Vậy không có giá trị nào của m để hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm.
Hai đồ thị cắt nhau tại bốn điểm khi (1) có bốn nghiệm, điều đó xảy ra khi (2) có hai nghiệm phân biệt, và hai nghiệm đều dương. Điều đó xẩy ra khi 2 1 2 1 2 4 2 5 4 2 50 8 4 0 0 0 0 4 2 5. 1 2 0 10 2  > − +   > − −∆ > + − >   + > ⇔ − > ⇔ < → < − −      − >>   <   m mm m t t m m m mt t m Kết luận: +) Hai đồ thị không cắt nhau khi 14 2 5 . 2 − − < <m +) Hai đồ thị cắt nhau tại một điểm khi 1 . 2 =m +) Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi 4 2 5 1 2  = − −   >  m m +) Hai đồ thị cắt nhau tại bốn điểm phân biệt khi 4 2 5.< − −m Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị a) 3 23 3 4  = + +  = + y x x x y x b) 3 1 2 3 + = −  = − xy x y x Ví dụ 3: [ĐVH]. Biện luận số giao điểm của hai đồ thị 3 2( 1) 2 2 3 4  = + − + +  = − y x m x mx y x theo tham số m. Ví dụ 4: [ĐVH]. Biện luận số giao điểm của hai đồ thị 2 1 1 + = −  = + x my x y mx theo tham số m. Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH]. Biện luận theo m số giao điểm của hai đồ thị hàm số cho dưới đây? a) ( ) 3 3 3 3  = − +   = − xy x y m x b) ( ) 32 1 1  = − −  = − y x x y m x c) 1 1 2 + = −  = − + xy x y x m Bài 2: [ĐVH]. Biện luận theo m số giao điểm của hai đồ thị hàm số cho dưới đây? a) 4 2 2 13 2 2 1  = − + +   = + xy x y mx b) ( ) 4 2 2 2 3 1 2  = − + + −  = − − y x m x y x c) 2 2 1  = +  = − + xy x y mx