Bài giảng Lý thiết điều khiển tự động - Chương 7: Mô tả toán toán học hệ thống điều khiển rời rạc - Võ Văn Định

m       )( )()1(...)1()()30.7( 11 kr keakeankeanke nn    7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.2 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền hệ rời rạc Áp dụng phương pháp đã trình bày ở mục 7.4.1.1, đặt các biến trạng thái: )()1()1()()1()( )2()()1()( )1()()1()( )()( 1 323 212 1 nkekxnkekxkxkx kekxkxkx kekxkxkx kekx nnnn       7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.2 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền hệ rời rạc )( 1 0 0 0 )( )( )( )( 1000 0000 0010 )1( )1( )1( )1( 1 2 1 121 1 2 1 kr kx kx kx kx aaaakx kx kx kx n n nnn n                                                                                   Ta được phương trình: 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.2 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền hệ rời rạc )()1(...)1()()( 110 kebkebmkebmkebkc mm   Phương trình (7.29) trở thành như sau: )()(...)()()( 121110 kxbkxbkxbkxbkc mmmm                        )( )( )( )( 00)( 1 2 1 011 kx kx kx kx bbbbkc n n mm  7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.2 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền hệ rời rạc Tóm lại ta được hệ phương trình trạng thái:      )()( )()()1( kxCkc krBkxAkx d dd Trong đó:                   )( )( )( )( )( 1 2 1 kx kx kx kx kx n n                     121 1000 0000 0010 aaaa A nn d      7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.2 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền hệ rời rạc                  0 0 0 0 b Bd   00)( 011  bbbbkcC mmd  7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.2 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền hệ rời rạc Ví dụ: Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống bởi hàm truyền là: Giải: Hàm truyền đã cho tương đương với: 452 3 )( )( )( 23 2    zzz z zR zC zG 25,25,0 5,15,0 )( )( )( 23 2    zzz z zR zC zG 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.2 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền hệ rời rạc Đặt biến phụ E(z) sao cho:      )()25,25,0()( )()5,15,0()( 23 2 zEzzzzR zEzzC       )(2)1(5,2)2(5,0)3()( )(5,1)2(5,0)( kekekekezR kekekc 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.2 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền hệ rời rạc Đặt biến trạng thái: )1()( )1()( )()( 23 12 1    kxkx kxkx kekx Ta được hệ phương trình:      )()( )()()1( kxCkc krBkxAkx d dd 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.2 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền hệ rời rạc Trong đó:            )( )( )( )( 3 2 1 kx kx kx kx                         5,05,22 100 010 100 010 123 aaa Ad            1 0 0 dB    5,005,1012  bbbCd 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Phương pháp này chỉ áp dụng được cho hệ thống có sơ đồ khối như sau: G(s) r(t) ZOH c(t) T e(t) e(kT) 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Bước 1: Thành lập hệ phương trình biến trạng thái liên tục: eR(t) c(t) G(s)      )()( )()()( tCxtc tBetAxtx R Trình tự thành lập hệ phương trình trạng thái 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Trình tự thành lập hệ phương trình trạng thái Bước 2: Tính ma trận quá độ của hệ liên tục:  )()( 1 st  L với: 1)(Φ(s)  AsI 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Trình tự thành lập hệ phương trình trạng thái Bước 3: Rời rạc hóa phương trình biến trạng thái ở bước 1, ta được:        )()( )()()1( kTxCkTc kTeBkTxATkx d Rdd Trong đó:           CC BdB TA d T d d 0 )( )(  7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Chứng minh bước 1 và bước 2 thành lập phương trình trạng thái và tính ma trận quá độ của hệ liên tục không có gì phải chứng minh. Ta chứng minh từ bước 3, ở bước này ta suy ra phương trình trạng thái của hệ rời rạc từ phương trình trạng thái của hệ liên tục. Bước 3 ở chương 2 ta đã biết nghiệm của phương trình trạng thái hệ liên tục cho bởi công thức:  t R dBexttx 0 )()()0()()(  7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Tổng quát: Áp dụng công thức trên với:   t t R dBettxtttx 0 )()()()()( 000       Tkt kTt )1( 0 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Ta được:      Tk kT R dBekTkTxTTkx )1( )()()()()1(  Ta lại có: TkkTkTeeR )1(:);()(   (do eR() là tín hiệu ở ngõ ra của khâu giữ ZOH) Thay vào công thức trên ta được:      Tk kT dkTBekTkTxTTkx )1( )()()()()1(  7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Do e(kT) không phụ thuộc vào biến lấy tích phân  nên:   )()()()()1( )1( kTeBdkTkTxTTkx Tk kT             Đổi biến phép lấy tích phân ta được:   (7.31) )()()()()1( 0 kTeBdkTxTTkx R B T A d d              Rời rạc hóa phương trình ngõ ra của hệ liên tục, ta được: )()( kTxCkTc d 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Bước 4: Theo sơ đồ khối của hệ thống ta thấy )()()()()( kTxCkTrkTckTrkTe d Thay vào (7.31) ta được kết quả cần chứng minh. 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Ví dụ: Cho hệ thống rời rạc có sơ đồ như hình vẽ. Hãy thành lập hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống với các biến trạng thái được xác định trên hình vẽ. r(t) ZOH c(t) T=1 e(t) e(kT) as  1 s 1 K eR(t) x2 x1 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Giải: c(t) as  1 s 1 K eR(t) x2 x1 Bước 1: Thành lập hệ phương trình biến trạng thái: Theo hình vẽ ta có: (7.32) )()( )()()( 21 21 2 1 txtx sXssX s X sX    7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Giải: (7.33) )()()( )()()( )()()( )( )( 22 22 22 tetaxtx tetaxtx sEsXas as sE sX R R R R        7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Giải: Kết hợp (7.32) và (7.33) ta được hệ phương trình:      )()()( )()( 22 21 tetaxtx txtx R   )( 1 0 )( )( 0 10 )( )( 2 1 2 1 te tx tx atx tx R                            (7.34) )()()( tBetAxtx R  7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Giải: Đáp ứng của hệ thống:   )( )( )( 0)()( 2 1 1 tCx tx tx KtKxtc               1 0 B        a A 0 10  0KC  Do đó: 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Bước 2: Tính ma trận quá độ:                                                       as asss s as ass as s a sAsIs 1 0 )( 11 0 1 )( 1 0 1 0 10 10 01 .)()( 11 1 Giải: 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục                                as asss-s-t 1 0 )( 11 1 )(1 )( LL Giải: 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục                                                            as - ass - s - t 11 0 )( 11 11 )( L LL Giải:             at at e e at 0 )1( 1 1 )( 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Bước 3: Rời rạc hóa các phương trình trạng thái của hệ liên tục, ta được: Giải:        )()( )()()1( kTxCkTc kTeBkTxATkx d Rdd Trong đó:                          aT aT Tt at at d e e a e e aTA 0 )1( 1 1 0 )1( 1 1 )( 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Giải:                                                                  aa e aa e a T a e a e a d e e ad e e aBdB aT aTT a a T T a a a aT d 1 1 )1( 1 1 0 0 )1( 1 1 )( 22 0 2 0 00          0KCCd  7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Bước 4: Hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống rời rạc với tín hiệu vào r(kT) là: Giải:          )()( )()()1( kTxCkTc kTrBkTxCBATkx d dddd Trong đó:    0 1 1 0 )1( 1 1 22 K aa e aa e a T e e aCBA aT aT aT aT ddd                              7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Giải:                                  aT aT aT aT ddd e aa e K e aaa e a T K CBA 1 )1( 11 1 22 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Ví dụ bằng số cụ thể: a = 2, T = 0,02 sec, K = 10        20 10 A Bước 1:  010C       1 0 B                         t t at at e e e e at 2 2 0 )1( 2 1 1 0 )1( 1 1 )( Bước 2: 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Bước 3:                                368,00 316,01 0 )1( 2 1 1 0 )1( 1 1 5,0.2 5,0.2 e e e e aA aT aT d                                          316,0 092,0 2 1 2 2 1 22 5,0 1 1 5,0.2 22 5,0.2 22 e e aa e aa e a T B aT aT d  010CCd 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Bước 4:                                       368,0160,3 316,0080,0 0160,3 0920,0 368,00 316,01 010 316,0 092,0 368,00 316,01 ddd CBA 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Kết luận: hệ phương trình biến trạng thái cần tìm là: )(. 316,0 092,0 )( )( 368,016,3 316,0080,0 )1( )1( 2 1 2 1 kr kx kx kx kx                                     )( )( 010)( 2 1 kx kx kc 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.4 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ hệ phương trình trạng thái Cho hệ thống rời rạc mô tả bởi hệ phương trình biến trạng thái:      )()( )()()1( kxCkc krBkxAkx d dd Bài toán đặt ra là tìm hàm truyền: )( )( )( zR zC zG  Biến đổi Z hệ phương trình trạng thái, ta được:      )()( )()()( zXCzC zRBzXAzzX d dd 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.4 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ hệ phương trình trạng thái       )()( )()()( zXCzC zRBzXAzI d dd        )()( )()()( 1 zXCzC zRBAzIzX d dd )()()( 1 zRBAzICzC ddd  7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.4 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ hệ phương trình trạng thái Lập tỉ số ta được:   (7.35) )( )( )( 1 ddd BAzIC zR zC zG   Ví dụ: Cho hệ thống mô tả bởi phương trình trạng thái: Trong đó:         1,07,0 10 dA  01CCd       2 0 dB Hãy viết hàm truyền của hệ thống trên?        )()( )()()1( kTxCkTc kTeBkTxATkx d Rdd 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.4 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ hệ phương trình trạng thái Giải: Áp dụng công thức (7.35), hàm truyền của hệ thống là:   ddd BAzIC zR zC zG 1 )( )( )(   Ta có:                                             z z zz z z z z AzI d 7,0 11,0 7,0)1( 1 1,07,0 1 1,07,0 10 0 0 11 1 7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 7.4.4 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ hệ phương trình trạng thái                            zzz z z zz BAzI dd 2 2 7,0)1( 1 2 0 7,0 11,0 7,0)1( 11     7,0)1( 2 2 2 01 7,0)1( 11           zzzzz BAzIC ddd Vậy: 7,0)1( 2 )(   zz zG