Bài giảng Lý thiết điều khiển tự động - Chương 4: Khảo sát tính ổn định của hệ thống - Võ Văn Định

ng hồi tiếp âm đơn vị, trong đó hàm truyền hở là: Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi K = 0  + (1) 0 )208)(3( )1( 10)(1 2     ssss sK sG )208)(3( )1( )( 2    ssss sK sG Giải: Phương trình đặc trưng của hệ thống: 4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số 4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ Các cực: p1 = 0 , p2 = - 3 ; p3,4 = - 4  j2  QĐNS gồm có bốn nhánh xuất phát từ các cực khi K = 0. Các zero: z1 =1 Khi K  +, một nhánh tiến đến zero, ba nhánh còn lại tiến đến vô cùng theo các tiệm cận xác định bởi: - Góc giữa các tiệm cận và trục thực:                   )1( )1( 3 )0( 3 14 )12()12( 3 2 1 l l l l mn l        4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số 4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ - Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực: 3 10 1-4 )1()]24()24()3(0[ zero OA        jj mn cùc - Điểm tách nhập là nghiệm của phương trình 0 ds dK Ta có (1) 0)1()208)(3( 2  sKssss )1( )208)(3( 2    s ssss K 4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số 4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ 2 234 )1( 608877263    s ssss ds dK Do đó 0 ds dK 0608877263 234  ssss       97,066,0 05,167,32,1 j js 3,4s Vậy, quỷ đạo nghiệm số không có điểm tách nhập 4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số 4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ 0)1()208)(3()1( 2  sKssss - Giao điểm của QĐNS với trục ảo được xác định bằng cách thay s = j vào phương trình đặc tính. Thay s = j ta được: 0)60(4411 234  KsKsss 0))(60()(44)(110( 234  KjKjjj  0)60(4411 234  KjKj  4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số 4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ                          7,61 314,1 322 893,5 0 0 K j K K    Vậy, giao điểm cần tìm là: Hệ số khuếch đại giới hạn là: Kgh = 322 893,5js  4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số 4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ - Góc xuất phát của QĐNS tại cực phức p3 )(180 4321 0 3   )906,1164,153(3,146180  o7,333  0 Re Im s 893,5j -1-4 +j2 - j2 -2-3 893,5j o7,33 1 2 3 4 4.4.1 Nguyên lý góc quay 4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ Xét hệ thống bậc n có phương trình đặc tính hệ số hằng: Đa thức A(s) được viết dưới dạng: (4.17) 0...)( 1 1 10    nn nn asasasasA ))...()(()( 210 npspspsasA  Với p1, p2, ,pn là cực của hệ thống, là nghiệm của phương trình đặc tính. Thay s = j vào phương trình (4.17) ta có: ))...()(()( 210 npjpjpjajA   4.4.1 Nguyên lý góc quay 4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ Giả sử phương trình (4.17) có m nghiệm phải (có phần thực dương), còn (n – m) nghiệm trái có phần thực âm. Góc quay của véctơ đa thức đặc tính tần số G(j)    n i ipjjA 1 )arg()(arg  j + (j -Pm)(j -Pn - m) 0 j + -  Pm Pn - m 4.4.1 Nguyên lý góc quay 4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ Khi tần số  thay đổi từ - đến + thì sự thay đổi góc quay của véctơ đa thức đặc tính tần số A(j) sẽ là:     n i ipjjA 1 )arg()(arg   Ký hiệu  chỉ sự thay đổi góc quay. Nếu quy định chiều quay dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ thì ta có biểu thức sau đối với nghiệm trái và phải:      )arg( mnpj     )arg( mpj Hệ có m nghiệm phải và (n – m) nghiệm trái:   )2()()(arg mnmmnjA   4.4.1 Nguyên lý góc quay 4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ Véctơ đa thức đặc tính tần số A(j) sẽ quay một góc bằng hiệu số nghiệm trái (n – m) và nghiệm phải (m) nhân với  khi  biến thiên từ - đến +. Nguyên lý góc quay: Hệ thống bậc n có m nghiệm phải và (n – m) nghiệm trái có vectơ đa thức đặc tính tần số A(j) sẽ quay một góc là (n – 2m)/2 vòng kín theo chiều ngược chiều kim đồng hồ khi tần số  biến thiên từ - đến +   2. 2 2 )(arg          mn jA 4.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số 4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ Tiêu chuẩn ổn định dựa vào nguyên lý góc quay được A. V. Mikhailov phát biểu vào năm 1938: Điều kiện cần và đủ để hệ tuyến tính ổn định là biểu đồ véctơ đa thức đặc tính A(j) xuất phát từ nửa trục thực dương tại  bằng không, phải quay n góc phần tư theo chiều ngược chiều kim đồng hồ khi tần số  biến thiên từ 0 đến +   2. 2 2 )(arg          mn jA 4.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số 4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ  Tiêu chuẩn ổn định dựa vào nguyên lý góc quay được A. V. Mikhailov phát biểu vào năm 1938: Điều kiện cần và đủ để hệ tuyến tính ổn định là biểu đồ véctơ đa thức đặc tính A(j) xuất phát từ nửa trục thực dương tại  bằng không, phải quay n góc phần tư theo chiều ngược chiều kim đồng hồ khi tần số  biến thiên từ 0 đến +, với n là bậc của phương trình đặc tính của hệ thống.  Chứng minh: Xét hệ thống bậc n có phương trình đâc tính: (4.18) 0...)( 1 1 10    nn nn asasasasA Hệ thống ổn định nếu n cực nằm bên trái mặt phẳng phức. 4.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số 4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ Theo nguyên lý góc quay: Vì A(j) và A(-j) là phức liên hợp nên: (4.19) )(arg   njA   (4.20) )(arg)(arg 00     jAjA Do đó phương trình (4.20) có thể được viết dưới dạng: 2 )(arg 0    njA   4.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số 4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ Hệ ổn định n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 Re Im 0  = 0   Hệ không ổn định n = 1 Re Im 0  = 0 n = 4 n = 2 n = 3 4.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số 4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ  Xây dựng biểu đồ Mikhailov  Thay s = j vào phương trình đặc tính sau đó tách phần thực và phần ảo: )()()(  jQPjA  Trong đó: P() là hàm chẵn với : P(-) = P() Q() là hàm lẻ với : Q(-) = - Q()  Từ biểu thức A(j) nhận được bằng cách thay s = j vào mẫu số hàm truyền: nn nn ajajajajA    )(...)()()( 1 1 10  Ta nhận thấy A(j) chính là đường chéo của đa giác có cạnh tương ứng bằng ak n-k và các cạnh vuông góc với nhau. 4.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số 4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ Ví dụ: Xét hệ bậc ba n = 3 Cho  biến thiên từ 0 đến  bằng phương pháp xây dựng toàn bộ biểu đồ đa thức đặc tính A(j). 32 2 1 3 0 )()()()( ajajajajA   Re Im 0 3a 12a 2 11a 3 10a )( jA 4.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số 4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ  Đa thức đặc tính (mẫu số hàm truyền đạt của hệ cần xét ổn định ở trạng thái hở hoặc trạng thái kín) được phân tích thành hai thành phần: )()()( sKsDsA  Ví dụ: 0)()1)(1)(1()( 321  KsDKsTsTsTsA T1 = 0,5; T2 = 2; T3 = 0,1. Tính Kgh     00 )()(arg KjDjA 4.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số 4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ Xây dựng biểu đồ: )()()(  jQPjA  Từ đó suy ra: 225,11)(  P )1,06,2.()( 2 Q       0)( )( ? 0 0   Q KP K ghgh 1,0 6,2 0  5,31 1,0 6,2 25,11       ghK  = 0 Im Re 10 Kgh Cho hệ thống tự động có sơ đồ khối như sau: G(s) R(s) C(s) Cho biết đặc tính tần số của hệ hở G(s), bài toán đặc ra là xét tính ổn định của hệ thống kín Gk(s). 4.4.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist 4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ Tiêu chuẩn Nyquist Hệ thống kín Gk(s) ổn định nếu đường cong Nyquist của hệ hở G(s) bao điểm (-1, j0)l/2 vòng theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ) khi  thay đổi từ 0 đến +, trong đó l là số cực của hệ hở G(s) nằm bên phải mặt phẳng phức. 4.4.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist 4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ Ví dụ: Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, trong đó hệ hở G(s) có đường cong Nyquist như hình vẽ. Biết G(s) ổn định. Xét tính ổn định của hệ thống. 4.4.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist 4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ Im Re 0 (-1, j0) (1) (2) (3)  = 0 Vì G(s) ổn định trên trên G(s) không có cực nằm bên phải mặt phẳng phức. Do đó theo tiêu chuẩn Nyquyst hệ kín ổn định nếu đường cong Nyquyst G(j) của hệ hở không bao điểm (-1,j0), vì vậy: 4.4.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist 4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ Trường hợp 1: G(j) không bao điểm (-1,j0) suy ra hệ ổn định. Trường hợp 2: G(j) qua điểm (-1,j0) suy ra hệ kín ở biên ổn định. Trường hợp 3: G(j) bao điểm (-1,j0) suy ra hệ kín không ổn định. Chú ý: đối với hệ thống có khâu tích phân lý tưởng. Để xác định đường cong Nyquyst có bao điểm (-1,j0) hay không ta vẽ thêm cung -/2 bán kính vô cùng lớn ( là số khâu tích phân lý tưởng trong hàm truyền hệ hở) 4.4.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist 4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ Ví dụ: Xét tính ổn định của hệ thống hồi tiếp âm đơn vị biết hàm truyền của hệ hở là: )1)(1)(1( )( 321   sTsTsTs K sG Giải: tủy theo giá trị của K, T1, T2, T3 mà biểu đồ Nyquyst của hệ hở có thể có một trong ba dạng sau: 4.4.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist 4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ jQ() 0 (-1, j0) (1) (2) (3)  = 0  G(j) P() 4.4.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist 4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ Vì hệ kín không có cực nằm phía bên phải mặt phẳng phức nên: Trường hợp 1: G(j) không bao điểm (-1,j0) suy ra hệ ổn định. Trường hợp 2: G(j) qua điểm (-1,j0) suy ra hệ kín ở biên ổn định. Trường hợp 3: G(j) bao điểm (-1,j0) suy ra hệ kín không ổn định. Ví dụ: cho hệ thống có biểu đồ Bode như hình vẽ. Hỏi hệ kín có ổn định không? 4.4.4 Tiêu chuẩn ổn ổn định Bode 4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ G(s) R(s) C(s) Hệ thống kín Gk(s) ổn định nếu hệ thống hở G(s) có độ dự trữ biên và độ dự trữ pha dương.      0 0 M GM Hệ thống ổn định