Bài giảng Lý thiết điều khiển tự động - Chương 2: Mô tả toán học hệ thống điều khiển liên tục - Võ Văn Định

txtx tytxtxtx tytxtx tytx     B- Phương pháp tọa độ pha 136 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối Thay các biến trạng thái ở biểu thức (2.71) vào phương trình vi phân (2.69) ta được: )()(...)()()( 121110 txbtxbtxbtxbtc mmnn   Viết dưới dạng véc tơ: (2.74) )(.)( txCtc    (2.75) 011 bbbbC mm  Với: B- Phương pháp tọa độ pha 137 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối Thay các biến trạng thái từ (2.70) vào (2.71) ta suy ra được hệ phương trịnh trạng thái: (2.72) )()()( tBrtAxtx  Trong đó: ; 1000 0100 0010 121                    aaaa A nnn                        n n B     1 2 1 ; )( )( )( )( )( 1 2 1                   tx tx tx tx tx n n  (2.73) B- Phương pháp tọa độ pha 138 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối Tóm lại, bằng các đặt biến trạng thái theo phương pháp tọa độ pha, hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống là:      )()( )()()( tCxtc tBrtAxtx Với các ma trận trạng thái xác định bằng biểu thức (2.73) và (2.75) B- Phương pháp tọa độ pha 139 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối Ví dụ ứng dụng: Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống có sơ đồ khối dưới đây bằng phương pháp tọa độ pha: R(s) C(s) )3( 10 ss 2 1 s B- Phương pháp tọa độ pha 140 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối Giải: Hàm truyền của hệ thống là: 1065 2010 )( )( 23    sss s sR sC )().1065()( )().2010()( 23 sYssssR sYssC   Đặt biến phụ Y(s) thỏa: B- Phương pháp tọa độ pha 141 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối Giải: Suy ra: )(10)(6)(5)()( )(20)(10)(0)( tytytytytr tytytytc     Đặt các biến trạng thái: )()()( )()()( )()( 23 12 1 tytxtx tytxtx tytx      B- Phương pháp tọa độ pha 142 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối Giải: Áp dụng các công thức từ (2.72) đến (2.75), ta có hệ phương trình mô tả trạng thái hệ thống là:      )()( )()()( tCxtc tBrtAxtx B- Phương pháp tọa độ pha 143 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối Giải: Trong đó:                         5610 100 010 100 010 123 aaa A            1 0 0 B    01020012  bbbC B- Phương pháp tọa độ pha 144 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối Nhận xét: Mặt dù ví dụ cho ở sơ đồ khối mục A và mục B là như nhau nhưng hệ phương trình trạng thái thành lập được ở hai ví dụ trên lại khác nhau. Điều này không có gì vô lý vì là bản chất các biến trạng thái là các biến phụ được đặt ra nhằm chuyển phương trình vi phân bậc n thành hệ gồm n phương trình vi phân bậc nhất, do cách đặt biến trạng thái ở hai ví dụ trên là khác nhau nên kết quả hệ phương trình biến trạng thái bắt buộc phải khác nhau. 145 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối Nếu hệ thống được cho dưới dạng sơ đồ khối ta có thể đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ khối. R(s) C(s) )3)(1( 10  sss C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ Ví dụ 1: Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống có sơ đồ khối như sau: 146 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối Giải: C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ Vẽ lại sơ đồ khối của hệ thống trên với các biến trạng thái được đặt như sau: R(s) C(s) s 1 )1( 1 s )3( 10 s X3(s) X2(s) X1(s) 147 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối Giải: C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ Với cách đặt biến trạng thái như hình vẽ, ta có các quan hệ sau: )( 3 10 )( 21 sX s sX   )(10)(3)( 211 sXsXssX  (2.76) )(10)(3)( 211 txtxtx   148 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối Giải: C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ )( 1 1 )( 32 sX s sX   )()()( 322 sXsXssX  (2.77) )()()( 322 txtxtx   149 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối Giải: C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ  )()(1)(3 sCsR s sX  )()()( 13 sXsRssX  (2.78) )()()( 13 trtxtx   150 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối Giải: C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ Kết hợp (2.76), (2.77) và (2.78) ta được hệ phương trình trạng thái: (2.79) )(. 1 0 0 )( )( )( 001 110 0103 )( )( )( 3 2 1 3 2 1 tr tx tx tx tx tx tx                                                  151 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối Giải: C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ Đáp ứng của hệ thống:              )( )( )( .001)()( 3 2 1 1 tx tx tx txtc 152 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ Ví dụ 2: Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống có sơ đồ khối như sau: R(s) C(s) 4 3 s 5 2   s s 6 1   s s E(s) X2(s) X1(s) X3(s) 153 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối Giải: C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ Với các biến trạng thái như sơ đồ khối, ta có các quan hệ sau: )( 5 2 )( 21 sX s s sX    (2.80) )()(2)(5)( 2211 ssXsXsXssX  154 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối Giải: C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ  )()( 4 3 )( 4 3 )( 322 sXsR s sE s sX      (2.81) )(3)(3)(4)( 322 sRsXsXssX  )( 6 1 )( 13 sX s s sX    (2.82) )()(6)()( 1313 ssXsXsXssX  155 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối Giải: C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ Thay sX2(s) ở biểu thức (2.81) vào biểu thức (2.80) ta được: )(3)(3)(4)(2)(5)( 32211 sRsXsXsXsXssX  (2.83) )(3)(3)(2)(5)( 3211 sRsXsXsXssX  156 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối Giải: C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ Thay sX1(s) ở biểu thức (2.83) vào biểu thức (2.82) ta được: )(3)(3)(2)(5)(6)()( 321313 sRsXsXsXsXsXssX  (2.84) )(3)(9)(2)(4)( 3213 sRsXsXsXssX  157 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối Giải: C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ Từ các biểu thức (2.81), (2.82) và (2.84) ta suy ra hệ phương trình trạng thái:         )(3)(9)(2)(4)( )(3)(3)(4)( )(3)(3)(2)(5)( 3213 322 3211 trtxtxtxtx trtxtxtx trtxtxtxtx    158 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối Giải: C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ Viết lại dưới dạng ma trận: )()()( tBrtAxtx  Trong đó: ; 924 340 325              A            3 3 3 B; )( )( )( )( 3 2 1            tx tx tx tx Đáp ứng của hệ: )()()( 1 tCxtxtc   001C 159 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc Để thành lập hệ phương trình biến trạng thái dạng chính tắc, ta thực hiện theo các bước sau: (2.85) )()( )()()(      tCxtc tBrtAxtx 1. Thành lập biến phương trình trạng thái ở dạng thường: 2. Thực hiện phép đổi biến trạng thái: )()( tMytx  160 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc      )()( )()()( tCMytc tBrtAMytyM Thay vào phương trình (2.85))()( tMytx         )()( )()()( 11 tCMytc tBrMtAMyMty       )()( )()()( tyCtc trBtyAty 161 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc AMMA 1Trong đó: BMB 1 CMC  Hệ phương trình trạng thái (2.86) tương đương với hệ phương trình (2.85). Để (2.86) có dạng chính tắc, phải chọn M sao cho ma trận M-1AM chỉ có đường chéo khác 0. 162 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc Theo lý thuyết đại số tuyến tính, ma trận chuyển đổi M được chọn như sau:                   11 3 1 2 1 1 22 3 2 2 2 1 321 1111 n n nnn n n M         Trong đó I, (i = 0  n) là các trị riêng của ma trận A, tất là nghiệm của phương trình: det(I –A) = 0 163 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc Ví dụ: Cho hệ thống có hàm truyền: 23 13 )( )( )( 2    ss s sR sC sG Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái chính tắc mô tả hệ thống. 164 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc Giải : Áp dụng phương pháp tọa độ pha ta dễ dàng suy ra hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống là: Trong đó:      )()( )()()( tCxtc tBrtAxtx         32 10 A        1 0 B  31C 165 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc Giải : Trị riêng của ma trận A là nghiệm của phương trình: 0)det( AI 0 32 10 10 01 det                        0 32 1 det                    166 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc Giải : 0232         2 1 2 1   Thực hiện phép đổi biến: x(t) = My(t) với ma trận M là:               21 1111 21  M                  11 12 11 12 1)1()2(1 11M 167 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc Giải : Với cách biến đổi trên, ta được hệ phương trình biến trạng thái có dạng:      )()( )()()( tyCtc trBtyAty 168 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc Giải : Trong đó:                            20 01 21 11 32 10 11 121AMMA                       1 1 1 0 11 121BMB    21 11 12 31        CMC 169 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc Giải : Vậy hệ phương trình biến trạng thái chính tắc mô tả hệ thống là: )(. 1 1 )( )( 20 01 )( )( 2 1 2 1 tr ty ty ty ty                                       )( )( 21)( 2 1 ty ty tc 170 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.6 Tính hàm truyền từ hệ phương trình trạng thái Cho hệ thống mô tả bởi hpt trạng thái:      )()( )()()( tCxtc tBrtAxtx Biến đổi Laplace hai vế phương trình trên (giả sử điều kiện đầu bằng 0), ta được: (2.89) )()( (2.88) )()()( sCXsC sBRsAXssX   171 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.6 Tính hàm truyền từ hệ phương trình trạng thái Từ (2.88) suy ra: )()()( sBRsXAsI  )()()( 1 sBRAsIsX  )()()( 1 sBRAsICsCX  Kết hợp với biểu thứ (2.88) ta được )()()( 1 sBRAsICsC  (2.90) )( )( )( )( 1BAsIC sR sC sG  172 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.6 Tính hàm truyền từ hệ phương trình trạng thái Công thức (2.90) cho phép ta tính được hàm truyền khi biết hệ phương trình trạng thái: Ví dụ: cho hệ thống có hệ phương trình biến trạng thái là: )(. 1 0 )( )( 32 10 )( )( 2 1 2 1 tr tx tx tx tx                                     )( )( 31)( 2 1 tx tx tc Tính hàm truyền của hệ thống? 173 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.6 Tính hàm truyền từ hệ phương trình trạng thái Giải: Hàm truyền của hệ thống là: BAsICsG 1)()(                        32 1 32 10 10 01 )( s s sAsI Ta có:                     s s sss s AsI 2 13 23 1 32 1 )( 2 1 1 174 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.6 Tính hàm truyền từ hệ phương trình trạng thái Giải: Ta có:                         ssss s ss BAsI 1 23 1 1 0 2 13 23 1 )( 22 1   23 131 31 23 1 )( 22 1            ss s sss BAsIC 23 13 )( 2    ss s sGVậy ta có hàm truyền: 175 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái Cho hệ thống có phương trình trạng thái như sau: (2.92) )()( (2.91) )()()( tCxtc tBrtAxtx   Muốn tính được đáp ứng của hệ thống khi biết tin hiệu vào r(t), trước tiên ta phải tính được nhiệm x(t) của phương trình (2.91). 176 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái Biến đổi Laplace hai vế phương trình (2.91) ta được: (2.93) )()()x(0)()( )()0()()( )()()0()( 11 sBRAsIAsIsX sBRxsXAsI sBRsAXxssX       Đặt: , thay vào phương trình (2.93) ta được:-1)()( AsIs  (2.94) )()()0()()( sBRsxssX   177 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái Biến đổi Laplace ngược hai vế biểu thức (2.94), ta được: (2.95) d)()()0()()( 0    t Brtxttx Trong đó: (2.96) ])[()]([)( 111   AsIst LL Ma trận (t) được gọi là ma trận quá độ của hệ thống. Tính (t) theo (2.96) tương đối khó khăn, nhất là đối với các hệ thống bậc ba trở lên, do trước tiên phải tính ma trận nghịch đảo, sau đó thực hiện phép biến đổi Laplace ngược. Công thức dẫn ra dưới đây sẽ cho việc tính toán (t) dễ dàng hơn. 178 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái Dựa vào biểu thức (2.95) ta thấy khi r(t) = 0 thì: (2.97) )0()()(  xttx Mặt khác, khi r(t) = 0 phương trình (2.91) trở thành: (2.98) )()( tAxtx  Nhiệm của (2.98) là: (2.99) )0()(  xetx At 179 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái So sánh (297) và (2.99) suy ra: (2.100) )( Atet  Theo định lý Haley – Hamilton, ta có: (2.101) ][...][][)( 11 2 210 ACACACICet n n At   Thay A = ,  là các trị riêng của ma trận A (tất là nghiệm của phương trình det(I –A) = 0) vào biểu thức (2.101), ta sẽ tính được các hệ số Ci (i = 0 (n-1)). 180 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái Tóm lại: • Để tính nghiệm của hệ phương trình biến trạng thái ta thực hiện các bước sau đây: 1- Tính ma trận quá độ (t) theo công thức (2.96) hoặc (2.101). 2- Tính nghiệm của phương trình biến trạng thái theo công thức (2.95), nếu điều kiện đầu bằng 0 thì:  d)()()( 0   t Brttx 181 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái Tóm lại: • Nếu muốn tìm đáp ứng của hệ thống bằng phương pháp biến trạng thái, trước tiên tìm nghiệm của hệ phương trình biến trạng thái, sau đó tính: )()( tCxtc  182 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái Ví dụ: Cho hệ thống có hàm truyền là: 23 )( 2   ss s sG 1- Thành lập hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống trên 2- Tìm ma trận quá độ 3- Tìm đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị (giả sử điều kiện đầu bằng 0). 183 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái Giải : 23)( )( 2   ss s sR sC 1- Thành lập hệ phương trình biến trạng thái Theo đề bài ta có: )()()23( 2 ssRsCss  )()(2)(3)( trtctctc   Đặt biến trạng thái như sau: )()()( )()( 12 1 trtxtx tctx    184 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái Giải : 1- Thành lập hệ phương trình biến trạng thái Hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống là: Trong đó:                32 1010 12 aa A      )()( )()()( tCxtc tBrtAxtx               3 1 2 1   B 185 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái Giải : 1- Thành lập hệ phương trình biến trạng thái do 1 = b0 = 1 2 = b1 – a11 = 0 – 3*1 =3 C = [ 1 0 ] 186 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái Giải : Cách 1: 2- Tính ma trận quá độ ])[()]([)( 111   AsIst LL Ta có:                     s s sss s ss AsIs 2 13 )2)(1( 1 2 13 23 1 )()( 2 1                       32 1 32 10 10 01 )( s s sAsI 187 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái Giải : 2- Tính ma trận quá độ                               )2)(1()2)(1( 2 )2)(1( 1 )2)(1( 3 )]([)( 11 ss s ss ssss s st LL                                            )2)(1()2)(1( 2 )2)(1( 1 )2)(1( 3 11 11 ss s ss ssss s LL LL 188 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái Giải : 2- Tính ma trận quá độ                                                      )2( 2 )1( 1 )2( 2 )1( 2 )2( 1 )1( 1 )2( 1 )1( 2 )]([ 11 11 1 ssss ssss s LL LL L             )2()22( )()2( )( 22 22 tttt tttt eeee eeee t 189 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái Giải : Cách 2: 2- Tính ma trận quá độ (2.102) 10 ACICeΦ(t) At  Các trị riêng của A là nghiệm của phương trình det(sI - A) = 0 0 32 10 10 01 det                        0232         2 1 2 1   190 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái Giải : 2- Tính ma trận quá độ Thay A = i vào công thức (2.102), ta được:      210 110 2 1     CCe CCe t t         10 2 10 2CCe CCe t t         tt tt eeC eeC 2 1 2 0 2 191 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái Giải : 2- Tính ma trận quá độ Thay C0 và C1 vào công thức (2.102), ta được:                32 10 )( 10 01 )2()( 22 tttt eeeet            )2(22( )()2( )( 22 22 tttt tttt eeee eeee t Ta thấy ma trận quá độ tính theo hai cách đều cho kết quả giống nhau 192 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái Giải : 3- Đáp ứng của hệ thống Trước tiên ta tìm nghiệm của hệ phương trình biến trạng thái. Với điều kiện đầu bằng 0, nghiệm của phương trình trạng thái là:  d)()()( 0   t Brttx    d eeee eeeet tttt tttt                    3 1 )2(22( )()2( 0 )(2)()(2)( )(2)()(2)( 193 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái Giải : 3- Đáp ứng của hệ thống    d ee ee tx t tt tt )4( )2( )( 0 )(2)( )(2)(                                t tt t tt dee dee 0 )(2)( 0 )(2)( )4( )2(     194 2.4 TÓM TẮT Chương này đã trình bày hai phương pháp mô tả toán học hệ thống tự động là phương pháp hàm truyền đạt và phương pháp không gian trạng thái. Tùy theo hệ thống và bài toán điều khiển cần giải quyết mà chúng ta chọn bài toán mô tả toán học phù hợp. Nếu bài toán là bài toán phân tích, nếu hệ thống có một ngõ vào, một ngõ ra và nếu quan hệ giữa ngõ vào và ngõ ra có thể biểu diễn bằng một phương trình vi phân hệ số hằng thì có thể chọn phương pháp hàm truyền đạt hay phương pháp không gian trạng thái đều được. 195 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái Giải : 3- Đáp ứng của hệ thống                  tt tt ee ee tx tx tx 2 2 2 1 21)( )( )(   tt eetx tx tx tc 21 2 1 )( )( )( 01)(         Đáp ứng của hệ thống là: 196 2.4 TÓM TẮT Nếu hệ thống khảo sát là hệ biến đổi theo thời gian hay hệ phi tuyến, hệ đa biến thì phương pháp không gian trạng thái nên được sử dụng. Nếu bài toán là bài toán thiết kế hệ thống điều khiển tối ưu thì bất kể hệ thống loại gì ta phải chọn phương pháp không gian trạng thái.