Bài giảng Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2

Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! III. ĐIỂM UỐN, TÍNH LỒI LÕM Quy tắc xét tính lồi lõm, tìm điểm uốn:
Tính đạo hàm 'y rồi tính tiếp ''y
Giải phương trình '' 0y = , từ đó tìm được tọa độ điểm uốn.
Xét dấu của ''y để kết luận: + nếu '' 0y > thì đồ thị hàm số lõm. + nếu '' 0y < thì đồ thị hàm số lồi. Ví dụ 1: Tìm tọa độ điểm uốn và các khoảng lồi, lõm của đồ thị các hàm số sau: a) y = 2x3 – 6x2 + 2x. b) y = x3 + 6x – 4. c) 4 21 53 . 2 2 y x x= − + d) 4 2 2. 4 2 x xy = + − Ví dụ 2: Tìm a, b để hàm số y = ax3 + bx2 + x + 2 nhận điểm U(1; –1) làm điểm uốn. Ví dụ 3: Tìm m để hàm số 2 3 3 1xy x m = + + nhận điểm U(–1; 3) làm điểm uốn. BÀI TẬP TỰ LUYỆN : Bài 1: Tìm m để tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị hàm số a) y = x3 + 3x2 – mx + 2 song song với đường thẳng d: y = 3x – 5. b) y = x3 + 3mx2 – 2mx + 3 vuông góc với đường thẳng ∆: y = x – 3. Bài 2: Tìm m, n để đồ thị các hàm số a) 4 3 22 6 2 1y x x x mx m= − − + + − có hai điểm uốn thẳng hàng với điểm A(1; –2). b) 3 2 2 3 3 xy x mx= − − + + có điểm uốn nằm trên đường thẳng d : y = x + 2. Bài 3: Tìm m, n để đồ thị các hàm số a) y = x3 – 3mx2 + 9x + 1 có điểm uốn thuộc đường thẳng d: y = x + 1. b) y = 3x3 – 9x2 + 6x + m – 2 có điểm uốn nằm trên trục hoành. c) y = x3 – 3mx2 + (3 + 2m2)x + m2 + 3 có điểm uốn cách đều hai trục tọa độ Ox, Oy. IV. TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1) Nhắc lại một số giới hạn quan trọng
( )1 2 2 0lim ... lim ... 0− −→∞ →∞ +∞ >   + + = + + + =    −∞ <    n n n n x x khi ab c ax bx cx x a khi ax x
0 0 0 1 1lim 0 lim 0 1lim1lim 1lim + − →∞ →∞ → → →  = → =    = +∞   = ∞ →    = −∞  n x x x x x x x x x x KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ - P2 Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
1 1 1 0 1 1 1 0 0; a x ...lim ; x ... ; − − − →∞ −   > + + + + = ∞ < + + + +   =  n n n n m m x m m n m khi m n a x a x a khi m n b b x b x b a khi m n b 2) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Định nghĩa: Đường thẳng x = a được gọi là tiệm cận đứng (TCĐ) của đồ thị y = f(x) khi lim ( ) x a f x → = ∞ + nếu lim ( ) x a f x → = +∞ thì x = a là tiệm cận đứng bên phải. + nếu lim ( ) x a f x → = −∞ thì x = a là tiệm cận đứng bên trái.
Cách tìm tiệm cân đứng: Đồ thị hàm phân thức thường có tiệm cận đứng, và giá trị x = a thường là nghiệm của mẫu số, hoặc tại x = a thì hàm số đã cho không xác định. Ví dụ 1: Tìm tiệm cận đứng của các đồ thị hàm số sau a) 2 9 xy x = − b) 2 2 4 5 xy x x + = + − Hướng dẫn giải : a) Ta có 23 lim 3 9→±   = ∞ → = ±   − x x x x là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. b) Xét phương trình 2 14 5 0 5 = + − = ⇔  = − x x x x Ta có 21 25 2lim 4 5 1; 5 2lim 4 5 → →−  +  = ∞  + −   → = = +  = ∞  + −  x x x x x x x x x x là các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Ví dụ 2: Biện luận theo m số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2 2 . 3 − = + + xy x x m Hướng dẫn giải : Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là số nghiệm khác 2 của phương trình x2 + 3x + m = 0.
Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi x2 + 3x + m = 0 vô nghiệm 90 9 4 0 . 4 ⇔ ∆ m m
Đồ thị hàm số có một tiệm cận khi phương trình x2 + 3x + m = 0 có nghiệm kép khác 2, hoặc có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm x = 2. Điều đó xảy ra khi 2 90 9 4 0 94 3 42 2 2 2 90 9 4 0 104 2 6 0 10 ∆ = ⇔ − = ⇔ =  → =  = − ≠ ⇔ − ≠   ∆ > ⇔ − > ⇔ < → = −  + + = ⇔ = − m m m b x a m m m m m
Đồ thị hàm số có hai tiệm cận khi phương trình x2 + 3x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 2. Khi đó ta có 2 9 90 9 4 0 4 4 102 6 0 10  ∆ > ⇔ − > ⇔ < <  →    ≠ −+ + ≠ ⇔ ≠ −  m m m mm m 3) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Định nghĩa: Đường thẳng y = b được gọi là tiệm cận ngang (TCN) của đồ thị y = f(x) khi lim ( ) x f x b →∞ =
Cách tìm tiệm cân ngang: Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! Đồ thị hàm phân thức chỉ có tiệm cận ngang khi bậc của tử số không lớn hơn bậc của mẫu số. Thông thường, với hàm phân thức ta thường chia cả tử và mẫu số cho lũy thừa mũ cao nhất của x để tìm tiệm cận ngang. Chú ý: Với các giới hạn mà hàm số có chứa căn thì chúng ta thực hiện theo quy tắc sau: 2 2 2 2 2 2 + + →+∞   + + = + + = + + =    − + + →−∞ B C x A khi x B C B C x xAx Bx C x A x A x x x x B C x A khi x x x Ví dụ mẫu: Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của các đồ thị hàm số sau a) 1 . 2 3 + = − xy x b) 3 2 . 1 − = + xy x c) 2 1 . 2 1 + = − + xy x x d) 2 2 . 3 + = − xy x e) 2 1 . 2 3 + = + xy x Hướng dẫn giải : a) Ta có 3 2 1 3lim 2 3 2 → + = +∞ → = −x x x x là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Mặt khác, 111 1 1lim lim 32 3 2 22→∞ →∞ + + = = → = − − x x x x y x x là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. b) Ta có 1 3 2lim 1 1→− − = +∞ → = − +x x x x là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Mặt khác, 3 23 2lim lim 2 211 1→∞ →∞ − − = = − → = − + + x x x x y x x là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. c) Ta có 21 1lim 1 2 1→ + = +∞ → = − +x x x x x là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Mặt khác, 2 2 2 1 1 1lim lim 0 02 12 1 1→∞ →∞ + + = = → = − + − + x x x x x y x x x x là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. d) Ta có 2 3 2lim 3 3→ + = +∞ → = −x x x x là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Xét 2 2 2 2 2 21 12lim lim lim 3 3 3→∞ →∞ →∞   + +  +   = = − − −x x x x x x x x x x x
Khi →+∞x thì |x| = x nên ta được 2 2 2 21 1 lim lim 1 133 1→+∞ →+∞ + + = = → = − − x x x x x y x x là tiệm cận ngang.
Khi →−∞x thì |x| = −x nên ta được 2 2 2 21 1 lim lim 1 133 1→−∞ →−∞ − + − + = = − → = − − − x x x x x y x x là tiệm cận ngang. e) Xét 2 2 22 1 1 1lim lim lim 332 3 22 →∞ →∞ →∞ + + + = =  + ++    x x x x x x x xx xx Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Khi →+∞x thì |x| = x nên ta được 2 2 2 111 1 1lim lim lim 3 3 3 22 2 2 →+∞ →+∞ →+∞ + + + = = = + + + x x x x x x x x x x x 1 2 y⇒ = là tiệm cận ngang.
Khi →−∞x thì |x| = −x nên ta được 2 2 2 111 1 1lim lim lim 3 3 3 22 2 2 →−∞ →−∞ →−∞ ++ + − = = = + − + − + x x x x x x x x x x x ⇒ 1 2 − =y là tiệm cận ngang. 4) Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Định nghĩa: Đường thẳng y = ax +b được gọi là tiệm cận xiên (TCX) của đồ thị y = f(x) khi [ ]lim ( ) ( ) 0 x f x ax b →∞ − + =
Cách tìm tiệm cân xiên: Đồ thị hàm phân thức chỉ có tiệm cận xiên khi bậc của tử số phải lớn hơn bậc của mẫu số một bậc. Cách 1: + Tìm hệ số ( )lim x f x a x →∞ = + Tìm [ ]lim ( ) x b f x ax →∞ = − . Từ đó suy ra đường tiệm cận xiên là y = ax + b. Cách 2: Thực hiện phép chia đa thức ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) g x r x r xf x ax b f x ax b h x h x h x = = + + ⇒ − + = Suy ra [ ] ( )lim ( ) ( ) lim 0( )x x r xf x ax b h x→∞ →∞ − + = = do r(x) có bậc nhỏ hơn h(x). Ví dụ 1: Tìm các tiệm cận của các đồ thị hàm số sau a) 2 1 . 2 x xy x + + = − b) 22 3 . 2 1 x xy x − + + = + c) 23 3 . 2 x xy x + + = + Hướng dẫn giải : a) 2 1 . 2 x xy x + + = − + Ta dễ dàng nhận thấy đồ thị có tiệm cận đứng là x = 2. + Ta có 2 1 7 7( ) 3 ( ) ( 3) 2 2 2 x xy f x x f x x x x x + + = = = − + ⇒ − − = − − − Suy ra [ ] 7lim ( ) ( 3) lim 0 3 2x x f x x y x x→∞ →∞ − − = = ⇒ = − − là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. b) 22 3 . 2 1 x xy x − + + = + + Ta dễ dàng nhận thấy đồ thị có tiệm cận đứng là 1 . 2 x = − + Ta có 22 3 2 2( ) 1 ( ) ( 1) 2 1 2 1 2 1 x xy f x x f x x x x x − + + = = = + + ⇒ − + = + + + Suy ra [ ] 2lim ( ) ( 1) lim 0 1 2 1x x f x x y x x→∞ →∞ − + = = ⇒ = + + là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. c) 23 3 . 2 x xy x + + = + + Ta dễ dàng nhận thấy đồ thị có tiệm cận đứng là 2.x = − Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! + Ta có 23 3 13 13( ) 3 5 ( ) (3 5) 2 2 2 x xy f x x f x x x x x + + = = = − + ⇒ − − = + + + Suy ra [ ] 13lim ( ) (3 5) lim 0 3 5 2x x f x x y x x→∞ →∞ − − = = ⇒ = − + là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. Ví dụ 2: Tìm m để đồ thị hàm số 22 2 1 x mxy x + − = + có tiệm cận xiên tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4. Hướng dẫn giải : + Ta có 22 2 2 2 1 1 x mx my x m x x + − = = + − − + + Đồ thị có tiệm cận xiên khi 0.m ≠ Với 0m ≠ thì tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là y = 2x + m – 2, (d). + Giả sử A = d ∩ Ox, B = d ∩ Oy uy ra 2 ;0 , (0; 2) 2 mA B m−  −    Ta dẽ dàng tính được 2 ; 2 2 m OA OB m − = = − . Tam giác OAB vuông tại O nên 1 . . 8 2OAB S OA OB OAOB= ⇒ = 2 62 . 2 8 (2 ) 16 22 mm m m m =−  ⇔ − = ⇔ − = ⇔  = − Vậy m = 6 và m = –2 là các giá trị cần tìm. Ví dụ 3: Cho hàm số 2 12 2 1 my mx m x + = + + − + . Tìm m biết rằng a) tiệm cận xiên của đồ thị vuông góc với đường thẳng y = 3x – 5. b) tiệm cận xiên của đồ thị cách gốc tọa độ O một khoảng bằng 1 . 17 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang các đồ thị hàm số sau : a). 2 3 1 xy x + = − b) 1 1 y x = − c) 2 1 4 y x = − d) 2 11y x = + e) 2 3 3 xy x − = + f) 2 2 1 xy x + = − Bài 2: Tìm các đường tiệm cận các đồ thị hàm số sau : 1) 2 3 4 2 x xy x + + = − 2) 2 1 xy x = − 3) 2 2 3 4 1 x xy x + + = + 4) 3 2 2 1 xy x + = − 5) 2 2 6 11 10 xy x x = + − 6) 2 2 5 3 1 xy x − = − 7) 2 1 5 6 y x x − = + + 8) ( )2 1 2 3 y x = − 9) 2 1y x x= + + 10) 2 1y x x= − + 11) 2 2 4 = + xy x 12) 2 1 xy x x = + + 13) 2 4 1y x x x= − − + 14) 22 1 4 2 1y x x x= + + − + 15) 22 1 2 1 xy x + = − 16) 2 2 1 2 xy x x − − = + + 17) 22 4 2y x x x= − − + 18*) 24 5 1 1 x xy x − + = − 19) 22 3 4y x x x= − + + + 20) 23 2 4y x x= − + Bài 3: Biện luận theo tham số m số tiệm cận của các đồ thị hàm số sau Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! b) 22 4x mxy x m + − = + c) 1mxy x m + = + d) 3 2 1 3 2 mxy x x − = − + Bài 4: Tim m để đồ thị hàm số 2 2 4 1 x mx my x + + − = + có tiệm cận xiên đi qua điểm M(1; 2). Bài 5: Cho hàm số 22 ( 1) 3x m xy x m + + − = + a) Tìm m để đồ thị có tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 1). b) Tìm m để giao của hai tiệm cận thuộc (P): 2 3= +y x . Bài 6: Tìm m để tiệm cận xiên đồ thị hàm số a) 2 ( 2) 2 1 x m xy x + − + − = − tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4. b) 2 1 1 x mxy x + − = − tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8. c) 22 3 2 1 x mx my x + − + = − tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8. Bài 7: Cho hàm số 2 1 x my mx + = − . Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và các tiệm cận cùng với hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 8. Bài 8: Cho hàm số 2 (3 1) 2 1 mx m x my x + + − + = + . Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên ∆ biết ∆ tiếp xúc với đường tròn tâm I(1; 2), bán kính 2R = . Bài 9: Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đồ thị của các hàm số sau đến hai tiệm cận luôn là một hằng số a) 2 1 1 x xy x − + = − b) 22 5 4 3 x xy x + − = + c) 2 7 3 x xy x + − = −