Bài giảng Hệ phương trình lượng giác

CHƯƠNG IX: HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. GIẢI HỆ BẰNG PHÉP THẾ ⎧2cosx−= 1 0( 1) ⎪ Bài 173: Giải hệ phương trình: ⎨ 3 ⎪sin 2x= () 2 ⎩ 2 1 Ta có: ()1cosx⇔ = 2 π ⇔=±+xk2k π() ∈Z 3 π Với xk=+2π thay vào (2), ta được 3 ⎛⎞23π sin 2x=+π= sin⎜⎟ k4 ⎝⎠32 π Với x=− +k2 π thay vào (2), ta được 3 ⎛⎞23π 3 sin 2x=−+π=−≠ sin⎜⎟ k4 (loại) ⎝⎠322 π Do đó nghiệm của hệ là: xkk= +π∈2, 3 ⎧sin x+ sin y= 1 ⎪ Bài 174: Giải hệ phương trình: ⎨ π xy+= ⎩⎪ 3 Cách 1: ⎧ xy+− xy 2sin .cos= 1 ⎪ 22 Hệ đã cho ⇔ ⎨ π ⎪xy+= ⎩⎪ 3 ⎧ π−xy ⎧ xy− 2.sin .cos= 1 cos= 1 ⎪⎪⎪ 62 ⎪ 2 ⇔⇔⎨⎨ π π ⎪⎪xy+= xy+= ⎩⎪ 3 ⎩⎪ 3 ⎧ xy− ⎧ π =πk2 ⎧x −=yk4 π xk=+2 π ⎪⎪⎪ 2 ⎪ 6 ⇔⇔⎨⎨π ⇔∈⎨ ()kZ π xy+= π ⎪⎪xy+= ⎩ 3 ⎪yk=−2 π ⎩⎪ 3 ⎩⎪ 6 Cách 2: Hệ đã cho ⎧ π ⎧ π yx=− yx=− ⎪⎪⎪3 ⎪ 3 ⇔⇔⎨⎨ ⎛⎞π 31 ⎪⎪sinxx+−= sin⎜⎟ 1 cosx + sinx = 1 ⎩⎪⎪⎝⎠3 ⎩ 22 ⎧ π ⎧ π yx=− yx=− ⎪⎪⎪ 3 ⎪ 3 ⇔⇔⎨⎨ ⎛⎞π ππ ⎪⎪sin⎜⎟+=x 1 + x =+k2 π ⎪⎩ ⎝⎠3 ⎩⎪32 ⎧ π xk=+2 π ⎪ 6 ⇔∈⎨ k π ⎪yk=−2 π ⎩⎪ 6 ⎪⎧sin x+= sin y 2 (1) Bài 175: Giải hệ phương trình: ⎨ ⎩⎪cos x+= cos y 2 (2) Cách 1: ⎧ xy+− xy 2sin cos= 2 (1) ⎪ 22 Hệ đã cho ⇔ ⎨ xy+− xy ⎪2cos cos= 2 (2) ⎩⎪ 22 Lấy (1) chia cho (2) ta được: ⎛⎞xy+xy− tg⎜⎟= 1 ( do cos= 0 không là nghiệm của (1) và (2) ) ⎝⎠22 xy+π ⇔=+πk 24 ππ ⇔+=+x yk22 π⇔=−+ yxk π 22 ⎛⎞π thay vào (1) ta được: sin x+−+π= sin⎜⎟ x k2 2 ⎝⎠2 ⇔+=sin x cos x 2 ⎛⎞π ⇔−2 cos⎜⎟x = 2 4 ⎝⎠ π ⇔−xhh =2, π∈ 4 ⎧ π xhh=+2, π∈ ⎪ 4 Do đó: hệ đã cho ⇔ ⎨ π ⎪ykhkh= +−()2,, π ∈ ⎩⎪ 4 ⎧⎧A =+=BACB+D Cách 2: Ta có ⎨⎨⇔ ⎩⎩CD=−= ACBD− Hệ đã cho ⎪⎧−(sin x cos x) +( sin y − cos y) = 0 ⇔ ⎨ ⎩⎪()()sin x++−= cos x sin y cos y 2 2 ⎧π⎛⎞ ⎛⎞ π ⎪ 2sin⎜⎟ x−+ 2sin ⎜⎟ y −= 0 ⎪⎝⎠44 ⎝⎠ ⇔ ⎨ ⎪ ⎛⎞ππ ⎛⎞ 2sin⎜⎟ x++ 2sin ⎜⎟ y += 2 2 ⎩⎪ ⎝⎠44 ⎝⎠ ⎧π⎛⎞⎛⎞ π sin⎜⎟⎜⎟xy− +−= sin 0 ⎪ 44 ⎧π⎛⎞⎛⎞ π ⎪ ⎝⎠⎝⎠ ⎪sin⎜⎟⎜⎟xy−+ sin −= 0 ⎪⎝44 ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ ⎛⎞π ⇔⇔⎨⎨sin⎜⎟x += 1 ⎪⎪⎛⎞⎛⎞ππ ⎝⎠4 sin⎜⎟⎜⎟xy++ sin += 2 ⎩⎪⎪⎝⎠⎝⎠44 ⎛⎞π ⎪sin⎜⎟y += 1 4 ⎩ ⎝⎠ ⎧ ππ ⎪xk+=+π2 ⎪ 42 ⎪ ππ ⇔+=+π⎨yh2 ⎪ 42 ⎪ ⎛⎞⎛⎞ππ ⎪sin⎜⎟⎜⎟xy−+ sin −= 0 ⎩ ⎝⎠⎝⎠44 ⎧ π xk2=+ π ⎪ 4 ⇔ ⎨ π ⎪yh2,h,k=+ π ∈Z ⎩⎪ 4 ⎪⎧tgx−− tgy tgxtgy = 1 (1) Bài 176: Giải hệ phương trình: ⎨ ⎩⎪cos2y+=− 3cos2x 1 (2) Ta có: tgx− tgy=+ 1 tgxtgy ⎧1tgxtgy+= 0 ⎪⎪⎧tg() x−= y 1 ⇔∨−⎨⎨tgx tgy= 0 ⎩⎪1tgxtgy+≠ 0⎪ 2 ⎩1tgx+= 0(VN) π π ⇔−=+πxy k( kZ ∈), với x, y≠ +π k 4 2 π π ⇔=++πxy k, với x, y≠ +π k 4 2 ⎛⎞π Thay vào (2) ta được: cos2y+ 3 cos⎜⎟ 2y++ k2 π=− 1 ⎝⎠2 ⇔−cos 2yiny 3 s 2 =− 1 31 1⎛⎞π 1 ⇔−=⇔−s2in y cos2 y sin2⎜⎟y = 222⎝⎠ 62 ππ π5 π ⇔−=+π222y h hay y −=+π h 2() h ∈ Z 66 6 6 ππ ⇔=+πyhhhayyhh,, ∈ =+π ∈ (lọai) 62 Do đó: ⎧ 5π xkh=++π() ⎪ 6 Hệ đã cho ⇔∈⎨ ()hk, Z π ⎪yh=+π ⎩⎪ 6 ⎪⎧cos3 x−+= cos x sin y 0 (1) Bài 177: Giải hệ phương trình ⎨ 3 ⎩⎪sin x−+= sin y cos x 0 (2) Lấy (1) + (2) ta được: sin33 x+ cos x= 0 ⇔=−sin33 x cos x ⇔=−tg3 x 1 ⇔=−tgx 1 π ⇔=−+π∈xk(kZ) 4 Thay vào (1) ta được: sin y=− cos x cos32 x = cos x( 1 − cos x) 1 ==cos x.sin2 x sin 2x sin x 2 1 ⎛⎞⎛ππ⎞ =−sin⎜⎟⎜ sin −+ kπ⎟ 22⎝⎠⎝ 4⎠ 1 ⎛⎞π =−sin⎜⎟ − + k π 24⎝⎠ ⎧ 2 ⎪ (nếu k chẵn) ⎪ 4 = ⎨ 2 ⎪− (nếu k lẻ) ⎩⎪ 4 2 Đặt sin α= (với 02< α< π) 4 ⎧⎧ππ ⎪⎪x2m,m=− + π ∈ x =− +() 2m1,m + π ∈ ⎪⎪44 Vậy nghiệm hệ ∨ ⎨⎨yh2,h=α+ π ∈ y=−α+ 2h,h π ∈ ⎪⎪⎡⎡ ⎢⎢ ⎩⎩⎪⎪⎣⎣yh2,hyh2,h=π−α+ π ∈ =π+α+ π ∈ II. GIẢI HỆ BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ⎧ 1 ⎪sin x.cos y=− () 1 Bài 178: Giải hệ phương trình: ⎨ 2 ⎪ ⎩tgx.cotgy= 1() 2 Điều kiện: cos x.sin y≠ 0 ⎧11 ⎡⎤sin() x+ y+−= sin () x y − ⎪22⎣⎦ Cách 1: Hệ đã cho ⇔ ⎨ sin x.cos y ⎪ −=10 ⎩⎪cos x.sin y ⎪⎧sin() x+ y+−= sin( x y) − 1 ⇔ ⎨ ⎩⎪sin x cos y−= sin y cos x 0 ⎪⎧sin() x+ y+−= sin () x y− 1 ⇔ ⎨ ⎩⎪sin() x−= y 0 ⎪⎧sin( x+=− y) 1 ⇔ ⎨ ⎩⎪sin() x−= y 0 ⎧ π ⎪xy+=−+ k2,k π ∈ ⇔ ⎨ 2 ⎪ ⎩xy−=π h,h ∈ ⎧ ππ x2kh,k,h=− +() + ∈ ⎪ 42 ⇔ ⎨ ⎪ ππ y2kh,k,h=− +() − ∈ ⎩⎪ 42 (nhận do sin y cos x≠ 0) sin x cos y Cách 2: ()21⇔ = ⇔ sin x cos y= cos x sin y cos x sin y ⎧ 1 sinxy cos =− ()3 ⎪ 2 Thế() 1 vào ( 2 ) ta được: ⎨ 1 ⎪cosxy sin =− ()4 ⎩⎪ 2 ⎪⎧sin()xy+=− 1 ()( 3 + 4) ⇔ ⎨ ⎩⎪sin()xy−= 0 ()( 3 − 4) ⎧ π ⎪xy+ =− + k2, π k ∈ ⇔ ⎨ 2 ⎪ ⎩xyhh−=π∈, ⎧ ππ xkh=− +()2 + ⎪ 42 ⇔∈⎨ ()hk, Z ππ ⎪ykh=− +()2 − ⎩⎪ 42 III. GIẢI HỆ BẰNG ẨN PHỤ Bài 179: Giải hệ phương trình: ⎧ 23 ⎪tgx+= tgy ()1 ⎪ 3 ⎨ −23 ⎪cotgxy+= cotg ()2 ⎩⎪ 3 Đặt X ==tgx, Y tgy ⎧⎧23 23 ⎪⎪XY+= XY+= ⎪⎪33 Hệ đã cho thành: ⎨⎨⇔ 1 1 23 Y+ X 23 ⎪⎪+=− =− ⎩⎩⎪⎪X Y3 YX 3 ⎧ 23 ⎧ 23 ⎪XY+= ⎪⎪XY+= 3 ⇔⇔⎨⎨3 ⎪⎪2 23 ⎩XY=− 1 X − X10−= ⎩⎪ 3 ⎧⎧X3= 3 ⎪⎪X =− ⇔∨⎨⎨3 3 ⎪⎪Y =− ⎩⎩3 Y3= Do đó: ⎧⎧tgx= 3 3 ⎪⎪tgx =− Hệ đã cho : ⇔∨⎨⎨3 3 ⎪⎪tgy =− ⎩⎩3 tgy= 3 ⎧⎧ππ xkk=+π∈,, x =−+π∈ kk ⎪⎪36 ⇔∨⎨⎨ ⎪⎪ππ yhhyhh=− +π,, ∈ = +π ∈ ⎩⎩⎪⎪63 ⎧ 1 ⎪sin x+= sin y Bài 180: Cho hệ phương trình: ⎨ 2 ⎩⎪cos 2x+ cos 2y= m 1 a/ Giải hệ phương trình khi m = − 2 b/ Tìm m để hệ có nghiệm. ⎧ 1 ⎪sin x+= sin y Hệ đã cho ⇔ ⎨ 2 ⎪ 22 ⎩()()12sinx−+− 12siny= m ⎧ 1 sin x+= sin y ⎪ 2 ⇔ ⎨ 2m− ⎪sin22 x+= sin y ⎩⎪ 2 ⎧ 1 sin x+= sin y ⎪ 2 ⇔ ⎨ 2 m ⎪()sin x+− sin y 2sin x sin y =− 1 ⎩⎪ 2 ⎧ 1 sin x+= sin y ⎪ 2 ⇔ ⎨ 1m ⎪ −=2sinxsiny 1− ⎩⎪42 ⎧ 1 sin x+= sin y ⎪ 2 ⇔ ⎨ 3m ⎪sin x sin y =− + ⎩⎪ 84 Đặt X ==sin x, Y sin y với X , Y≤ 1 thì X, Y là nghiệm của hệ phương trình 1m3 tt2 −+−= 0()* 248 1 a/ Khi m=− thì() * thành : 2 11 tt2 −−= 0 22 ⇔−−=2t2 t 1 0 1 ⇔=∨=−t1t 2 ⎧⎧sin x= 1 1 ⎪⎪sin x = − Vậy hệ đã cho ⇔∨⎨⎨1 2 sin y =− ⎩⎩⎪⎪2 sin y= 1 ⎧⎧ππ xkk=+2, π∈ x =−−(1)h +π∈ hh , ⎪⎪26 ⇔∨⎨⎨ ⎪⎪h π π yhh=−(1) − + π , ∈ ykk=+2, π∈ ⎩⎩⎪⎪6 2 m13 b/ Ta có : ()*t⇔=−++2 t 428 13 Xét yt=−2 + t + () CtrênD=[] − 1,1 28 1 thì: y'=− 2t + 2 1 y'=⇔= 0 t 4 Hệ đã cho có nghiệm ⇔ (*) có 2 nghiệm trên[ -1,1] m ⇔=()dy cắt (C) tại 2 điểm hoặc tiếp xúc trên[ -1,1] 4 1m 7 ⇔− ≤ ≤ 8416 17 ⇔− ≤m ≤ 24 Cách khác 2 ycbt⇔=−−+= f() t 8 t 4 t 3 2 m 0có 2 nghiệm t1 , t2 thỏa ⇔−11 ≤tt12 ≤ ≤ ⎧Δ=/ 28 − 16m ≥ 0 ⎪ af(1)=+ 1 2 m ≥ 0 ⎪ 17 ⇔ ⎨af(1)−=+ 9 2 m ≥ 0⇔− ≤m ≤ ⎪ 24 S 1 ⎪−≤11 = ≤ ⎩⎪ 24 ⎪⎧sin2 x+= mtgy m Bài 181: Cho hệ phương trình: ⎨ 2 ⎩⎪tg y+ m sin x= m a/ Giải hệ khi m = -4 b/ Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm. Đặt X = sin x với X ≤ 1 Ytgy= 2 ⎪⎧X +=mY m( 1) Hệ thành: ⎨ 2 ⎩⎪YmXm+= () 2 Lấy (1) – (2) ta được: X22− YmYX+−=( ) 0 ⇔−X YX +−= Y m 0 ()( ) ⇔=∨=−X YYmX ⎧XY= ⎪⎧YmX=− Hệ thành hay ⎨⎨2 2 ⎩XmXm+= ⎩⎪X + mm()−= X m ⎪⎪⎧⎧X ==YYm−X ⇔∨⎨⎨222 ⎩⎩⎪⎪X +−=mX m 0() * X −+−= mX m m 0( * * ) a/Khi m = -4 ta được hệ ⎧XY= ⎪⎧Y4X=− − ∨ ⎨⎨2 2 ⎩X4X40−+=⎩⎪X ++=4X 20 0() vô nghiệm ⎪⎧X2loạidoX1=≤() ⇔ ⎨ ⎩⎪Y2= Vậy hệ đã cho vô nghiệm khi m = 4. b/ Ta có (*) ⇔+X2 mX −= m 0 với X ≤ 1 ⇔=Xm1X2 () − X2 ⇔=m() do m không là nghiệm của * 1X− X22−+X2X Xét Ztrên1,1Z'=−⇒=[ ) ; 1X− ()1X− 2 Z'=⇔ 0 X =∨ 0 X = 2 ⎪⎧XYX1=≤() Do đó hệ ⎨ có nghiệm ⇔ m0≥ 2 ⎩⎪X +−=mX m 0 Xét (**): X 22−+−=mX m m 0 Ta có Δ=m4mm22 −() − =− 3m4m 2 + 4 Δ≥00m ⇔ ≤ ≤ 3 Kết luận: Khi m≥ 0 thì (I) có nghiệm nên hệ đã cho có nghiệm Khi m < 0 thì (I) vô nghiệm mà (**) cùng vô nghiệm (doΔ < 0) nên hệ đã cho vô nghiệm Do đó: Hệ có nghiệm ⇔ m0≥ Cách khác Hệ có nghiệm ⇔=+−=f(X) X2 mX m 0 (*)hay g(X)=− X22 mX + m −= m 0 (**) có nghiệm trên [-1,1] 2 ⎧Δ=1 mm +40 ≥ ⎪ af (1)≥ 0 ⎪ ⇔−ff(1) (1) ≤ 0hay ⎨af (1)−≥ 0 ⎪ S − m ⎪−≤11 = ≤ ⎩⎪ 22 2 ⎧Δ=−2 34mm + ≥0 ⎪ ag(1)− =+≥ m2 1 0 ⎪ hay gg(1)(1)−≤ 0hay ⎨ag(1)= ( m −≥ 1)2 0 ⎪ Sm ⎪−≤11 = ≤ ⎩⎪ 22 2 ⎧Δ=1 mm +40 ≥ ⎪ 4 ⇔−12m ≤ 0hay⎨12−≥ m 0 hay m = 1 hay 0m≤ ≤ ⎪ 3 ⎩−≤22m ≤ ⇔≥m0 IV. HỆ KHÔNG MẪU MỰC ⎧π⎛⎞ ⎪tgx+ cotgx = 2sin⎜⎟ y + (1) ⎪⎝4 ⎠ Bài 182: Giải hệ phương trình: ⎨ ⎪ ⎛⎞π tgy+ cotgy = 2sin⎜⎟ x - (2) ⎩⎪ ⎝⎠4 Cách 1: sinαα cos sin22 α+α cos 2 Ta có: tgα+ cotg α = + = = cosα sinααα sin cos sin 2α ⎧π1 ⎛⎞ ⎪ =+sin⎜⎟ y (1) ⎪sin 2x ⎝⎠4 Vậy hệ đã cho ⇔ ⎨ ⎪ 1 ⎛⎞π =−sin⎜⎟ x (2) ⎩⎪ sin 2y ⎝⎠4 ⎧π⎛⎞ ⎪1sin2xsiny=+⎜⎟ (1) ⎪⎝4 ⎠ ⇔ ⎨ ⎪ ⎛⎞π 1=− sin 2y.sin⎜⎟ x (2) ⎩⎪ ⎝⎠4 ⎧⎧sin2x== 1 sin2x− 1 ⎪⎪ Ta có: (1) ⇔∨⎨⎨⎛⎞ππ ⎛⎞ ⎪⎪sin⎜⎟ y+= 1 sin ⎜⎟ y +=− 1 ⎩⎩⎝⎠44 ⎝⎠ ⎧⎧ππ xk,k=+π∈ x =−+π∈ k,k ⎪⎪44 ⇔∨⎨⎨ ⎪⎪ππ3 yh2,h=+ π∈ y =− + h2,h π∈ ⎩⎩⎪⎪44 ⎧ π xk,k=+π∈ ⎪ 4 Thay ⎨ vào (2) ta được ⎪ π yh2,h=+ π∈ ⎩⎪ 4 ⎛⎞ππ sin 2y.sin⎜⎟ x−= sin .sin k π=≠ 0 1 (loại) ⎝⎠42 ⎧ −π xk,k=+π∈ ⎪ 4 Thay ⎨ vào (2) ta được ⎪ 3π yh2,h=− + π ∈ ⎩⎪ 4 ⎛⎞πππ ⎛⎞⎛3 ⎞ sin 2y.sin⎜⎟ x−= sin ⎜⎟⎜ − sin −+π k ⎟ ⎝⎠422 ⎝⎠⎝ ⎠ ⎛⎞π ⎧1( nếuklẻ) =−+π=sin⎜⎟ k ⎨ ⎝⎠2 ⎩−1 ( nếu k chẵn) Do đó hệ có nghiệm ⎧ π x2m1=− +() + π ⎪ 4 ⎨ ()m, h∈ Z • 3π ⎪yh2=− + π ⎩⎪ 4 Cách 2: Do bất đẳng thức Cauchy tgx+≥ cotgx 2 1 dấu = xảy ra ⇔=tgx cotgx ⇔ tgx= tgx ⇔=±tgx 1 Do đó: ⎛⎞π tgx+cotgx≥≥ 2 2sin⎜⎟ y + ⎝⎠4 Dấu = tại (1) chỉ xảy ra khi ⎧⎧tgx== 1 tgx− 1 ⎪⎪ ⇔∨⎨⎨⎛⎞ππ ⎛⎞ ⎪⎪sin⎜⎟ y+= 1 sin ⎜⎟ y +=− 1 ⎩⎩⎝⎠44 ⎝⎠ ⎧⎧ππ x=+π k,k ∈ x =−+π k,k ∈ ⎪⎪44 ⇔∨⎨⎨(I) (II) ⎪⎪ππ3 yh2,h=+ π ∈ y =− + h2,h π ∈ ⎩⎩⎪⎪44 ⎛⎞π thay (I) vào (2): tgy+ cotgy=2sin⎜⎟ x - ⎝⎠4 ta thấy 22sink=π= 0 không thỏa ⎛⎞π thay (II) vào (2) ta thấy 22sin= ⎜⎟−+π k ⎝⎠2 chỉ thỏa khi k lẻ ⎧ π x2m1=− +() + π ⎪ 4 Vậy: hệ đã cho ⇔∈⎨ ,m,h 3π ⎪y2h=− + π ⎩⎪ 4 Bài 183: Cho hệ phương trình: ⎪⎧xym−= (1) ⎨ 2 ⎩⎪2() cos 2x+−− cos2y 1 4 cos m = 0 (2) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm. ⎪⎧xym−= Hệ đã cho ⇔ ⎨ 2 ⎩⎪4cos()() x+−=+ y cos x y 1 4cos m ⎪⎧xym−= ⇔ ⎨ 2 ⎩⎪−+4cos() x y cosm + 4cos m += 1 0 ⎪⎧xym−= ⇔ ⎨ 22 ⎩⎪[2 cos m−++− cos() x y ] 1 cos () x + y= 0 ⎪⎧xym−= ⇔ ⎨ 22 ⎩⎪[2 cos m−++ cos() x y ] sin () x += y 0 ⎧xym−= ⎪ ⇔+=⎨cos() x y 2 cos m ⎪ ⎩sin() x+= y 0 ⎧xym−= ⎪ ⇔+=π∈⎨xyk,k ⎪ ⎩cos(kπ= ) 2 cos m π 2π Do đó hệ có nghiệm ⇔=±+π∨=±mh2m +π∈ h2,h 33 BÀI TẬP 1. Giải các hệ phương trình sau: ⎧sin x+= sin y 2 ⎧tgx+ tgy+= tgxtgy 1 a/ ⎨⎨22 f/ ⎩sin x+= sin y 2 ⎩3sin2y−= 2 cos4x ⎧ 1 ⎧ 3 ⎪sin x sin y =− ⎪sin x−= sin 2y ⎪⎪2 2 b/⎨⎨g/ 1 1 ⎪⎪cosxcosy = cos x+= cos 2y ⎩⎪ 2 ⎩⎪ 2 ⎧cos( x+ y) =− 2cos( x y) ⎧⎪⎪2cosx=+ 1 cosy c/⎨⎨h/ 3 ⎪ 2sinx= siny ⎪cos x.cos y = ⎩ ⎩ 4 ⎧ 1 ⎪sin x cos y = ⎧sin x= 7 cos y d/⎨⎨4 k/ ⎩5siny=− cosx 6 ⎩⎪3tgx= tgy 2 ⎧tgx+= tgy 1 ⎪⎪⎧sin x= cos x cos y e/⎨⎨l/ xy ⎪cos2 x= sin x sin y tg+= tg 2 ⎩ ⎩⎪ 22 ⎧cos x cos y=+ m 1 Cho hệ phương trình: 2. ⎨ 2 ⎩sin x sin y=+ 4m 2m 1 a/ Giải hệ khi m =− 4 ⎛⎞31 b/ Tìm m để hệ có nghiệm ⎜⎟ĐS−≤≤− m hay m=0 ⎝⎠44 3. Tìm a để hệ sau đây có nghiệm duy nhất: 22 ⎪⎧ytgx1+= ⎨ 2 ⎩⎪y+= 1 ax ++ a sin x ()ĐS a= 2 4. Tìm m để các hệ sau đây có nghiệm. ⎪⎧cos x= m cos3 y ⎧sin x cos y= m2 a/ b/ ⎨⎨3 ⎩⎪sin x= m cos y ⎩sin y cos x= m ⎛⎞1- 5 1+ 5 ()ĐS 1≤≤ m 2 ⎜⎟ĐS≤≤ m ⎝⎠22 Th.S Phạm Hồng Danh TT luyện thi đại học Vĩnh Viễn