Bài giảng Góc giữa hai mặt phẳng phần 2

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! Phương pháp giải: Để xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) ta thực hiện như sau: +) Xác định giao tuyến ( ) ( )∆ = ∩P Q +) Tìm mặt phẳng trung gian (R) mà (R) ⊥ ∆, (Đây là bước quan trọng nhất nhé!) +) Xác định các đoạn giao tuyến thành phần: ( )
( )
( ) ( ) ( );( ) ;( ) ( ) = ∩ ⇒ = = ∩ a R P P Q a b b R Q Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a; AD = 3a. SA vuông góc với đáy (ABCD) và góc giữa mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 600. Tính góc giữa a) (SAC) và (SCD). b) (SAB) và (SBC). c) (SBC) và (SCD). Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B với AB = BC = 2a; AD = 3a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD là điểm H thuộc cạnh AB với 1 . 2 =AH HB Biết góc giữa mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 600. Tính góc giữa a) SD và (ABCD). b) (SAB) và (SAC). Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a,
0120 .=BAD Gọi H là trung điểm của OA. Biết các mặt phẳng (SHC) và (SHD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và góc giữa mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 600. Tính góc giữa a) (SBC) và (ABCD). b) (SAC) và (SCD). Ví dụ 4. Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB, BC. Tính góc của 2 mặt phẳng (SAJ) và (SCI). Hướng dẫn giải: Do SA = SB = SC ⇒ AB = BC = AC ⇒ ∆ABC là tam giác đều. Trong ∆ABC, gọi H là giao điểm của SJ và CI, khi đó H là trọng tâm, đồng thời là trực tâm ∆ABC đều. Ta có, (SAJ) ∩ (SCI) = SH. Để xác định góc giữa hai mặt phẳng (SAJ) và (SCI) ta tìm mặt phẳng mà vuông góc với SH. Do ∆ABC đều nên AH ⊥ BC, (1) Lại có, SA, SB, SC đôi một vuông góc nên SA ⊥ (SBC) ⇒ SA ⊥ BC, (2). Từ (1) và (2) ta được BC ⊥ (SAH) ⇒ BC ⊥ SH, (*) Tương tự, ta cũng có ( )( ) ⊥ ⊥  ⇒ ⇒ ⊥ ⊥ ⊃ ⊥  AB CH AB CH AB SCH SC SAB AB AB CH Hay AB ⊥ SH, (**). Từ (*) và (**) ta được SH ⊥ (ABC). Mà ( )
( )
( ) ( ) ( ),( ) ,( ) ( ) ∩ = ⇒ = ∩ = ABC SAJ AJ SAJ SCI AJ CI ABC SCI CI 04. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG – P2 Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! Do ∆ABC đều nên

0 0 0 090 90 30 60= − = − =CHJ HCJ Vậy ( )
( )

0( ),( ) , 60= = =SAJ SCI AJ CI CHJ Ví dụ 5. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. a) Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy. b) Tính góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy. Hướng dẫn giải: Giả sử hình chóp tam giác đều là SABC. Do đặc tính của hình chóp tam giác đều tất cả cạnh bên bằng nhau, tất cả cạnh đáy bằng nhau. Từ đó SA = SB = SC = 2a và ABC là tam giác đều cạnh 3a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S xuống (ABC). Theo tính chất đường xiên và hình chiếu, vì SA = SB = SC nên HA = HB = HC ⇒ H là trọng tâm của ∆ABC. a) S.ABC là chóp tam giác đều nên các cạnh bên nghiêng đều với đáy, ta chỉ cần tính góc giữa SA và (ABC). A ∈ (ABC) nên hình chiếu của A xuống (ABC) là chính nó. Do SH ⊥ (ABC) nên H là hình chiếu của S xuống (ABC). Khi đó, HA là hình chiếu của SA lên (ABC). Suy ra, ( )
( )

, ( ) SA, α= = =SA ABC HA SAH Gọi I là trung điểm của BC, khi đó AI là trung tuyến của ∆ABC đều cạnh 3a nên 3 . 3 2 3 2 3 = ⇒ = = aAI AH AI a Từ đó ta được 03 3osα α 30 2 2 = = = ⇒ = AH a c SA a Vậy ( )
0, ( ) 30=SA ABC b) Tương tự, các mặt bên nghiêng đều với đáy nên ở đây ta tìm góc giữa (SBC) và (ABCD). Ta có (SBC) ∩ (ABCD) = BC. Mà ( )⊥ ⇒ ⊥ ⊥ BC SH BC SAH BC AH . Lại có ( )
( )
( ) ( ) ( ),( ) , β( ) ( ) ∩ = ⇒ = = ∩ = SAH ABC AI SBC ABC SI AI SAH SBC SI Theo câu a, ( )22 2 24 3 1 3 3 2  = − = − =   = =  SH SA AH a a a aHI AI Khi đó, 2 3 2 3tanβ β arctan 3 33 2   = = = ⇒ =      SH a IH a Vậy góc giữa mặt bên và đáy của hình chóp là 2 3β arctan . 3   =      Ví dụ 6. Cho hình vuông ABCD cạnh a, dựng = 3SA a và vuông góc với (ABCD). Tính góc giữa các mặt phẳng sau: a) (SAB) và (ABC). b) (SBD) và (ABD). c) (SAB) và (SCD). Hướng dẫn giải: Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! a) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD trong hình vuông ABCD ta có 1 2 2 2 = = aAO AC Khi đó, (SAB) ∩ (ABC) = AB. Ta có ( ).⊥ ⇒ ⊥ ⊥ AB SA AB SAD AB AD Mặt khác, ( )
( )

0( ) ( ) ( ),( ) , 90( ) ( ) ∩ = ⇒ = = = ∩ = SAD SAB SA SAB ABC SA AD SAD SAD ABC AD b) (SBD) ∩ (ABD) = BD. Ta có ( ).⊥ ⇒ ⊥ ⊥ AB AC BD SAC AB SA Mặt khác, ( )
( )

( ) ( ) ( ),( ) ,( ) ( ) ∩ = ⇒ = = ∩ = SAC SBD SO SBD ABD SO AO SOA SAC ABD AO Xét tam giác vuông SOA ta có:
( )
3tanS 6 ( ),( ) arctan 6 2 2 = = = ⇒ = SA aOA SBD ABD AO a c) (SAB) ∩ (SCD) = Sx // AB // CD. Mà AB ⊥ (SAD) ⇒ Sx ⊥ (SAD). Do ( )
( )

( ) ( ) ( ),( ) ,( ) ( ) ∩ = ⇒ = = ∩ = SAD SAB SA SAB SCD SA SD ASD SAD SCD SD Xét tam giác vuông SAD:

( )
0 01tan ASD ASD 30 ( ),( ) 30 3 3 = = = ⇒ = ⇒ = AD a SAB SCD SA a BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với 4 ; 4 3= =AB a AD a . Tam giác SAB vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Biết rằng SA = 2a. Gọi I là trung điểm của BC. Tính góc giữa a) DI và SA. b) (SAI) và (ABCD). c) SC và (ABCD). d) DI và (SAB). e)* SC và (SDI). Bài 2. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O và SA vuông góc với (ABCD). Tính SA theo a để góc giữa (SBC) và (SCD) bằng 600 Đ/s: SA = a. Bài 3. Cho hình thoi ABCD cạnh a có tâm O và 3 3 = aOB , dựng SO ⊥ (ABCD) và 6 . 3 = aSO Chứng minh rằng: a)
090 .=ASC b) (SAB) ⊥ (SAD).