Bài giảng Góc giữa hai đường thẳng

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! I. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN 1) Góc giữa hai véc tơ Giả sử ta có ( )
( )

; ; = → = = =         AB u u v AB AC BAC AC v , với
0 180 .≤ ≤o oBAC 2) Tích vô hướng của hai véc tơ Giả sử ta có ( )
. . . .cos . = → = = =             AB u u v AB AC AB AC AB AC AC v Nhận xét: +) Khi 0 . 0 0  = → = =       u u v v +) Khi ( )
0; 0↑↑ → =   u v u v +) Khi ( )
0; 180↑↓ → =   u v u v +) Khi . 0⊥ ←→ =     u v u v Ví dụ 1. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. a) Tính góc giữa hai véc tơ ( )
; . AB BC b) Gọi I là trung điểm của AB. Tính góc giữa hai véc tơ ( )
; . CI AC Hướng dẫn giải: a) Sử dụng công thức tính góc giữa hai véc tơ ta được ( )
( )2. . .cos ; , 1 . . . = = =           AB BC AB BC AB BCAB BC AB BC aAB BC Xét ( ). . . .= + = +        AB BC AB BA AC AB BA AB AC Mà ( )
( )
0 2 2 0 . . .cos . . .cos180 . . .cos . . .cos60 2 = = = − = = =         AB BA AB BA AB BA a a a aAB AC AB AC AB AC a a 2 2 2 . . 2 2 → = − + = −   a aAB BC a ( ) ( )
( ) 2 0 2 121 cos ; ; 120 . 2 − ⇔ = = − → =     a AB BC AB BC a Vậy ( ); 120 .=  oAB BC b) Ta có ( )
. .cos ; . . = =         CI AC CI ACCI AC CI ACCI AC Tứ diện ABCD đều cạnh a, CI là trung tuyến của tam giác đều ABC nên ( )
( )23 .cos ; , 2 .2 3 2 = → =    a CI ACCI CI AC a Ta có ( ). . . .= + = +        CI AC CI AI IC CI AI CI IC Do ∆ABC đều nên . 0.⊥ ⇔ =     CI AI CI AI 01. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG – P1 Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! Đồng thời, ( )
2 2 203 3 3 3 3. . .cos ; . .cos180 . 0 .2 2 4 4 4= = = − → = − = −      a a a a aCI IC CI IC CI IC CI AC Thay vào (2) ta được ( ) ( )
( )
2 0 2 3 342 cos ; ; 150 . 23 2 − ⇔ = = − → =     a CI AC CI AC a Vậy ( ) 0; 150 .= CI AC Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC = a. Gọi M là trung điểm của AB. a) Biểu diễn các véc tơ  SM và  BC theo các véc tơ ; ; .    SA SB SC b) Tính góc ( )
; . SM BC Hướng dẫn giải: a) Sử dụng quy tắc trung tuyến và quy tắc trừ hai véc tơ ta được ( )12 2 = ++ = ←→  = +  = −            SM SA SBSA SB SM BC BS SC BC SC SB b) ( )
( ). .cos ; , 1 . . . = =         SM BC SM BCSM BC SM BCSM BC Mà SA, SB, SC đôi một vuông góc nên . 0 . 0 . 0  =  =  =       SA SB SA SC SB SC Tam giác SAB và SBC vuông tại S nên theo định lý Pitago ta được 2 2 1 2 2 2  =  = = → = =  BC a AB BC a aSM AB Theo câu a, ( ) ( )  22 00 0 1 1 1 . . . . . . 2 2 2 2   = + − = − + − = − = −                    aSM BC SA SB SC SB SA SC SA SB SB SC SB SB SB Thay vào (1) ta được ( )
( )
2 0. 12cos ; ; 120 . . 22 . 2 2 − = = = − → =       a SM BCSM BC SM BC SM BC a a II. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 1) Khái niệm véc tơ chỉ phương của đường thẳng Một véc tơ u 0≠   mà có phương song song hoặc trùng với d được gọi là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d. 2) Góc giữa hai đường thẳng
Khái niệm: Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a′; b′ lần lượt song song với a; b. Kí hiệu ( )
a;b . Từ định nghĩa ta có sơ đồ ( )
( )
a// a a;b a ;b b// b ′ ′ ′ → = ′
Nhận xét: + Giả sử a, b có véc tơ chỉ phương tương ứng là u; v   và ( )
u; v φ.=  Khi đó, ( )
( )
o o o o o a; b φ ; 0 φ 90 a; b 180 φ ; 90 φ 180 = ≤ ≤ = − < ≤ + Nếu a // b hoặc a ≡ b thì ( )
oa; b 0 .= Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Các xác định góc giữa hai đường thẳng: Phương án 1 (sử dụng định nghĩa) Phương án 2 Tạo ra các đường ( )
( )
a // a a,b a ,b b // b ′ ′ ′ → = ′ - Lấy một điểm O bất kì thuộc a - Qua O, dựng đường ∆ // b ( )
( )
a,b a,→ = ∆ Chú ý: Các phương pháp tính toán góc giữa hai đường thẳng:
Nếu góc thuộc tam giác vuông thì dùng các công thức tính toán trong tam giác vuông: sin, cosin, tan, cot.
Nếu góc thuộc tam giác thường thì sử dụng định lý hàm số cosin trong tam giác ABC: 2 2 2 2 2 2 2 cos cos . 2 + − = + − → = b c a a b c bc A A bc Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, các tam giác SAB, SAD, SAC là các tam giác vuông tại A. Biết = = =3; ; 3 .SA a AB a AD a Tính góc giữa các đường thẳng sau: a) SD và BC. b) SB và CD. c) SC và BD. Hướng dẫn giải: a) Tính góc giữa SD và BC Để xác định góc giữa hai đường thẳng SD và BC ta sử dụng phương án 2, tìm đường thẳng song song với một trong hai đường thẳng SD, BC và song song với một đường còn lại. Ta dễ nhận thấy AD // BC. Khi đó ( )
( )


o SDA SD;BC SD;AD 180 SDA  = =   − Xét ∆SAD:

oSA 3tanSDA SDA 30 . AD 3 = = → = Vậy ( )
oSD;BC 30 .= b) Tính góc giữa SB và CD Tương tự, ( )
( )


o SBA CD//AB SB;CD SB;AB 180 SBA  → = =   − Xét ∆SAB:

oSAtanSBA 3 SDA 60 . AB = = → = Vậy ( )
oSB;CD 60 .= c) Tính góc giữa SC và BD Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD, I là trung điểm của SA. Trong ∆SAC có ( )
( )


o IOB OI //SC SC;BD OI;BD 180 IOB  → = =   −
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABI: 2 2 2 2a 3 a 7IB IA AB a 2 2   = + = + =    
ABCD là hình chữ nhật nên 2 2 2 2 a 10BD AB AD a 9a a 10 OB OA 2 = + = + = → = =
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABO: 2 2 2 2 a 3 a 10 a 13IO IA AO 2 2 2     = + = + =           Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! Khi đó, theo định lý hàm số cosin cho ∆IOB ta được:
2 2 2 2 2 2 13a 10a 7a OI OB IB 84 4 4cos IOB 2.OI.OB a 13 a 10 1302. . 2 2 + −+ − = = =
( )
8IOB arccos SC;BD . 130   → = =    Vậy ( )
8SC;BD arccos . 130   =     Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD, gọi M, N là trung điểm của BC, AD. Biết = = =2 , 3.AB CD a MN a Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD. Hướng dẫn giải: Do AB và CD là các cạnh của tứ diện nên chúng chéo nhau, để xác định góc giữa hai đường thẳng AB và CD ta tạo các đường thẳng tương ứng song song với AB, CD và chúng cắt nhau. Gọi P là trung điểm của AC, khi đó MP // AB, NP // CD ( )
( )


o MPN AB,CD MP, NP 180 MPN  → = =   − Do MP, NP là các đường trung bình nên ta có MP = NP = a. Áp dụng định lý hàm số cosin trong ∆MPN ta được

( )
2 2 2 2 2 o o MP NP MN 2a 3a 1 cosMPN 2MP.NP 2.a.a 2 MPN 120 MP, NP 60 + − − = = = − → = ⇔ = Vậy ( )
oAB,CD 60 .= Nhận xét: Ngoài việc khởi tạo P như trên ta cũng có thể lấy điểm P là trung điểm của BD, cách giải khi đó cũng tương tự. Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AD = DC = a, AB = 2a. SA vuông góc với AB và AD, = 2 3 3 aSA . Tính góc của 2 đường thẳng a) DC và SB. b) SD và BC. Hướng dẫn giải: Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! a) ( )
( )
Do DC // AB DC,SB AB,SB α→ = = Tam giác SAB vuông tại A nên α là góc nhọn, khi đó o 2a 3 SA 33tanα α 30 AB 2a 3 = = = → = Vậy góc giữa hai đường thẳng DC và SB bằng 30o. b) Gọi I là trung điểm của AB, khi đó AI = a. Tứ giác ADCI là hình bình hành (do AI // DC), có AI = AD = a nên là hình thoi. Lại có góc A, D vuông nên ADCI là hình vuông cạnh a DI a 2.→ = mặt khác, tứ giác BIDC là hình bình hành (do cặp cạnh DC và BI song song và bằng nhau) nên BC // DI. Khi đó, ( )
( )
SD,BC SD,DI β= = . Tam giác SAI vuông tại A nên 2 2 2 2 2 22a 3 7aSI SA AI a 3 3   = + = + =     Tam giác SAD vuông tại A nên 2 2 2 2 2 22a 3 7aSD SA AD a 3 3   = + = + =     Áp dụng định lý hàm số cosin trong tam giác SDI ta được
2 2 2 2SD DI SI 2a 3 cosSDI 2SD.DI a 21 422. .a 2 3 + − = = = Do
cosSDI 0> nên góc SDI là góc nhọn
3β SDI arccos . 42   → = =     BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, gọi I là trung điểm cạnh AD. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CI. Đ/s: ( )
3; arccos . 6   =      AB CI  Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, AD và AC. Biết 2 , 2 2, 5.= = =AB a CD a MN a Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.  Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và 2.=BC a Tính góc giữa ( )
, SC AB , từ đó suy ra góc giữa SC và AB. III. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau nếu ( )
; 90 .oa b a b= ←→ ⊥ Chú ý: Các phương pháp chứng minh a ⊥ b:
Chứng minh ( )
oa; b 90=
Chứng minh hai véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng vuông góc với nhau, u.v 0.=  
Chứng minh hai đường thẳng có quan hệ theo định lý Pitago, trung tuyến tam giác cân, đều... Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD trong đó


= = = = = =o o oAB AC AD a, BAC 60 , BAD 60 , CAD 90 . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. a) Chứng minh rằng IJ vuông góc với cả hai đường AB và CD. b) Tính độ dài IJ. Hướng dẫn giải: Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! a) Từ giả thiết ta dễ dàng suy ra tam giác ABC, ABD đều, ∆ACD vuông cân tại A. Từ đó BC BD a,CD a 2= = = →∆BCD vuông cân tại B.
Chứng minh IJ vuông góc với AB Do các ∆ACD, ∆BCD vuông cân tại A, B nên 1AJ CD 2 AJ BJ IJ AB. 1BJ CD 2  = → = ⇔ ⊥  = 
Chứng minh IJ vuông góc với CD Do các ∆ACD, ∆BCD đều nên CI = DI → IJ ⊥CD. b) Áp dụng định lý Pitago cho ∆AIJ vuông tại I ta được 2 2 2 2 a 2 a aIJ AJ AI 2 4 2   = − = − =     Vậy IJ = a/2. Ví dụ 2. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và


= =ASB BSC CSA. Chứng minh rằng SA ⊥ BC, SB ⊥ AC, SC ⊥ AB. Hướng dẫn giải:
Chứng minh: SA ⊥ BC. Xét ( )SA.BC SA. SC SB SA.SC SA.SB= − = −         Mà ( )
( )



SA.SC SA.SC.cos SA;SC SA.SB SA.SB.cos SA;SB SA.SC SA.SB SA.SC SA.SB 0 SA.BC 0 SA BC SA SB SC ASB BSC CSA = = → = ⇔ − = ←→ = ⇔ ⊥ = = = =                   Chứng minh tương tự ta cũng được SB ⊥ AC, SC ⊥ AB Ví dụ 3. Cho tứ diện đều ABCD, cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD. a) Chứng minh AO vuông góc với CD. b) Gọi M là trung điểm của CD. Tính góc giữa
BC và AM.
AC và BM. Hướng dẫn giải: a) Sử dụng phương pháp dùng tích vô hướng Gọi M là trung điểm của CD. Ta có ( )AO.CD AM MO .CD AM.CD MO.CD= + = +         Do ABCD là tứ diện đều nên AM ⊥ CD và O là tâm đáy (hay O là giao điểm của ba đường cao). Khi đó AM CD AM.CD 0 AO.CD 0 AO CD. MO CD MO.CD 0 ⊥ =  ⇔ → = ⇔ ⊥ ⊥ =        b) Xác định góc giữa BC và AM; AC và BM
Xác định góc giữa BC và AM: Gọi I là trung điểm của BD → MI // BC. Từ đó ( )
( )


AMI BC;AM MI;AM 180 AMI  = =   − Áp dụng định lý hàm số cosin trong ∆AMI ta được
( ) 2 2 2AM MI AI cosAMI , 1 . 2.AM.MI + − = Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! Các ∆ABD, ∆ACD đều, có cạnh a nên a 3AI AM . 2 = = MI là đường trung bình nên MI = a/2. Từ đó ( )

( )
2 2 2 a 3a 3a 1 1 14 4 41 cosAMI AMI arccos BC;AM arccos . a a 3 2 3 2 3 2 32. . 2 2 + −     ⇔ = = → = ⇔ =       
Xác định góc giữa BC và AM: Gọi J là trung điểm của AD → MJ // AC. Khi đó ( )
( )


BMJ AC;BM MJ;BM 180 BMJ  = =   − Các tam giác ABD, BCD là các tam giác đều cạnh a, nên các trung tuyến tương ứng a 3BJ BM 2 = = Do đó,

1AIM BJM AMI BMJ arccos . 2 3  ∆ = ∆ → = =     Vậy ( )
1AC;BM arccos . 2 3   =     Ví dụ 4. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a. Đặt ′= = =AB a,AD b,AA c.       a) Tính góc giữa các đường thẳng: ( )
( )
( )
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′AB,B C ; AC,B C ; A C ,B C . b) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và I là một điểm sao cho ′ ′= + + + +OI OA OA OB OB      ′ ′+ + + +OC OC OD OD .     Tính khoảng cách từ O đến I theo a. c) Phân tích hai véc tơ ′AC , BD   theo ba véc tơ a, b, c.    Từ đó, chứng tỏ rằng AC′ và BD vuông góc với nhau. d) Trên cạnh DC và BB′ lấy hai điểm tương ứng M, N sao cho DM = BN = x (với 0 < x < a). Chứng minh rằng AC′ vuông góc với MN. Hướng dẫn giải: Nhận xét: Để làm tốt các bài toán liên quan đến hình lập phương ta cần nhớ một số tính chất cơ bản của hình lập phương:
Tất cả các đường chéo ở các mặt của hình lập phương đều bằng nhau và bằng a 2 (nếu hình lập phương cạnh a).
Các đoạn thẳng tạo bởi các kích thước của hình lập phương luôn vuông góc với nhau (dài, rộng, cao). a) Tính góc giữa: ( )
( )
( )
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′AB,B C ; AC,B C ; A C ,B C .
Tính ( )
AB,B C′ ′ : ( )
( )
oDo B C //BC AB,B C AB,BC 90 .′ ′ ′ ′→ = =
Tính ( )
AC,B C′ ′ : ( )
( )


o ACB Do B C //BC AC,B C AC,BC 180 ACB  ′ ′ ′ ′ → = =   − ABCD là hình vuông nên ∆ABC là tam giác vuông cân tại B
( )
o oACB 45 AC,B C 45 .′ ′→ = ⇔ =
Tính ( )
A C ,B C′ ′ ′ : ( )
( )


o ACB Do A C //AC A C ,B C AC,B C 180 ACB  ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ → = =  ′ − Xét trong tam giác ACB′ có AC = B′C = AB′ (do đều là các đường chéo ở các mặt hình vuông của hình lập phương). Do đó ∆ACB′ đều
( )
o oACB 60 A C ,B C 60 .′ ′ ′ ′→ = ⇔ = Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! b) Tính độ dài OI theo a. Với O là tâm của hình vuông ABCD thì OA OC 0 OA OC OB OD 0 OB OD 0  + = → + + + = + =            Khi đó OI OA OB OC OD′ ′ ′ ′= + + +      Gọi O′ là tâm của đáy A′B′C′D′, theo quy tắc trung tuyến ta có OA OC 2OO OI 4OO OB OD 2OO  ′ ′ ′+ = ′ → = ′ ′ ′+ =         Khoảng cách từ O đến I chính là độ dài véc tơ OI, từ đó ta được OI = 4OO′ = 4a. c) Phân tích hai véc tơ ′AC , BD   theo ba véc tơ a, b, c.    Theo tính chất của hình lập phương ta dễ dàng có a.b 0 a.c 0 b.c 0  =  =  =      
Phân tích: AC AB BC CC a b c BD BA AD b a ′ ′= + + = + + = + = −            
Chứng minh AC′ vuông góc với BD. Xét ( ) ( )    2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 AC .BD a b c . b a a.b b c.b a a.b c.a b a AD AB 0 AC .BD AC BD.′ ′ ′= + + − = + + − − − = − = − = ⇔ ⇔ ⊥                      d) Chứng minh rằng AC′ vuông góc với MN. Ta có phân tích: MN MC CB BN AC AB BC CC = + + ′ ′= + +         ( ) ( ) 0 0 0 0 MN.AC MC CB BN . AB BC CC MC.AB MC.BC MC.CC CB.AB CB.BC CB.CC BN.AB     ′ ′ ′ ′ → = + + + + = + + + + + +        +                          0 0 BN.BC BN.CC MC.AB CB.BC BN.CC   ′ ′+ + = + +                 Mà ( ) ( ) o o 2 2 o MC.AB MC.AB.cos0 a x a CB.BC CB.BC.cos180 a MN.AC a x a a ax 0 MN AC . BN.CC BN.CC .cos0 ax = = − ′ ′= = − → = − − + = ⇔ ⊥ ′ ′= =         BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật với ; 3AB a AD a= = , SA = 2a và vuông góc với đáy. Tính góc giữa các đường thẳng sau: a) SB và CD b) SD và BC c) SB và AC d) SC và BD Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, hình chiếu vuông góc của S xuống mặt đáy là trung điểm H của AB, biết 3.SH a= Gọi I là trung điểm của SD. Tính góc giữa các đường thẳng: a) SC và AB b) SD và BC c) CI và AB d) BD và CI Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B với AB = 3a, AD = 2a, DC = a. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABCD) là H thuộc AB với AH = 2HB, biết SH = 2a. Tính góc giữa a) SB và CD b) SB và AC Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AB với 1 . 2 AH HB= Biết 2 ; 3; 2.AB a AD a SH a= = = Tính góc giữa a) (SD; BC) b) (SB; CD) c) (SA; HC)