Bài giảng Giới hạn của dãy số

www.VNMATH.com Phương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 CHƯƠNG 4. GIỚI HẠN Bài1. Giới hạn của dãy số Phương pháp giải bài tập: Dạng 1: Tìm giới hạn của một dãy: Phương pháp 1: Dùng định nghĩa để tìm giới hạn của một dãy  limu  0 khi và chỉ khi |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, n n kể từ số hạng nào đó trở đi.  limv a  lim v  a  0 nn n   n   lim u   khi và chỉ khi un có thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ n n ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.  limu   lim (  u )   nn n  n BÀI TẬP MẪU: Bài 1. Cho dãy (un) thoả mãn un  n với mọi n. Chứng minh rằng lim un   n Giải: limn  vì vaäy n lôùn hôn moät soá döông baát kì keå töø moät soá haïng naøo ñoù trôû ñi. maët khaùc un n neân u n lôùn hôn moät soá döông baát kì keå töø moät soá haïng naøo ñoù. Vaäy lim u   n n 2n  1 Bài 2. Cho dãy số (un) có un  . Tìm lim un . n n Giải: 2n  1 1 Ta bieán ñoåi: u   2  . n n n 1 Vaäy limu 2 vì lim u  0 nn n  n n n 1 Bài 3. Biết dãy số (un) thoã mãn u  với mọi n. Chứng minh rằng limu  0 n n2 n n Giải Đặt n1 n  1 v.Ta coù lim v  lim  0. Do ñoù, v coù theå nhoû hôn moät soá döông nn2 n n 2 n tuøy yù keå töø moät soá haïng naøo ñoù trôû ñi. (1) Maët khaùc, theo giaû thieát ta coù un v n  v n (2) Töø (1) vaø (2) suy ra un coù theå nhoû hôn moät soá döông tuøy yù keå töø moät soá haïng naøo ñoù trôû ñi, nghóa laø limun  0 Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 1 www.VNMATH.com Phương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 BÀI TẬP ÁP DỤNG: 2 Bài 1. Biết dãy số (un) thoã mãn u n với mọi n. Chứng minh rằng lim u   n n n Giải: Vì limn2  neân n 2 coù theå lôùn hôn moät soá döông tuøy yù, keå töø soá haïng naøo ñoù trôû ñi 2 Maët khaùc, theo giaû thieát un n vôùi moïi n, neân u n cuõng coù theå lôùn hôn moät soá döông tuøy yù, keå töø soá haïng naøo ñoù trôû ñi. Vaäy lim un   Bài 2. Cho biết lim u   và v u với mọi n. Có kết luận gì về giới hạn vn. n n n n Hướng dẫn: limu   lim (  u )     v   u  lim (  v )   nn n  n n n n  n Vaäy lim v   n n Bài 3. Cho dãy số (un) hội tụ, dãy (vn) không hội tụ. Có kết luận gì về sự hội tụ của dãy un v n  . Hướng dẫn: Kết luận dãy un v n  không hội tụ Thật vậy: Xeùt daõy u v , giaû söû noù hoäi tuï nghóa laø lim u  v  a vaø lim u  b .  n n n n n n  n Khi ñoù limu lim v  a nn n  n Vaäy limv a  lim u nn n  n Vì limu b  lim v  a  b nn n  n Vaäy(vn ) laø hoäi tuï, ñieàu naøy khoâng ñuùng. Vaäy daõy un v n  khoâng hoäi tuï. 3n  2 Bài 4. Cho dãy (un) xác định bởi: u  n n 1 1 a) Tìm số n sao cho u 3  n 1000 b) Chứng minh rằng với mọi n > 999 thì các số hạng của dãy (un) đều nằm trong khoảng (2,999;3,001). Hướng dẫn: 1 1 a) u 3    n  999 n n 1 1000 1 1 1 b) Khi n 999  u  3   3   u  3   2,999  u  3,001 n1000 1000 n 1000 n Bài 5. Biết rằng dãy số (un) có giới hạn là 0. Giải thích vì sao dãy số (vn) với vn=|un| cũng có giới hạn là 0. Chiều ngược lại có đúng không? Hướng dẫn: Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 2 www.VNMATH.com Phương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 Vì (un ) coù giôùi haïn laø 0 neân u n coù theå nhoû hôn moät soá döông beù tuøy yù, keå töø soá haïng naøo ñoù trôû ñi. Maët khaùc, vn u n  u n . Do ñoù, v n cuõng coù theå nhoû hôn moät soá döông beù tuøy yù, keå töø moät soá haïng naøo ñoù trôû ñi. Vaäy (un ) coù theå nhoe hôn moät soá döông beù tuøy yù, keå töø moät soá haïng naøo ñoù trôû ñi. Vaäy (vn ) cuõng coù giôùi haïn laø 0. (Chöùng minh töông töï, ta coù chieàu ngöôïc laïi cuõng ñuùng). n Bài 6. Vì sao dãy (un ) với un  1 không thể có giới hạn là 0 khi n   ? Hướng dẫn: n Vì un (  1)  1, neân u n khoâng theå nhoû hôn moät soá döông beù tuøy yù, keå töø moät soá haïng naøo ñoù trôû ñi. Chaúng haïn, un khoâng theå nhoû hôn 0,5 vôùi moïi n. Do ñoù, daõy soá (un ) khoâng theå coù giôùi haïn laø 0. Bài 7. Cho biết dãy số (un) có giới hạn hữu hạn, còn dãy (vn) không có giới hạn hữu hạn. Dãy un v n  có thể có giới hạn hữu hạn không? Hướng dẫn: Xem nội dung lời giải bài 3. Bài 8. a) Cho hai dãy (un) và (vn). Biết limu  vaø v  u vôùi moïi n. Coù keát luaän gì veà giôùi haïn cuûa daõy ( v ) khi n  +  ? n n n n n b) Tìm limv vôùi v  n ! n n n 1 Bài 9. Biết u 2  . Có kết luận gì về giới hạn của dãy số (un)? n 3n Bài 10. Dùng định nghĩa giới hạn cảu dãy số. Chứng minh: 3n 2 n2  2 a) lim 3 b ) lim   nn1 n  n  1 sin n c) lim 0 d ) lim3 1  n3   nn n  Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 3 www.VNMATH.com Phương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 Phương pháp 2: Sử dụng các giới hạn đặc biệt và các định lý để giải các bài toán tìm giới hạn dãy. 1. Các giới hạn đặc biệt: C C lim 0 ; lim  0 ; limC  C ; lim n   nn n n n  n  C limnk   ,  k  N* ; lim  0;  k  N * n n  nk limqn 0, q  1 ; lim q n   , q  1 n n  A A lim 0  limvn   ; lim    lim v n  0 n n  n  n  vn v n 2. Định lý về giới hạn hữu hạn: Giaû söû limu a vaø lim v  b . Khi ñoù: nn n  n 1. lim u v  a  b n  n n  2. limu . v a . b n  n n  u a 3. limn  ,b  0 n vn b 4. limu a (vôùi u  0 vôùi moïi n  N* ) n n n 3. Định lý về giới hạn  u 1.Neáu limu a vaø lim v   thì limn  0 nn n  n n  vn u 2.Neáu limu a  0, lim v  0 vaø v  0,  n  * thì lim n   nn n  n n n  vn 3.Neáu limu  vaø lim v  a  0 thì lim u v   nn n  n n  n n  Nếu biểu thức có dạng phân thức tử số và mẫu số chứa luỹ thừa của n thì chia tử và mẫu cho nk với k là mũ cao nhất.  Nếu biểu thức chứa căn thức ( dạng A B; 3 A  3 B ) cần nhân một lượng liên hiệp để đưa về dạng cơ bản. BÀI TẬP MẪU: 3n3 5 n 2  1 Bài 1. Tính lim . n 2n3 6 n 2  4 n  5 Giải: Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 4 www.VNMATH.com Phương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 5 1 3   3n3 5 n 2  13 3 lim lim n n  n2n3 6 n 2  4 n  5 n  6 4 5 2 2    n n2 n 3 2n2  1  5 n Bài 2. Tính lim . n 1 3n2 Giải: 1 1 5 2   2n2  1  5 n n2 n 0 lim limn   0 n1 3n2 n  1 3  3 n2 Bài 3. Tính limn2 7  n 2  5 n   Giải n27  n 2  5 2 limn2 7  n 2  5  lim  lim  0 n n 2 2 n  2 2  n7  n  5 n  7  n  5 Bài 4. Tính limn2 3 n  n 2 n   Giải: 3n 3 3 limn2 3 n  n 2  lim  lim  n  n 2 2 n  n3 n  n 3 2 1  1 n BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1. Tính các giới hạn sau: 2 2 4n n  1 n  n  12 2  a) lim2 b ) lim 3 c ) lim  n   n3 2n n  2 n  5 n  n 1  a nm a n m1 ...  a n  a Toång quaùt: Tính giôùi haïn: lim 0 1m 1 m n p p1 b0 n b 1 n ...  bp 1 n  b p Tính giôùi haïn sau: 3 2 2n4 n 2  1 2 3n  n  1 d) lim e) lim n 2n 1 3  n n2  2 n 1 4n5 Đáp số: 27 a) 2 b )0 c )  d )  1 e ) 4 Bài 1.1 Tính: limn2  n n  1 n   1 1  Giải: Tính: limn2  n n  1  lim (  n ) 1      n  n  2  n n  Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 5 www.VNMATH.com Phương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 Bài 2. Tính các giới hạn: 2n4 n 2  7 3 n 2  1  n 2  1 3 n 2  14  n a) lim b ) lim c ) lim n2n2 n  3 n n n  1  2 n 2 3 2n3  n d) lim n n  2 Đáp số: 2 a) b ) 3 1 c )0 d )3 2 2 Bài 3. Tình giới hạn sau: 3n1 2 n  1 3 n  2 4.3 n  7 n  1 a) lim b ) lim c ) lim n3n 2 n n  1  2 n n  2.5 n  7 n n n 2  3 5n  1 d e ) limn1 ) lim n n2  3n1 n  5 1 Đáp số: 1 a) 3 b )  c )7 d ) e )1 3 Bài 4. Tính các giới hạn sau: a) lim n 1  n b ) lim n2  3 n  n  2 c ) lim3 n 3  2 n 2  n n  n   n    4n2  1  2 n  1 d) lim n2 n  n e ) lim f ) lim n n 2  1  n 2  2 n n 2 n    n2 n  n  1 g) lim3 n n3  n  2 h ) lim n n  2 2  n2  n  4 Đáp số: 7 2 1 3 a)0 b ) c ) d ) e )1 f ) g )3 h )   2 3 2 2 Bài 5.Tính các giới hạn sau: n1 2  3  ...  n 1  2  3  ...  n a) lim b ) lim nn2 n 1 n  n 2 1 1 1 1  1a  a2  ...  an c) lim   ...   d ) lim2 n vôùi a  1, b  1 n1.2 2.3 3.4n ( n  1)  n  1b  b  ...  b n1 3  ...  2 n  1 e) lim n 2n2  n  1 1 1 1 1  f ) lim   ...   n   1.2.3 2.3.4 3.4.5 n( n 1) n  2  Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 6 www.VNMATH.com Phương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 2  2   2  g) lim 1  1   ... 1   n   2.3  3.4  n1 n  2  1 1 1 1  h) lim   ...   n 1.3 3.5 5.7 (2n 1)(2 n  1)  2.12 3.2 2  ... n  1 n 2 i) lim n n4 1 1 1  k) lim  ...   n   2 1 2 3 2  2 3 (n  1) n  n n  1  * 1 3 5 2n  1  l ) lim2  3  ... n  n 2 2 2 2  Hướng dẫn và đáp số: 1 n  n n  n1 2  3  ...  n2  n n2  n 1 a) lim lim  lim  nn2 n 1 n  n 2  n  1 n  n2  n 1 2 2 1 b) 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 c) Ta coù:  1  ;   ;   ;...;   1.2 2 2.3 2 3 3.4 3 4n ( n 1) n n  1 1 1 1 1   1  Suy ra: lim   ...    lim  1    1 n1.2 2.3 3.4n ( n 1)  n   n  1  1 1 b d) S lim 1 a  n 1 1 a 1 b 1 2n  1 n n n1 3  ...  2 n  1 1 e) S lim  lim 2  n2n2 n  1 n  2 n 2  n  1 2 1 1 1 1  Söû duïng:    k k1 k  2 2  k k  1  k  1 k  2  1 1 1 1 1 1  f) Vaäy:   ...     1.2.3 2.3.4n. n 1 n  2 2 2  n  1 n  2  1 1 1 1  1  1 1  1 Vaäy lim   ...    lim     n  n  1.2.3 2.3.4 3.4.5n( n 1) n  2  2  2 n  1 n  2  4 2 k1 k  2 g) Ta thaáy: 1  k k1 k k  1 Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 7 www.VNMATH.com Phương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 2  2   2   2  Vaäy: 1 1  ... 1   ...  1          2.3  3.4  k. k 1   n . n  1  1.4 2.5k1 k  2  n  1 n  2 1n  3  . ... ...    2.3 3.4k k1 n n  1 3n  1  2  2   2  1 Vaäy lim 1  1   ... 1    n   2.3  3.4  n1 n  2  3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  h) Sn     ...   1     ...    1.3 3.5 5.7 (2n 1)(2 n  1) 2 3 3 5 2 n  1 2 n  1  1 1  1 1   neân lim Sn  2 2n  1  n 2 2 2 2 2 2 2 i)Ta coù: Sn  2.1  3.2  ...  n  1 n  1  1 1  2  1 2  ...  n  1 n 2 n n  n n  n  3 3 3 2 2 2  1  1 2 1 Sn 1  2  ...  n  1  2  ....  n    2  6 2 2  S n n1 n n  1 2 n  1 1 limn  lim     nn4 n  4 n 4 6 n 4  4   1n1 n  n n  1 1 1 k    )Ta coù: 2 n1 n  n n  1n1 n  n2  n  1 n n  1 1 1 1 Sn   ...  2 1 2 3 2  2 3n  1 n  n n  1 1 1 1 1 1 1 1     ...    1   limSn  1 2 2 3n n 1 n  1 n 1 3 5 2n  1 l)Ta coù: S     ...  n 2 22 2 3 2n 1 1 3 1   5 3   2n 1 2 n  3  2 n  1 Sn S n         ...  n  n   n 2 2 22 2 2   2 3 2 3   2 2  2 1 1 1  1 1 1 1 2n 1 1n1 2 n  1 1 1 2 n  1    ...    2 2    1   2 222 2n 1 2 n  1 21 2 n  1 2 2 n  2 2 n  1 1 2 1 1 1 2n 1 1 2 n 1 Suy ra: S   1   S 3    2n 2 2n22n  1n 2 n  3 2 n 2 n n n2 2 n Maët khaùc: n n  . Maø lim  0  lim n  0 21 1 n1n n  1 n  2 Vaäy limS  3 n n Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 8 www.VNMATH.com Phương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 Phương pháp 3. Dùng nguyên lí kẹp. Cho ba dãy số (un), (vn) và (wn). Nếu un v n  w n vôùi moïi n Và limun lim w n  L ( L  ) thì lim v n  L BÀI TẬP MẪU: 1 2 n  Tính lim2 2  ....  2  . n n1 n  2 n  n  Giải: Ta thấy: 1 2n 1 2  ...  n 1  ....    n21 n 2  2 n 2  n n 2  n 2 1 2n 1 2 n n n 1 Vaø  ....     ...   n21 n 2  2 n 2  n n 2  1 n 2  1 n 2  1 2n2  1 1 1 2 n n n 1 Vaäy   ....   2 n21 n 2  2 n 2  n 2n2  1 n n 1 1 Maø lim  n 2n2  1 2 1 2n  1 Vaäy lim2 2  ....  2   n n1 n  2 n  n  2 BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1. Tính giới hạn của các giới hạn sau: n 1 1  3sinn 4 c osn n  sin n a) lim  b ) lim c ) lim n2 3n  n  n+1 n  3n+4 n 2 sin2n c os2n 1  3n d) lim e ) lim n3n+1 n  cosn+5n2 1 1 1  f ) lim  ...   n   n21 n 2  2 n 2  n  Đáp số: 1 3 a) 0 b ) 0 c ) d )0 e ) f )1 3 5 Bài 2. Cho 2 dãy số (un) và (vn). Chứng minh rằng nếu limvn 0 vaø u  v n với mọi n thì limun  0 Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 9 www.VNMATH.com Phương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 Hướng dẫn: limvn 0  v n coù theå nhoû hôn moät soá döông beù tuøy yù, keå töø moät soá haïng naøo ñoù trôû ñi. (1) Vì un v n vaø v n  v n vôùi moïi n, neân u n  v n vôùi moïi n (2) Töø (1) vaø (2) suy raun cuõng coù theå nhoû hôn moät soá döông tuøy yù, keå töø moät soá haïng naøo ñoù trôû ñi, nghóa laø limun  0 Áp dụng: Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát như sau: 1 ( 1)n 2 n (  1) n a) u b ) u  c ) u  nn! n 2 n  1 n 2n2  11 n n d) un (0,99) cos n e ) u n  5  cos n Đáp số: a)0 b )0 c )0 d )0 e )   DẠNG 2: Chứng minh một dãy số có giới hạn: Phương pháp: 1. Áp dụng định lý Vâyơstraxơ:  Nếu dãy số (un) tăng và bị chặn trên thì nó có giới hạn.  Nếu dãy số (un) giảm và bị chặn dưới thì nó có giới hạn. 2. Chứng minh một dãy số tăng và bị chặn trên ( dãy số tăng và bị chặn dưới) bởi số M ta thực hiện: Tính một vài số hạng đầu tiên của dãy và quan sát mối liên hệ để dự đoán chiều tăng (chiều giảm) và số M. 3. Tính giới hạn của dãy số ta thực hiện theo một trong hai phương pháp sau: * Phương pháp 1:  Đặt lim u a n n  Từ limu lim f ( u ) ta được một phương trình theo ẩn a. nn1 n  n  Giải phương trình tìm nghiệm a và giới hạn của dãy (un) là một trong các nghiệm của phương rình. Nếu phương trình có nghiệm duy nhất thì đó chính là giới hạn cảu dãy cần tìm. còn nếu phương trình có nhiều hơn một nghiệm thì dựa vào tính chất của dãy số để loại nghiệm.  Chú ý: Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất.  Phương pháp 2:  Tìm công thức tổng quát un của dãy số bằng cách dự đoán./  Chứng minh công thức tổng quát un bằng phương pháp quy nạp toán học.  Tính giới hạn của dãy thông qua công thức tổng quát đó. Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 10 www.VNMATH.com Phương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 BÀI TẬP MẪU:  u1  2 Bài 1. Chứng minh dãy (un) bởi công thức truy hồi  . un1 2  u n vôùi n  1 Chứng minh dãy có giới hạn, tìm giới hạn đó. Giải: Ta có: u12 vaø un 1  2  u n , u n  0 vôùi  n  N  Ta chứng minh : un 2 vôùi  n  N (1) Vôùi n=1, ta coù u1  2  2 thì (1) ñuùng Giaû söû baát baát ñaúng thöùc ñuùng vôùi n=k thì uk  2. Vaäy un 2,  n  N  Chứng minh dãy (un) tăng: 2 Xeùt un1  u n  2  u n  u n  u n  u n  2  0   1  u n  2 Maø 0un  2 neân u n1  u n . Vaäy (u n ) laø daõy taêng (2) Töø (1) vaø (2) suy ra (un ) coù giôùi haïn.  Đặt limu a thì 0  a  2 n n u2  u  lim u  lim 2  u n1 nn n  1 n  n a 2  a  a2  a  2  0  a   1hoaëc a =2 Ta có: Vì u 0 neân lim u  a  0.Vaäy lim u =2 nn n n  n Löu y: ù Trong lôøi giaûi treân, ta ñaõ aùp duïng tính chaát sau: " Neáu limu a thì lim u  a " nn n  n1 u1  2  Bài 2. Cho dãy (un) bởi công thức truy hồi  1 . u 2   n1  un Chứng minh rằng dãy số (un) có giới hạn và tìm giới hạn đó. Giải: Ta có : 1 2 3 4 n u; u  ; u  ; u  .Töø ñoù ta döï ñoaùn: u  (1) 12 2 3 3 4 4 5n n  1 Chöùng minh döï ñoaùn treân baèng quy naïp: 1 1 Vôùi n=1, ta coù: u   (ñuùng) 1 1 1 2 k Giaû söû ñaúng thöùc (1) ñuùng vôùi n=k (k  1), nghóa laø u  . k k 1 Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 11 www.VNMATH.com Phương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 1 1k  1 Khi ñoù ta coù u    ,nghóa laø ñaúng thöùc (1) k1 2uk k  2 k 2  k 1 cuõng ñuùng vôùi n=k+1. n Vaäy u  ,  n  * . n n 1 n Töø ñoù ta coù lim u lim  1 n n 1 BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1. Chứng minh dãy (un) với u 2  2  ...  2  2 là dãy hội tụ. n  n daáu caên Phương pháp: Xét dãy (un) tăng (hoặc giảm), xét (un) bị chặn trên (hoặc bị chặn dưới) Chú ý: Để tìm giới hạn của dãy cho bởi công thức truy hồi ta dùng các phương pháp. 1. Tìm công thức tổng quát ( dựa vào phương pháp đã được nêu ở phần kiến thức dãy số). Tính giới hạn un. 2. Tìm limun1  lim f u n  . Giải phương trình tìm lim un  a  Tìm giới hạn. n n  n u  0  1 Bài 2. Cho dãy truy hồi  u  3 . Tìm giới hạn của dãy. un1 ( n  2)  n 4 Hướng dẫn và đáp số: u1  0 1 3 1  u2  1    4 4  2 15 1  u2  1    16 4  . . . n1 1  un 1    4  n1 1  baèng phöông phaùp quy naïp chöùng minh un 1    4  n1 1   Vaäy lim 1    1 n 4    Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 12 www.VNMATH.com Phương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 u  2  1 Bài 3. Cho dãy truy hồi  u 1 . Chứng minh dãy (un) có giới hạn, tìm giới un1 ( n  2)  n 2 hạn đó. Hướng dẫn và đáp số: Cách 1: 2n1  1 Döï ñoaùn u  n 2n  1 2n1  1 limu  lim  1 nn n  2n  1 Cách 2:  Chứng minh dãy giảm và bị chặn dưới. limu a , tìm a n n a 1  Giả sử limu lim u  a   a  1 nn n  n1 2 limu  1 n n Bài 4. u  2  1 a) Cho dãy truy hồi  u 1 . Chứng minh dãy (un) có giới hạn và tìm un ( n  1)  n1 2 giới hạn đó. 0u  1  n b) Cho dãy (un) xác định bởi:  1 . Chứng minh dãy (un) u1 u  ( n  1)  n1 n 4 có giới hạn và tìm giới hạn đó. Hướng dẫn và đáp số: b) * Chöùng minh (un ) laø daõy taêng vaø bò chaën treân Ta coù: 0un  1, n  N AÙp duïng baát ñaúng thöùc coái: 1 * un11  u n  2 u n  1 1  u n  2  1  u n  1  u n , n  N 4 Vaäy (un ) laø daõy taêng vaø bò chaën treân thì ( u n ) thì daõy coù giôùi haïn * Ñaët limu a , a  0 n n 2 1 1 1 1  1 Tacoù: u 1 u   lim u 1  u    a 1  a   a   0  a  n1 n  n  1  n       4n 4 4 2  2 1 Vaäy lim u  n n 2 Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 13 www.VNMATH.com Phương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 1 2  Bài 5. Cho dãy (u ) xác b u u vaø u  0 n định ởi n1 n  1 2 un  a) Chứng minh rằng un 2 vôùi moïi n  2 b) Chứng minh dãy (un) có giới hạn và tìm giới hạn đó. Hướng dẫn và đáp số: 1 2  a) Ta coù: u 0, u  u   u  0,  n  N * 1n 1  n  n 2 un  AÙp duïng baát ñaúng thöùc Coâ si: 1 2  2 u u   u.  2 ,  n  1, n   n1  n  n 2 un  u n Suy ra un  2, n  2, n  N b)Ta coù: un 2, n  2, n  N neân  u n  laø daõy bò chaën döôùi 1 2  1 u2  Xeùt u u  u    u  1 n   0,  n  2, n  N neân u  u ,  n  N * n1 n nu  n  n  1 n 2n  u n  2  * Ñaët limu a , a  2.Ta coù: n n  1 2  1  2  1 2  2 a  2 un1 u n   lim u n  1  lim  u n    a  a    a  2   2u n n  2  u  2 a n   n    a   2 Vaäy limu  2 n n * Bài 6. Chứng minh dãy (un) được cho bởi công thức un cos n . n  . Chứng minh dãy không có giới hạn. Hướng dẫn: Giaû söû limu lim cos n  a  lim cos n  2  a  lim cos n  2  cos n   0 nn n  n   n      2 lim sinn  1 sin1  0  lim sin n  1  0  lim sin n  0 n  n   n  maët khaùc: sinn 1  sin nc os1  cos n sin1,Suy ra lim cos n  0   n Suy ra : lim cos2 n sin2 n  0, voâ lyù n   Vaäy daõy soá (un ) vôùi u n  cos n khoâng coù giôùi haïn. Bài 7. Chứng minh các dãy sau hội tụ: 1 1 1 a)  1    ...  ; n  N n 22 3 2n 2 1 1 1 b)  1    ...  ; n  N n 22 3 3 nn Hướng dẫn: a) Ta thấy Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 14 www.VNMATH.com Phương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 1 1 1 Daõy   1    ...  laø daõy taêng, ta chæ caàn chöùng minh daõy bò chaën. n 22 3 2n 2 1 1 1 1 1 1 1 1   ...   1    ...   2   2 22 3 2n 2 1.2 2.3 (n 1) n n Vaäy daõy hoäi tuï. b) 1 1 1 Daõy   1    ...  laø daõy taêng, ta chæ caàn chöùng minh daõy bò chaën. n 22 3 3 nn 1 1 1 1 1 1  1    ...   1    ...   2 n 22 3 3nn 2 2 3 2 n 2 Vaäy daõy bò chaën treân neân hoäi tuï. Dạng 4: Sử dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, tìm giới hạn, biểu thị một số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số. Phương pháp: Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn và có công bội là |q|<1.  Tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn (un) u S u  u ...  u  ...  1 1 2 n 1 q  Mọi số thập phân đều được biểu diễn dưới dạng luỹ thừa của 10 a a a an X N, a a a ... a ...  N 1  2 3  ...   ... 1 2 3 n 10 102 10 3 10n BÀI TẬP MẪU: Bài 1. Viết số thập phân m=0,030303...( chu kỳ 03) dưới dạng số hữu tỉ. Giải: 3 3 3 3 3 1 100 m 3    ...   3 100  3   3   100 10000100n 1 99 33 33 1 100 1 1 Bài 2. Tính tổng S 2  2  1    ... 2 2 Giải: 1  2 1 1 Xét dãy: 2,- 2 ,1,  ,... là cấp số nhân q2  ; q   1 2  2  2 2 2 2 2 Vậy S   4  2 2 1 1 2 1 2 BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1. Hãy viết số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng một phân số.   34,1212...(chu kỳ 12). Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 15 www.VNMATH.com Phương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 1134 Đáp số:   33 Bài 2. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 1 1 1 2 1 1 1 a) S 1    ...   ... b ) S     ... 4 16 4n1 2 1 2  2 2 Hướng dẫn : 1 4 2 2 a) q; S  b) q; S  4  3 2 4 3 2 Bài 3. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng S=3 và công bội n1 2 2 4 2  q  . Đáp số: Cấp số nhân lùi vô hạn đó là: 1; ; ;...  3 3 9 3  1 Bài 4. Tìm cấp số nhân lùi vô hạn, biết tổng S=6. Tính hai số hạng đầu u u  4 1 2 2 Hướng dẫn:  u S 1  6 u6 1  q 1 q  1 1   1 q   2 1 u1 1 q  4 u1 u 1 q  4  2  2 n 13 Bài 5. Giải phương trình sau: 2x 1  x2  x 3  x 4  x 5  ...   1 x n  ...  với 6 x  1 n Hướng dẫn: Dãy số x2, x 3 , x 4 ,  x 5 ,...,  1 xn ... là một cấp số nhân với công bội 1 7 q  x . ĐS: x; x   2 9 Bài 6. 2 3n 1 a) Tính tổng S 1  0,9  0,9  0,9  ....  0,9  ...  b) Cho 0  . Tính tổng S 1  tan  tan2   tan 3   ... 4 c) Viết số thập phân vô hạn tiần hoàn sau dưới dạng phân số hữu tỉ a = 0,272727...... b = 0,999999999...........  d) Cho dãy b  sin  sin2   sin 3   ...  sinn  với   k  . Tìm giới hạn n 2 dãy bn. Hướng dẫn: 1 a) S   10 1 0,9 1 b) S  1 tan c) Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 16 www.VNMATH.com Phương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 2 7 2 7 a 0      ... 10 102 10 3 10 4 2 2 2 7 7   ...   ...    .... 10 103 10 2n 1 10 2 10 4 1 1 3 210  7 10  1 1 1 1  11 102 10 2 9 1 b .  1 1 10 1 10 sin d) lim b  n 1 sin n soá haïng a aa ...  aaa ... a Bài 9. Tính lim n 10n Hướng dẫn: Ta có: n soá haïng n soá haïng   n   10 1 100  1 10  1  a aa ...  aaa .. a  a 1  11  ...  111..1   a   ...     9 9 9     10 10n  1  9n  a 81 n soá haïng a aa ...  aaa .. a 10 a 10n  1  9 n  10 a Vaäy lim n n   n 1081 10  81 Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 17