Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến - Chương V: Chuỗi số-Chuỗi lũy thừa - Bài 2: Chuỗi hàm

§2. Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụChuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng Số hạng tổng quát un(x)=an(x-x0)n (1) hoặc un(x)=anxn (2) phụ thuộc vào n và biến x, là 1 hàm lũy thừa theo x hoặc (x-x0). a0, a1, a2, .. là hằng sốTa có thể đặt X=x-x0 và đưa dạng (1) về thành dạng (2) nên ta chỉ viết các kết quả sau đây với số hạng tổng quát dạng (2)§2. Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụMiền HT của chuỗi lũy thừa là tập D nếuchuỗi số HTVí dụ: Chuỗi Là chuỗi cấp số nhân nên HT khi và chỉ khi |x|1: Chuỗi HT vì |x|>1Vậy MHT là (-∞,-1)U(1,+ ∞)Cho §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HTTổng quát: giả sử chuỗi lũy thừa HT tại x=x0, Nếu |x||x1|Bán kính hội tụ (BKHT):HT với mọi x: |x|0 sao cho chuỗiHệ quả: Nếu chuỗiPK tại x1PK với mọi x: |x|>R được gọi là BKHT của chuỗi§2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HTCách tìm BKHT của chuỗi lũy thừaĐặt: Thì BKHT làĐặt: Cách tìm MHT của chuỗi lũy thừaSau khi tìm xong BKHT, ta chỉ còn xét sự HT của chuỗi tại 2 điểm x=R và x=-R nữa là có kết luận §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HTVí dụ: Tìm BKHT, MHT của các chuỗi sau1. Với chuỗi lũy thừa này, ta đang có an=nn: BKHT R=0 tức là MHT chỉ gồm 1 điểm duy nhất {0}2. Khi x=2: là chuỗi số dương HTKhi x=-2:là chuỗi HTTĐVậy MHT [-2,2]§2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HTVí dụ: Tìm BKHT, MHT của các chuỗi:1. Chuỗi lũy thừa với → R=5Khi x=± 5: Là 2 chuỗi PK theo đkccshtBKHT R=5, MHT là (-5,5)Chú ý: Khi chuỗi số dương PK theo đkccsht thì chuỗi đan dấu tương ứng cũng PK theo đkccsht §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT2. Chuỗi lũy thừa với → R=2Ta chỉ xét X=2: Chuỗi PK theo đkccsht vìSuy ra, chuỗi đã cho HT khi Vậy BKHT R=2, MHT: (1-√2, 1+√2)§2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT3. Chuỗi lũy thừa với → R=0Vậy BKHT R=0, MHT là {0}§2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT4. Chuỗi lũy thừa với → R=eKhi X=e: Tuy nhiên, vì Nên Dn0: |f(n)(x)|≤Cn, với mọi nthìChú ý: Trong khi làm bài, ta sẽ không kiểm tra 2 điều kiện trên để có chuỗi Taylor của hàm f(x) mà ta sẽ sử dụng các kết quả sau đây để chỉ ra MHT của chuỗi Taylor - Maclaurint§2. Chuỗi Taylor - MaclaurintMột số chuỗi Maclaurint cơ bản§2. Chuỗi Taylor - Maclaurint§2. Chuỗi Taylor - MaclaurintVí dụ: Tìm chuỗi Maclaurint các hàm:1.Vậy:Chuỗi HT nếu ↔ -2<x<2MHT: (-2,2)§2. Chuỗi Taylor - Maclaurint2. f(x)=ln(2-3x+x2)= ln((1-x)(2-x))= ln(1-x) + ln(2-x)MHT: (-1,1)Chuỗi HT nếu§2. Chuỗi Taylor - MaclaurintVí dụ: Tìm chuỗi Maclaurint hàm:Ta tính Tìm chuỗi Maclaurint của hàm f’(x):§2. Chuỗi Taylor - MaclaurintHàm khai triển được nếu Suy ra: MHT : §2. Chuỗi Taylor - MaclaurintVí dụ: Tìm chuỗi Taylor ở lân cận x0=3 của hàmĐặt X=x-3 MHT: (1,5)§2. Chuỗi Taylor - MaclaurintNgoài việc áp dụng khai triển các hàm cơ bản thành chuỗi Maclaurint vào việc tìm chuỗi Taylor , chuỗi Maclaurint các hàm bình thường. Ta còn có thể áp dụng để tính tổng các chuỗi lũy thừa, chuỗi sốVí dụ: Tính tổng của chuỗi lũy thừaChuỗi trên là chuỗi lũy thừa với Nên dễ thấy BKHT R=1, tức là với -1<x<1 ta đặt§2. Chuỗi Taylor - MaclaurintVậy:§2. Chuỗi Taylor - MaclaurintVí dụ: Tính tổng của chuỗi§2. Chuỗi Taylor - Maclaurint§2. Chuỗi Taylor - MaclaurintVí dụ: Sử dụng khai triển Maclaurint hàm dưới dấu tích phân bằng chuỗi, tính tích phânTa có:Thay vào tích phân trênTa tính tổng của chuỗi số bằng định nghĩaTổng riêng : Sn = u1+u2++un và tổng S§2. Chuỗi Taylor - MaclaurintVậy§2. Chuỗi Taylor - MaclaurintVí dụ: Tính tổng các chuỗi số sau1. 2.§2. Chuỗi Taylor - Maclaurint3.§2. Chuỗi Taylor - Maclaurint4.