Bài giảng Giải tích 1 - Chương 5: Phương trình vi phân (Phần 2)

Phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằngĐịnh nghĩa: PT vp tuyến tính cấp n hệ số hằng là ptvp có dạngPT (1) gọi là pt thuần nhấtTrong đó a1,a2 , , an là các hằng số thựcPT (2) gọi là pt không thuần nhấtPhương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằngHệ hàm độc lập tuyến tính trên (a,b)Hệ {y1(x), y2(x), , yn(x)} được gọi là độc lập tuyến tính trong (a,b) nếu từ đẳng thức λ1y1(x)+λ2y2(x)++λnyn(x)=0Ta suy ra λ1= λ2 = = λn=0Định thức Wronski của các hàm y1(x), y2(x), , yn(x)có đạo hàm đến cấp (n-1) trong (a,b) làPhương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằngĐịnh lý: Cho các hàm y1(x), y2(x), , yn(x) có đạo hàm đến cấp (n-1) trong (a,b). Nếu thì hệ trên đltt trong (a,b)Ví dụ: 2 hàm y1(x) = ex , y2(x) = xex đltt với mọi xTa đi tính định thức Wronski của 2 hàm đã choPhương trình tt cấp 2 hệ số hằng thuần nhấtTa đi tìm nghiệm của (1) ở dạng Thay vào (1) : Vậy hàm là nghiệm của pt (1) khi và chỉ khik là nghiệm của pt (3)(3)Ta gọi pt (3) là pt đặc trưng của pt (1)Cấu trúc nghiệm: Nếu y1(x), y2(x) là 2 nghiệm riêng đltt của thì NTQ của pt (1.1) là ytn=C1y1(x)+C2y2(x)Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng thuần nhấtPt thuần nhất :Pt đặc trưng : (3)TH 1: (3) có 2 nghiệm thực TH 2: (3) có 1 nghiệm thực TH 3: (3) có cặp nghiệm phức liên hợpNTQ của pt thuần nhất là đlttđlttđlttPhương trình tt cấp 2 hệ số hằng thuần nhấtVí dụ: Tìm NTQ của các ptPhương trình tt cấp cao hệ số hằng thuần nhấtTương tự cho các pt tuyến tính cấp cao hệ số hằng thuần nhất.Ta sẽ làm với ví dụ sauVí dụ: Tìm NTQ của các ptTa gọi ytn là nghiệm tổng quát của pt thuần nhất (1.1)và yr là 1 nghiệm riêng của pt không thuần nhất (1.2)Thì NTQ của pt không thuần nhất (2.1) là ytq=ytn+yrCấu trúc nghiệm của pt không thuần nhấtPhương trình tt cấp 2 hệ số hằng không thuần nhấtNTQ của pt thuần nhất (1.1) là ytn ta đã tìm ở trênTa chỉ cần tìm 1 nghiệm riêng của pt không thuần nhất là yrPhương trình tt cấp 2 hệ số hằng không thuần nhấtTrường hợp đặc biệt : f(x) có thể viết dưới dạngTa sẽ viết yr dưới dạng sauTrong đó : là nghiệm bội h của pt đặc trưngSau đó, ta sẽ tính các đh cấp 1, cấp 2 của hàm yrrồi thay vào pt ban đầu để tìm các đa thức Ts(x) và Rs(x)Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng không thuần nhấtPT đặc trưng:NTQ của pt thuần nhất:Hàm vế phải có dạng đặc biệt :So với dạng chính tắc:Ta được: Là nghiệm đơn (bội 1) của ptđt, h=1 Ví dụ: Gpt Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng không thuần nhấtTa tính đh cấp 1, cấp 2 của yr và thay vào pt đã choTa được:Đồng nhất hệ số 2 vế: a=3/2, b=1Vậy NTQ:Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng không thuần nhấtVí dụ: Tìm dạng nghiệm riêng của các pt PTk1,k2hn, mSYr12, 3211, 0121, 1120, 0031, 400, 00Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng không thuần nhấtNếu f(x) có thể tách được thành tổng 2 hàm f1(x) và f2(x) có dạng đặc biệtTa sử dụng nguyên lý chồng nghiệm như sau:Nếu y1, y2 là nghiệm riêng của pt sau Thì y1+y2 là nghiệm riêng của pt Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng không thuần nhấtVí dụ: GptThay yr1, yr2 vào 2 pt tương ứng, ta được:Vậy NTQ làPhương trình tt cấp 2 hệ số hằng không thuần nhấtTrường hợp hàm f(x) không thể viết như trênTa sẽ dùng phương pháp biến thiên hằng số bằng cáchkhi NTQ của pt thuần nhất (1.1) là (*)Từ (*) : Để việc tính toán đơn giản hơn, ta thêm điều kiện(a)tìm NTQ của pt không thuần nhất (2) ở dạngPhương trình tt cấp 2 hệ số hằng không thuần nhấtTa tính tiếp đh cấp 2, rồi thay y’, y’’ vào pt không t.nhấtKhi đó: Lưu ý rằng y1, y2 là nghiệm của pt t.nhất, tức là Ta được (b)Suy ra, C1’(x), C2’(x) là nghiệm của hpt (a), (b) Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng không thuần nhấtPhương pháp biến thiên hằng số để giải pt 1. Giải pt đặc trưng 2. Viết 2 nghiệm riêng y1(x), y2(x) của pt thuần nhất3. Tìm NTQ ở dạng Rồi đi tìm C1’(x), C2’(x) bằng cách giải hpt4. Lấy tích phân C1’(x), C2’(x) rồi thay vào ytq Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng không thuần nhấtVí dụ: Gpt Từ pt đ.trTa giải hptVậy nghiệm của pt đã cho làPhương trình tt cấp 2 hệ số hằng – pt Euler-CauchyPT Euler – Cauchy là pt có dạng Ta đưa về pt tt hệ số không đổi bằng cách đặt x = et (x>0) hoặc x = -et (x0)Vì x>0 nên ta có thể đặt x=etThay vào pt đã cho, ta đượcThay vào pt trênVậy nghiệm của pt đã cho làPhương trình tt cấp 2 hệ số hằng – pt Euler-CauchyVí dụ: Tìm nghiệm riêng của ptĐặt x=et, ta được ptThay vào pt trên, ta được : a=1Suy ra, NTQ của pt đã choTính thêm y’tq, thay điều kiện đầu vào, tìm được C1, C2Vậy nghiệm riêng là: Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng – Bài tậpTìm NTQ hoặc nghiệm riêng của các ptPhương trình tt cấp 2 hệ số hằng – Bài tập