Bài giảng Giải tích 1 - Chương 3: Đạo hàm và vi phân (Phần 2)

Hệ phương trình tuyến tính hệ số hằngĐịnh nghĩa: Hệ ptvp là hệ gồm các ptvp chứa đạo hàm của các hàm cần tìmVí dụ: Các hệ ptvpHệ 2 ptvp cấp 1Trong đó t là biến độc lập, x(t), y(t) là các hàm cần tìm. Hệ 3 ptvp cấp 1 dạng chính tắcHệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằngHệ ptvp tuyến tính cấp 1 hệ số hằng là hệ ptvp có dạngTrong đó fi(t), i=1,2, ,n là các hàm liên tục trong (a,b)Hệ pt tuyến tính cấp 1hệ số hằngĐặtThì hpt trên có thể viết thành Hệ không thuần nhấtHệ thuần nhấtNghiệm của hệ là 1 hàm vecto trong (a,b) gồm các hàmkhả vi, liên tục trong (a,b) và thỏa hệHệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng – PP khửTa kí hiệu phép lấy đạo hàm là Suy ra Ví dụ với hệ ptvp sauTa viết thànhSau đó, ta dùng phương pháp khử như đối với hptđại số tuyến tính Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng – PP khửVí dụ: Giải hptTa viết lại hptLấy 2*(1)+(D-3)*(2) để khử x1, ta được :Viết lại kí hiệu thườngTa giải pt trênHệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng – PP khửThay vào pt Ví dụ: Giải hptTa viết lại hpt:Khử x3: (1)+(2) và 3*(3)-(D-1)*(2) Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng – PP khửHệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng – PP khửHệ trên tương đương với:Khử x2: (D2+5D+3)*(4)+(D+2)*(5)Thay vào pt (4) để tìm x2:Thay vào (1) để tìm x3: Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêngHệ ptVới A là ma trận thực, vuông chéo đượcTồn tại ma trận S khả nghịch sao cho A=SDS-1Thay vào hptĐặt Y=S-1XThay vào hpt trênĐây là n-ptvp cấp 1 riêng biệtHệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêngVí dụ: Giải hptĐặt Y=S-1X, ta được hpt:Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêngTa tính Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêngVí dụ: Giải hpt Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêngĐặt Y=S-1X, ta được hptVậy Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêngVí dụ: Giải hptHệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêngĐặt Y=S-1X, ta được hptHệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – Bài tậpGiải các hpt sauHệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – Bài tập