Bài giảng Đồ hoạ kỹ thuật

y mặt phẳng hình chiếu П2 thành П’2 rồi П1 thành П’1, biết trước trục x’ là giao của П’2 với П1, trục x’’ là giao của П’1 với П’2.(Hình 4.7).Giải:Tìm A’2: A1A’2 ^ x’ ; A’xA’2=AxA2Tìm A’1: A’1A’2 ^ x” ; A’’xA’1=A’xA1 A1xAxA2Π1Π2x’A’2A’xΠ1Π’2x’’A’1A’’xΠ’1Π’2Chú ý: Không nhầm độ cao A1A’x với A1AxHình 4.7. Thay mặt phẳng П2 thành П’2 rồi thay П1 thành П’1 Ví dụ 4: Tìm hình dạng, độ lớn thật của tam giácABC được cho trên đồ thức.(Hình 4.8)Giải:- Thay П2 thành П’2 sao cho trong hệthống (П1, П’2) thì (ABC) là mặt phẳng chiếu bằng. Muốn vậy, vẽ đường mặt Af. Chọn trục x’^A1f1.Tìm A’2B’2C’2?- Thay П1 thành П’1 sao cho trong hệ thống (П’1, П’2) thì (ABC) là mặt phẳng mặt. Muốn vậy, chọn trục x’//A’2B’2C’2.Tìm A’1B’1C’1?- Ta có A’1B’1C’1là hình dạng, độ lớn thật của tam giác ABC.Π1Π2C1C2xA2B1A1A’2A’xΠ’2Π’1B’2B’xC’2C’xB2C’1A’1B’1x’’x’BxCxAxB”xA”xC”xΠ’2Π1Hình 4.8. Ví dụ 4: Tìm hình dạng thật của tam giác ABCf2f11112Chương 4Giao của các đối tượng 4.1- Mặt phẳng cắt các đối tượng4.1.1 Trường hợp đặc biệta)Mặt phẳng cắt một đối tượng chiếuNguyên tắc: Đã biết trước một hình chiếu của giao. Hình chiếu đã biết của giao nằm trên trên hình chiếu suy biến của đối tượng chiếu, hình chiếu còn lại tìm bằng bài toán liên thuộcVí dụ 1: Hãy tìm giao điểm của đường thẳng l và mặt phẳng (α) . Cho l vuông góc với П1, mặt phẳng α(a,b). Giải: - l ^ П1 Þ K1 ≡ l1 - Tìm K2 đưa về bài toán cơ bản 1 (điểm thuộc mặt phẳng) Þ K2 ≡ l’2 ∩l2l2a2l1xK1 ≡K2b2a1b1l’1l’212221121Ví dụ 2: Cho α(α1) , β(ABC) Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước Giải: - (α) là mặt phẳng chiếu đứng nên g1≡ α1 - Để tìm g2 quy về bài toán đường thẳng thuộc mặt phẳngA1B1A2C2B2C112112122g1 ≡g2α1Ví dụ 3: Tìm giao tuyến của mặt phẳng α(mα, nα) với mặt trụ chiếu bằng được cho như trên hình 6.8. (Trụ chiếu bằng là trụ có trục hay đường sinh vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng П2).Giải: Giao tuyến (α) với trụ là đường elíp. Vì mặt trụ là mặt trụ chiếu bằng nên biết trước hình chiếu bằng của giao tuyến. + Tìm điểm giới hạn thấy khuất U, V. + Tìm điểm thấp nhất và cao nhất A, B. + Tìm CD: đường kính liên hợp với AB.A1A2U1U2V1V2B1B2O2C2D2X2Y2X1Y112221121h1h2f2f1D1C1O1Hình 6.8. Tìm giao tuyến của α(mα, nα) với mặt trụ chiếu bằng Hình 6.9.Giao của (α ) với trụ chiếu đứng trong không giand2d1mαnαΠ2nαΠ1O2ABmαUVDOαdxCb- Mặt phẳng chiếu cắt các đối tượngNguyên tắc chung: Đã biết trước một hình chiếu của giao. Hình chiếu biết trước của giao trùng với hình chiếu suy biến của mặt phẳng chiếu. Ví dụ 1: Cho α(α1) , β(β2) (Hình 3.24) Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước. Giải: - (α) là mặt phẳng chiếu đứng nên g1 ≡ α1 - (β) là mặt phẳng chiếu bằng nên g2 ≡ β1 β2α1g1g2xHãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước. Ví dụ 2: Cho α(α1) , β(β1) (Hình 3.25) Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước. Giải: - (α) là mặt phẳng chiếu đứng nên g1 ≡ α1 - (β) là mặt phẳng chiếu đứng nên g1 ≡ β1 - Ta có: g là đường thẳng chiếu đứng: + g1≡ α1∩ β1 + g2 ^ xβ1α1g1g2xHình 3.25. Vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước. Cho α(α1) , β(β1)S1I1J1A1B1α1A2B2C2D2J2S2Ví dụ 3: Tìm giao tuyến của mặt phẳng α(α1) với mặt nón tròn xoay trong 3 trường hợp:Trường hợp mặt phẳng (α) cắt tất cả các đường sinh của nón, giao tuyến là elíp (E) - (α) cắt mặt nón theo đường elíp (E) có hình chiếu đứng là đoạn A1B1. - A2B2 là trục dài của elíp trên hình chiếu bằng. - Lấy I1 là trung điểm A1B1 Þ I2 là trung điểm của A2B2 . I2 là tâm đối xứng của elíp trên hình chiếu bằng. - C1 ≡ D1, Tìm C2D2 (bài toán điểm thuộc mặt nón). C2 D2 là trục ngắn của elíp (E). - Để thuận lợi ta tìm thêm các điểm trung gian khác. Chú ý: S2 là tiêu điểm của elíp(E2)(E1)X1X2X’2K1K2C1≡D1≡I24.1.2 Trường hợp tổng quátTrường hợp tổng quát ta chưa biết được hình chiếu nào của giao. Muốn tìm giao ta phải dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ.a) Đường thẳng cắt mặt phẳngHãy tìm giao điểm của đường thẳng l và mặt phẳng (α)Giải: Dùng phương pháp mặt phẳng phụ: + Lấy mặt phẳng (φ) chứa đường thẳng l + Tìm giao tuyến g của (φ) và (α) + Lấy K ≡ l ∩ g thì K ≡ l ∩ (α) glKαφChú ý: Áp dụng trên đồ thức, ta chọn mặt phẳng phụ (φ) là mặt phẳng chiếu để dễ dàng tìm được giao tuyến phụ g Bài toán: Hãy tìm giao điểm của đường thẳng l và mặt phẳng (α)Ví dụ 1: Cho l(l1,l2), mặt phẳng α(ABC).Giải: - Dùng phương pháp mặt phẳng phụ Tìm được K ≡ l ∩ (α) * Xét thấy khuất đường thẳng l với mặt phẳng (ABC) -Xét cặp điểm đồng tia chiếu (P1l,P2l) và (P1BC, P2BC): P1lÎ l1 ; P1BCÎ B1C1 ; P2l ≡ P2BC Trên hình chiếu đứng P1l cao hơn P1BC Þ trên hình chiếu bằng P2l thấy, P2BC khuất Þ P2lK2 thấy. - Xét cặp điểm đồng tia chiếu (11,12) (11l,12l ) Trên hình chiếu bằng: 12 xa hơn 12l Þ trên hình chiếu đứng : 11 thấy, 11l khuất Þ 11lK1 khuất.A1B1A2C2B2C112112122φ1 ≡l1K1K2l2g2≡ g1≡ 11l12lVí dụ 2: Cho l(l1,l2), mặt phẳng α(mα,nα). (Hình 3.37)Giải: Dùng phương pháp mặt phẳng phụ: - Lấy (φ) chứa l (φ1 ≡ l1) - (φ) ∩ (α) ≡ g : g1 ≡ φ1 ≡ l1 - Tìm g2 (Bài toán cơ bản 1) - Lấy K2 ≡ l2 ∩ g2 K1Î l1 Þ K(K1,K2) ≡ l ∩(α)xl1N1N2M2M1g2K1K2l2mαnαHình 3.37. Ví dụ tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng Cho l(l1,l2), α(mα,nα).Chú ý: Nếu lấy (φ) là mặt phẳng chiếu bằng (φ2 ≡ l2) thì ta cũng làm tương tự. φ1 ≡≡ g1b) Mặt phẳng cắt mặt phẳngDùng phương pháp mặt phẳng phụ. (Hình 3.29) Giả sử cho hai mặt phẳng (α), (β). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng đó bằng phương pháp mặt phẳng phụ như sau: - Lấy mặt phẳng (φ) cắt cả (α) và (β). - Gọi: k ≡ (φ)∩(α) l ≡ (φ)∩(β) J ≡ k∩l Ta có J là điểm chung thứ nhất của mặt phẳng (α) và (β). - Lấy mặt phẳng (φ) cắt cả (α) và (β). - Gọi: k’ ≡ (φ’)∩(α’) l’ ≡ (φ’)∩(β’) J’ ≡ k’∩l’ Ta có J’ là điểm chung thứ hai của mặt phẳng (α) và (β). Dựng đường thẳng g đi qua J và J’ thì g≡ (α) ∩ (β). Hình 3.29. Phương pháp mặt phẳng phụChú ý: (φ) và (φ’) là các mặt phẳng chiếu. Lấy (φ’) // (φ) thì k’//k, l’//l αglβkJφk’l’φ’J’Giải: Ví dụ 3: Cho α(a,b) , β(c,d), a∩b=I, c//d. Tìm giao của hai mặt phẳng C2D2xC1d1d2c2c1D1A1B1E1F1a1b1a2b2A2B2E2F2J’1(φ1)(φ’1)J1J2J’2Hình 3.30. Vẽ giao tuyến g của mặt phẳng α(a,b) và β(c,d) bằng phương pháp mặt phẳng phụg1g2k1k2k’1k’2l1l2l’1l’2Bái toán: Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước. Ví dụ 4: Cho α(mα,nα) , β(mβ,nβ) . (Hình 3.28) Đây là trường hợp tổng quát, chưa biết hình chiếu nào của giao tuyến. Ta phải tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng đóGiải: - Tìm hai điểm chung M, N của mặt phẳng (α) và mặt phẳng (β): + M1≡ mα∩mβ Þ M2Îx + N2≡ nα∩nβ Þ N1Îx - g1 đi qua các điểm M1 và N1 - g2 đi qua các điểm M2 và N2Ta có g(g1,g2) ≡ α(mα,nα) ∩ β(mβ,nβ) xmαN1N2M1M2g1g2nαmβnβHình 3.28. Vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước. Cho α(mα,nα) , β(mβ,nβ) b) Mặt phẳng cắt đa diên, mặt cong (Xem sách giáo khoa)4.2 Đường thẳng cắt mặt(mặt cong, đa diện)4.2.1 Trường hợp đặt biệtNguyên tắc: Đã biết trước một hình chiếu của giao điểm, tìm hình chiếu còn lại nhờ bài toán điểm thuộc mặt hoặc điểm thuộc đường thẳng.Ví dụ 1: Vẽ giao của đường thẳng chiếu bằng l với mặt nón được cho như trên hình 6.10.Giải: - Vì l là đường thẳng chiếu bằng , do đó biết hình chiếu bằng I2 ≡ K2≡ l2 - Tìm I1, K1: Bài toán điểm thuộc mặt nónl1O1S1S2O2T1T’1H2 ≡ G2l2H1G1I1K1≡I2≡K2A1B1C1B2C2A2K1K2I1I2D2D1Hình 5.7. Ví dụ 1 : Tìm giao điểm của đường thẳng l(l1,l2) với lăng trụ chiếu đứngVí dụ 1: Tìm giao điểm của đường thẳng vẽ. ( Lăng trụ chiếu đứng là lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng chiếu đứng П1)Giải: Giả thiết lăng trụ đã cho là lăng trụ chiếu đứng, do đó ta đã biết trước hình chiếu đứng I1, K1 của giao điểm. Tìm I2 K2: Bài toán điểm thuộc đường thẳng : I2 , K2 thuộc l2.Chú ý: Nhất thiết các đoạn I1K1, I2K2 phải khuất.l1l24.2.2 Trường hợp tổng quáta)Đường thẳng cắt đa diệnVí dụ 1: Tìm giao điểm của đường thẳng l(l1,l2) với hình chóp được cho trên đồ thức.Giải: Giả thiết đường thẳng l(l1,l2) bất kỳ, đa diện là hình chóp, ta chưa biết hình chiếu nào của giao tuyến, do đo phải dùngphương pháp mặt phẳng phụ trợ: (Hình 5.10) - Lấy một mặt phẳng (α) chứa đường thẳng l - Tìm giao tuyến của (α) với chóp : Δ123 - Gọi I, K là giao điểm của l với cạnh của Δ123 thì I, K là giao điểm của đường thẳng l với hình chóp đã cho.B1A1S131J121B2C1A2C21122J21232S2≡ α1l1l2K1K2I1I2Chú ý: Mặt phẳng (α) được chọn là mặt phẳng chiếu.αlBAS32C1KIb)Đường thẳng cắt mặt cong* Tìm giao của đường thẳng với mặt nón trong trường hợp tổng quátLập mặt phẳng phụ trợ α(S, k)Kéo dài đường thẳng k cắt mặt phẳng đáy nón tại 2.Trên k lấy điểm K tùy ý, kéo dài SK cắt mặt phẳng đáy nón tại 1.12 cắt đáy nón tại hai điểm F, J . Nối SF, SJ cắt k tại I và I’. I, I’ là giao điểm cần tìm. * Trường hợp giao điểm của đường thẳng k với mặt phẳng đáy nón quá xa, ta có thể lấy thêm một điểm R trên đường thẳng k1S2KFJII’1S2KFJII’RkkααLập mặt phẳng phụ trợ α đi qua k và song song với trục của trụ.Kéo dài đường thẳng k cắt mặt phẳng đáy trụ tại 2.Trên k lấy điểm K tùy ý, qua K kẻ đường thẳng song song với trục của trụ, cắt mặt phẳng đáy trụ tại 1.12 cắt đáy nón tại hai điểm F,J . Qua điểm F, J kẻ hai đường thẳng song song với trục của trụ cắt k tại I và I’. * Trường hợp giao điểm của đường thẳng k với mặt phẳng đáy trụ quá xa, ta có thể lấy thêm một điểm R trên đường thẳng k1O2KFJII’a)b)kOkR* Tìm giao của đường thẳng với mặt trụ trong trường hợp tổng quát (Hình 6.15)α12KFJII’α*Đường thẳng cắt mặt cầuVí dụ 2: Vẽ giao của đường mặt f với mặt cầu (S) được cho như trên hình 6.11.Giải: - Trong bài toán này, chưa biết hình chiếu nào của giao điểm, do đó ta phải dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ. - Lấy mặt phẳng φ(φ2) chứa đường f(f1, f2), φ(φ2) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến phụ là đường tròn (C): (C2) ≡ (φ2). - Tìm (C1). - Ta có: I1, K1 ≡ (C1)∩ f1 I2, K2 Î f2f1K2I1K1f2O1O2I2≡ φ2(C2)(C1)Hình 6.11. Ví dụ 1: Vẽ giao của đường mặt f với mặt cầu (S)(S1)(S2)12114.3 Giao hai đa diệnVí dụ 1: Tìm giao của hình chóp với lăng trụ chiếu đứng . (Hình 5.11) Giải: - Nhận xét: Lăng trụ xuyên qua hình chóp, do đó giao tuyến có hai đường gấp khúc khép kín. - Hình chiếu đứng của giao tuyến trùng với đáy của hình lăng trụ: 11, 21, 31, 41, 51. - Tìm hình chiếu bằng: Giải bài toán điểm thuộc mặt của hình chóp. - Để nối và xét thấy khất, ta dùng phương pháp khai triển như hình 5.12BASSDEFDCASS1154321’5’3’1’B1A1S14121B2C1A2C211=1’1221232S21’231 ≡3’13’24251 ≡5’1525’2D1E1F1D2F2E2(-)Ví dụ 2: Tìm giao của hai lăng trụ trong đó có một lăng trụ là lăng trụ chiếu bằng (Hình 5.13) Hình 5.14. Bảng nối và xét thấy khuất giao tuyến trên hình chiếu đứngEFCBACDE56424’313’(-)(-)B1A1B2C1A2C2D1E1F1D2E2F24’12142≡4’212311132≡3’2416251523’161H2G2H1G1224.4- Giao của đa diện với mặt cong Mỗi một mặt đa diện cắt mặt cong bậc 2 theo một đường bậc 2.Vì vậy, giao của đa diện với mặt cong là tổ hợp của các đường bậc 2. Ví dụ 1: Tìm giao tuyến của lăng trụ chiếu đứng với hình nón tròn xoay được cho trên hình 6.16. Giải: - Vì lăng trụ đã cho là lăng trụ chiếu đứng, do đó đã biết hình chiếu đứng của giao tuyến là các đoạn 1-2-3-4 - Tìm hình chiếu bằng giao tuyến : bài toán điểm thuộc mặt nón. Bổ xung thêm các điểm 5-6 để vẽ giao tuyến được chính xác. - Nhận xét: + Mặt (AA’B’B) song song với đáy hình nón, do đó mặt phẳng này cắt mặt nón theo cung tròn 1-2 + Mặt (BB’C’C) song song với một đường sinh của hình nón, do đó mặt phẳng này cắt mặt nón theo cung parabol: 2-5-3 + Mặt (AA’C’C) cắt tất cả các đường sinh của hình nón, do đó mặt phẳng này cắt mặt nón theo cung elip 3-6-4. S161A1 ≡A’1B2323’2A2S2C212221121≡312’24142626’2525’251B1 ≡B’1C1 ≡C’1A’2C’2B’24.5- Giao của hai mặt congVí dụ 1: Tìm giao của trụ chiếu đứng với nón tròn xoay (Hình )Giải: - Giao của trụ chiếu đứng và nón tròn xoay là đường cong ghềnh bậc 4. - Vì trụ chiếu đứng nên ta biết trước hình chiếu đứng của giao tuyến. - Tìm hình chiếu bằng giao tuyến, xét các điểm sau: + Điểm 1,4 thuộc đường sinh biên của nón cắt trụ. + Điểm 2 là điểm xét giới hạn thấy khuất. + Điểm 3 là điểm trên đường sinh thấp nhất. - Để vẽ đường cong ghềnh chính xác hơn có thể tìm thêm các điểm X, Y...Hình 6.18Tìm giao của trụ chiếu đứng với nón tròn xoayS1S21141312132222’2423’212X1Y1X2X’2Y2Y’2Ví dụ 2: Tìm giao tuyến của mặt trụ chiếu đứng với mặt cầu (Hình )Giải: - Giao của trụ chiếu đứng và mặt cầu là đường cong ghềnh bậc 4. - Vì trụ chiếu đứng nên ta biết trước hình chiếu đứng của giao tuyến. - Tìm hình chiếu bằng giao tuyến, xét các điểm sau: + Điểm 2,6 là điểm xét giới hạn thấy khuất. + Điểm 3 là điểm trên đường sinh thấp nhất của trụ. + Điểm 5 là điểm thuộc đường sinh cao nhất của trụ + Điểm 7 là điểm tiếp xúc của trụ với cầu. Hình 6.19Tìm giao của mặt trụ chiếu đứng với mặt cầu613121715132226252722’23’25’26’2Chú ý: Hai mặt cong tiếp xúc nhau tại một điểm thì chúng cắt nhau theo đường cong ghềnh bậc 4, tại điểm tiếp xúc của hai mặt cong đường cong ghềnh bậc 4 đó tự cắt nó.Định lý 1: Nếu hai mặt cong bậc hai đã cắt nhau theo một đường bâc hai thì chúng sẽ cắt nhau theo một đường bậc hai thứ hai.S1S211312132222’23’212Định lý 2: Nếu hai mặt cong bậc hai tiếp xúc với nhau tại hai điểm thì chúng sẽ cắt nhau theo hai đường cong bậc hai đi qua hai điểm tiếp xúc đó.S1S2613121715181322262526’2722’23’25’282