Bài giảng Cực trị công suất điện

VẬT LÝ 12 - CỰC TRỊ CÔNG SUẤT ĐIỆN – LÝ THUYẾT CỰC TRỊ CÔNG SUẤT ĐIỆN I. Hai bài toán cực trị công suất. Xét mạch điện có điện trở R >0 nối tiếp cùng các thành phần C, L. Bài toán cực trị số 1. Mạch điện với R , U là hằng số. Công suất tiêu thụ toàn mạch là: PR = RI2 Khi đó PR MAX ⟺ I MAX Bài toán 1.1. L biến thiên để P MAX ⟺ L biến thiên đê I MAX ⟺Cộng hưởng điện. Bài toán 1.2. C biến thiên để P MAX ⟺ C biến thiên đê I MAX ⟺Cộng hưởng điện. Bài toán 1.3. f biến thiên để P MAX ⟺ f biến thiên đê I MAX ⟺Cộng hưởng điện. Kết luận: Cho dù L ↑↓, C ↑↓ hay f ↑↓ để P MAX thì công suất đạt giá trị cực đại 𝑈2 𝑅 đạt được khi hiện tượng cổng hưởng xảy ra, tức ZL = ZC Lưu ý. Nếu trong mạch có r thì công suất toàn mạch cực đại là PTM_MAX = 𝑼𝟐 𝑹+𝒓 Bài toán cực trị số 2. Mạch RLC nối tiếp, đặt vào 2 đầu đoạn mạch điện áp U = const. Khi R↑↓, xác định giá trị R để công suất tiêu thụ trên R đạt giá trị MAX. P = R. 𝑼𝟐 𝒁𝟐 = 𝐑. 𝑼𝟐 𝑹𝟐+ (𝒁𝑳−𝒁𝑪)𝟐 = 𝑼𝟐 𝑹 + (𝒁𝑳−𝒁𝑪) 𝟐 𝑹 Nhận xét. P MAX ⟺ 𝑅 + (𝑍𝐿−𝑍𝐶) 2 𝑅 𝑀𝐼𝑁 ( Do tử số là U = hằng số) Bổ đề: Bất đẳng thức COSI cho 2 số không âm a, b ≥ 0 a + b ≥ 2√𝑎. 𝑏 Dấu bằng xảy ra khi a = b VẬT LÝ 12 - CỰC TRỊ CÔNG SUẤT ĐIỆN – LÝ THUYẾT Do R, (𝑍𝐿−𝑍𝐶) 2 𝑅 > 0 nên áp dụng bất đẳng thức COSI cho 2 số a = R và b= (𝑍𝐿−𝑍𝐶) 2 𝑅 ta được 𝑅 + (𝑍𝐿−𝑍𝐶) 2 𝑅 ≥ 2√𝑅. (𝑍𝐿−𝑍𝐶)2 𝑅 = 2|𝑍𝐿 − 𝑍𝐶| Dấu bằng xảy ra khi R = (𝑍𝐿−𝑍𝐶) 2 𝑅 ⟺ 𝑅 = |𝑍𝐿 − 𝑍𝐶| (1) Khi đó PMAX = 𝑼𝟐 𝟐𝑹 và cos𝝋 = 𝟏 √𝟐 Kết luận. R ↑↓ để PMAX thì PMAX = 𝑼𝟐 𝟐𝑹 = 𝑼𝟐 𝟐|𝒁𝑳−𝒁𝑪| Trong trường hợp cuộn không thuần cảm tức là r ≠ 0. Khi đó kết quả bài toán sẽ có 1 chút khác biệt. Bạn có thể tham khảo tại chuyên đề “Cuộn dây không thuần cảm”. Bài toán cực trị công suất 2. Mạch RrLC nối tiếp, R biến thiên. Khi đó ta có 2 khái niệm công suất: a) Công suất trên điện trở R, PR = R. 𝑈2 𝑍2 = R. 𝑈2 (𝑅+𝑟)2+ (𝑍𝐿−𝑍𝐶)2 = 𝑈2 𝑅 + (𝑍𝐿−𝑍𝐶) 2+𝑟2 𝑅 +2𝑟 Với việc áp dụng bất đẳng thức COSI cho 2 số 𝑅 , (𝑍𝐿−𝑍𝐶) 2+𝑟2 𝑅 ta được kết luận: R + (𝑍𝐿−𝑍𝐶) 2+𝑟2 𝑅 ≥ 2√R. (𝑍𝐿−𝑍𝐶)2+𝑟2 𝑅 =2√(𝑍𝐿 − 𝑍𝐶)2 + 𝑟2 Dấu bằng xảy ra khi R = √(𝑍𝐿 − 𝑍𝐶)2 + 𝑟2 PR_MAX = 𝑈2 2𝑅 +2𝑟 = 𝑈2 2(𝑅+𝑟) b) Công suất toàn mạch Khi đó bạn chỉ việc coi mạch gồm R’ = (R + r) và áp dụng hệ quả của bài toán khi mạch R’LC với R’ biến thiên. II. Một số ví dụ minh họa Câu 1. Cho mạch RLC nối tiếp. Biết L = H, C = F ,uAB = 200cos100t(V). R bằng bao nhiêu để công suất toả nhiệt trên R là lớn nhất? Tính công suất đó.  1  410.2  VẬT LÝ 12 - CỰC TRỊ CÔNG SUẤT ĐIỆN – LÝ THUYẾT Bài giải Mạch RLC nối tiếp, R biến thiên để PR MAX - Bài toán cực trị công suất thứ 2. PMAX = 𝑈2 2|𝑍𝐿−𝑍𝐶| = (100√2)2 2|100−50| = 200 (W). Câu 2. Một mạch điện xoay chiều RLC không phân nhánh có R=100 , L= 2  H, tụ điện có điện dung C thay đổi được. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều uAB = 200√2cos (100𝜋𝑡 + 𝜋 4 ). Giá trị của C và công suất tiêu thụ của mạch khi điện áp giữa hai đầu R cùng pha với điện áp hai đầu đoạn mạch nhận cặp giá trị nào? Bài giải Điện áp hai đầu đoạn mạch cùng pha với điện áp 2 đầu điện trở R tức là xảy ra hiện tượng cộng hưởng điện. Khi đó C = 1 4𝜋2𝑓2𝐿 và P = 𝑈2 𝑅 – đó chính là nội dung của ”Bài toán công suất 1.2” Câu 3. Mạch điện xoay chiều gồm một cuộn dây có điện trở r = 30, độ tự cảm L= 0,4 𝜋 H mắc nối tiếp với tụ điện có điện dung C. Điện áp tức thời giữa hai đầu đoạn mạch là: 120cos100u t (V). Với giá trị nào của C thì công suất tiêu thụ của mạch có giá trị cực đại và giá trị công suất cực đại bằng bao nhiêu? Bài giải Mạch rLC nối tiếp. Vai trò của r ở đây giống với R trong câu 2. Bạn cần phân biệt trong trường hợp mạch có cả R khi đó công thức tính PMAX sẽ có chút khác biệt. Trở lại với câu 3, giá trị C = 1 𝜔2.𝐿 = 1 (100𝜋)2. 0,4 𝜋 = 10−3 4𝜋 (F). Và giá trị P TM_MAX = 𝑈2 𝑟 = (60√2)2 30 = 240(W) Lưu ý: Khi mạch xuất hiện r thì có hai khái niệm cần quan tâm là công suất trên toàn mạch và công suất trên cuộn dây. Trong ví dụ này, do khuyết R nên công suất VẬT LÝ 12 - CỰC TRỊ CÔNG SUẤT ĐIỆN – LÝ THUYẾT trên toàn mạch cũng chính là công suất trên cuộn dây. Đó cũng chính là lý do mà ta có quyền áp dụng công thức cho ở ” Bài toán 1.2”. Câu 4. Cho mạch điện như hình vẽ. Trong đó cuộn dây có điện trở thuần r = 90 , có độ tự cảm L = 1,2 𝜋 H, R là một biến trở. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều ổn định uAB = 200√2 cos100t (V). Xác Định giá trị của biến trở R để công suất toả nhiệt trên biến trở đạt giá trị cực đại. Tính công suất cực đại đó Bài giải Mạch RrL nối tiếp. R biến thiên để PR_MAX = 𝑈2 2(𝑅+𝑟) = 𝑈2 2(√𝑍𝐿 2+ 𝑟2+𝑟) = 2002 2(√1202+ 902+90) = 83.3(W) khi R = √𝑍𝐿 2 + 𝑟2 = 150. Bài có thể mở rộng cho thêm có ZC , khi đó thay về R = √𝑍𝐿 2 + 𝑟2 thì bạn thay bằng R = √(𝑍𝐿 − 𝑍𝐶)2 + 𝑟2 . Câu 5. Cho đoạn mạch không phân nhánh RLC, R = 80Ω cuộn dây có điện trở trong 20Ω có độ tự cảm L = 0,318H, tụ điện có điện dung 15,9μF. Đặt vào hai đầu mạch điện một dòng điện xoay chiều có tần số f thay đổi được có hiệu điện thế hiệu dụng là 200V. Khi công suất trên toàn mạch đạt giá trị cực đại thì giá trị của f và P? Bài giải Mạch RrLC nối tiếp , f biến thiên để P TM_MAX Áp dụng hệ quả bài toán 1.3 thì ta có PTM_MAX khi f = f0 = 1 2𝜋√𝐿𝐶 = 1 2𝜋√0,318 .15,9.10−6 = 70.8(Hz) VẬT LÝ 12 - CỰC TRỊ CÔNG SUẤT ĐIỆN – LÝ THUYẾT Và giá trị PTM_MAX = 𝑈2 𝑅+𝑟 = 2002 80+20 = 400(W) Câu 6. Cho một đoạn mạch điện xoay chiều gồm R, L, C mắc nối tiếp có R = 200. Đặt vào hai đầu đoạn mạch này một hiệu điện thế xoay chiều có giá trị hiệu dụng 220V và tần số thay đổi được. Khi thay đổi tần số, công suất tiêu thụ có thể đạt giá trị cực đại bằng? Bài giải Mạch RLC nối tiếp, f biến thiên để PMAX thì hiện tượng cộng hưởng điện xảy ra và PMAX = 𝑈2 𝑅 = 2202 200 = 242(W). Câu 7. Cho mạch xoay chiều RLC nối tiếp có C thay đổi .Khi C= 4.10−5 𝜋 𝐹hoặc C= 2.10−5 𝜋 𝐹 thì công suất tiêu thụ của mạch có giá trị như nhau.Hỏi với giá trị nào của C thì hệ số công suất đạt cực đại. Bài giải Mạch RLC nối tiếp, C biến thiên. Có 2 giá trị C cho cùng 1 giá trị công suất – Bài toán cùng trị công suất. P = R 𝑈2 𝑅2+(𝑍𝐿−𝑍𝐶)2 C1 = 4.10−5 𝜋 𝐹 ta có ZC1 , C2 = 2.10−5 𝜋 𝐹 ta có ZC2 P(Khi ZC1) = P(Khi ZC2) ⟺ R 𝑈2 𝑅2+(𝑍𝐿−𝑍𝐶1)2 = R 𝑈2 𝑅2+(𝑍𝐿−𝑍𝐶2)2 (1) Triệu tiêu giá trị R, U2 ta được 1 𝑅2+(𝑍𝐿−𝑍𝐶1)2 = 1 𝑅2+(𝑍𝐿−𝑍𝐶2)2 Khi đó chọn ta có 3 ẩn là R, L , 𝜔 và có 1 phương trình(1) nên ta được chọn 2 giá trị. R = 1, 𝜔 = 1 thế vào (1) ta được ZL = 3𝜋 8.10−5 VẬT LÝ 12 - CỰC TRỊ CÔNG SUẤT ĐIỆN – LÝ THUYẾT Áp dụng hệ quả ”bài toán 1.2” – C biến thiên để P MAX khi đó C = 1 𝜔2𝐿 = 1 3𝜋 8.10−5 = 8.10−5 3𝜋 F. Thực ra bài này ta có hệ quả: Khi tồn tại 2 giá trị C để cho cùng giá trị công suất thì 𝑍𝐿 = 1 2 (𝑍𝐶1 + 𝑍𝐶2 ) Tương tự bài toán có thể áp dụng cho trường hợp mà L biến thiên xuất hiện 2 giá trị L cho cùng 1 giá trị công suất P. 𝑍𝐶 = 1 2 (𝑍𝐿1 + 𝑍𝐿2 ) Câu 8. Một đoạn mạch gồm biến trở R mắc nối tiếp với cuộn dây có độ tự cảm L = 0,08H và điện trở thuần r = 32. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một hiệu điện thế dao động điều hoà ổn định có tần số góc 300 rad/s. Để công suất toả nhiệt trên biến trở đạt giá trị lớn nhất thì điện trở của biến trở phải có giá trị bằng? Bài giải Mạch RrL nối tiếp. R biến thiên để PR_MAX – nội dung của ”bài toán 2.2”. PR = R. 𝑈2 (𝑅+𝑟)2+𝑍𝐿 2 = 𝑈2 𝑅+ 𝑍𝐿 2+𝑟2 𝑅 +2𝑟 PR_MAX = 𝑈2 2(𝑅+𝑟) với R = √𝑍𝐿 2 + 𝑟2 = √242 + 322 = 40. Câu 9. Đặt một hiệu điện thế xoay chiều có giá trị hiệu dụng U = 100V vào hai đầu đoạn mạch RLC nối tiếp, cuộn dây thuần cảm kháng, R có giá trị thay đổi được. Điều chỉnh R ở hai giá trị R1 và R2 sao cho R1 + R2 = 100 thì thấy công suất tiêu thụ của đoạn mạch ứng với hai trường hợp này như nhau. Công suất này có giá trị là? Bài giải VẬT LÝ 12 - CỰC TRỊ CÔNG SUẤT ĐIỆN – LÝ THUYẾT Mạch RLC nối tiếp P = R. 𝑈2 𝑅2+ (𝑍𝐿−𝑍𝐶)2 P(R1) = R1. 𝑈2 𝑅12+ (𝑍𝐿−𝑍𝐶)2 = P(R2) = R2. 𝑈2 𝑅22+ (𝑍𝐿−𝑍𝐶)2 Hay 𝑅1 𝑅12+ (𝑍𝐿−𝑍𝐶)2 = 𝑅2 𝑅22+ (𝑍𝐿−𝑍𝐶)2 (1) Và R1 + R2 = 100 (2) Ta có 4 ẩn R1, R2, ZL, ZC và có 2 phương trình nên được chọn 2 ẩn số. R1 = 40, và ZC = 10. Từ (2) tính được R2 = 60, thế vào (1) tính được (ZL - ZC )2= 2400. Thế vào P(R1) = 40. 1002 402+ 2400 = 100(W). Câu 10. Cho mạch điện xoay chiều RLC không phân nhánh uAB = 200cos(100𝜋𝑡), tụ có điện dung C = 10−4 2𝜋 𝐹, cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L = 1 𝜋 𝐻, R biến đổi được từ 0 đến 200 .Tính R để công suất tiêu thụ P của mạch cực đại. Tính công suất cực đại đó. Bài giải Mạch RLC nối tiếp với R ∈ (0, 200)Ω . R? để P MAX P = R. 𝑈2 𝑅2+(𝑍𝐿−𝑍𝐶)2 Theo lý thuyết của ”Bài cực trị số 2” thì R = |𝑍𝐿 − 𝑍𝐶| = | 100 − 200| = 100 ∈ (0, 200)Ω . Thì PMAX = 𝑈2 𝑅 = (100√2)2 100 = 200(𝑊) VẬT LÝ 12 - CỰC TRỊ CÔNG SUẤT ĐIỆN – LÝ THUYẾT Lưu ý: Nếu khoảng giá trị của R không còn chứa giá trị 100 thì bạn phải khảo sát hàm số P. Chẳng hạn đề ra là R ∈ (0, 50)Ω thì khi đó bạn thử tính toán xem P MAX ? Chi tiết bài giảng bạn có thể xem tại: https://www.youtube.com/user/hongminhbka Mình có mở lớp dạy ôn thi đại học nhóm tại Hà Nội. Bạn có nhu cầu có thể liên hệ theo số điện thoại 0974 – 876 - 295