Bài giảng Chương III: phương trình bậc hai với các hàm số lượng giác

LƯỢNG GIÁC CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC asin2 u++= bsinu c 0( a ≠ 0) acos2 u++= bcosu c 0() a ≠ 0 atg2 u+== btgu c 0 ()a ≠ 0 a cot g2 u++= b cot gu c 0() a≠ 0 Cách giải: Đặt : tsinu= hay tcosu= với t1≤ π ttgu= (điều kiện uk≠ +π) 2 tcotgu= (điều kiện uk≠ π ) Các phương trình trên thành: at2 + bt+= c 0 Giải phương trình tìm được t, so với điều kiện để nhận nghiệm t. Từ đó giải phương trình lượng giác cơ bản tìm được u. Bài 56: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2002) Tìm các nghiệm trên (0, 2π) của phương trình ⎛⎞cos 3x+ sin 3x 5sinx⎜⎟+=3+ cos2x*() ⎝⎠12sin2x+ 1 Điều kiện: sin 2x ≠− 2 Ta có: sin 3x+= cos 3x( 3sin x − 4 sin33 x) +( 4 cos x − 3cos x) =−3cosx() − sinx + 4cos()33 x − sin x =−cos x sin x⎡⎤ −+ 3 4 cos22 x + cos x sin x + sin x ()⎣⎦() =−()cos x sin x() 1 + 2sin 2x 2 Lúc đó: (*) ⇔+−=+5⎣⎦⎡⎤ sin x( cos x sin x) 3( 2cos x− 1) ⎛⎞1 ⎜⎟do sin 2x ≠− ⎝⎠2 ⇔−+2cos2 x 5cosx 2= 0 ⎡ 1 cos x = ⇔ ⎢ 2 ⎢ ⎣⎢cos x= 2() loại π 31 ⇔=±+xk2 π (nhận do sin 2x = ±≠−) 3 22 π 5π Do x0,2∈π( ) nên xx=∨= 33 Bài 57: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2005) Giải phương trình: cos22 3x.cos 2x−= cos x 0( *) 1cos6x++ 1cos2x Ta có: (*) ⇔ .cos2x −=0 22 ⇔−cos6x.cos2x 1= 0 (**) Cách 1: (**) ⇔−()4 cos3 2x 3cos2x cos2x − 1= 0 ⇔−−4 cos42 2x 3cos 2x 1= 0 ⎡cos2 2x= 1 ⎢ ⇔ 1 ⎢cos2 2x=− () vô nghiệm ⎣⎢ 4 ⇔=sin 2x 0 kπ ⇔=π⇔=2x k x() k ∈ Z 2 1 Cách 2: (**) ⇔+−()cos8x cos4x 1= 0 2 ⇔+−=cos 8x cos 4x 2 0 ⇔+−2cos2 4x cos4x 3= 0 ⎡cos 4x= 1 ⇔ ⎢ 3 ⎢cos 4x=− () loại ⎣ 2 kπ ⇔=π⇔=4x k2 x() k ∈ Z 2 Cách 3: phương trình lượng giác không mẫu mực: ⎡cos 6x== cos 2x 1 (**) ⇔ ⎢ ⎣cos 6x==− cos 2x 1 Cách 4: cos 8x+−=⇔+ cos 4x 2 0 cos 8x cos 4x= 2 ⇔ cos 8x== cos 4x 1 ⇔ cos 4x= 1 Bài 58: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2005) 44 ⎛⎞⎛ππ ⎞3 Giải phương trình: cos x++− sin x cos⎜⎟⎜ x sin 3x −− ⎟=0 ⎝⎠⎝44 ⎠2 Ta có: (*) 222 2213⎡⎤⎛⎞π ⇔+()sin x cos x − 2sin x cos x +⎢⎥ sin⎜⎟ 4x −+− sin 2x= 0 22⎣⎦⎝⎠ 2 11 3 ⇔−1 sin2 2x +[] − cos 4x + sin 2x − = 0 22 2 11 11 ⇔−sin22 2x − 1 − 2sin 2x + sin 2x − = 0 22() 22 ⇔+−sin2 2x sin 2x 2= 0 ⎡sin 2x= 1 ⇔ ⎢ ⎣sin 2x=− 2() loại π ⇔=+π∈2x k2 , k 2 π ⇔=+π∈xk,k 4 Bài 59: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B, năm 2004) Giải phương trình: 5sinx−= 2 3( 1 − sinx)( tg2 x *) Điều kiện: cos x≠⇔ 0 sin x ≠± 1 sin2 x Khi đó: (*) ⇔−=−5sinx 2 3() 1 sinx cos2 x sin2 x ⇔−=−5sinx 2 3() 1 sinx 1sinx− 2 3sin2 x ⇔−=5sinx 2 1sinx+ ⇔+−2sin2 x 3sinx 2= 0 ⎡ 1 sin x=≠() nhận do sin x± 1 ⇔ ⎢ 2 ⎢ ⎣⎢sin x=− 2() vô nghiệm ππ5 ⇔=+xk2x π∨= + k2k π() ∈Z 66 11 Bài 60: Giải phương trình: 2sin 3x−= 2cos 3x +() * sin x cos x Điều kiện: sin 2x≠ 0 11 Lúc đó: (*) ⇔−=+2sin3x() cos3x sin x cos x 11 ⇔+−+=+2⎡⎤ 3() sin x cos x 4 sin33 x cos x ⎣⎦( ) sin x cos x sin x+ cos x ⇔+2() sin x cos x⎡⎤ 3 − 4 sin22 x − sin x cos x + cos x = ⎣⎦( ) sin x cos x ⎡⎤1 ⇔+()sinx cosx⎢⎥ −+ 2 8sinxcosx − =0 ⎣⎦sin x cos x ⎡⎤2 ⇔+()sin x cos x⎢⎥ 4 sin 2x − − 2= 0 ⎣⎦sin 2x tgx=− 1 ⎡sin x+= cos x 0 ⎡ ⇔⎢ ⇔⎢ −1 ()nhận so với điều kiện 4sin2 2x−−= 2sin2x 2 0 ⎢sin 2x=∨ 1 sin 2x = ⎣ ⎣ 2 ππ π7 π ⇔x =− + k π∨ 2x = + k2 π∨ 2x =− + k2 π∨ 2x = + k2 π ,k ∈ 42 6 6 π ππ7 ⇔xkxkxk,k =± +π∨ =− +π∨ = +π ∈ 41212 cos x( 2 sin x+− 3 2) 2 cos2 x − 1 Bài 61: Giải phương trình: = 1*() 1sin2x+ π Điều kiện: sin 2x≠− 1 ⇔ x ≠− + m π 4 Lúc đó: (*) ⇔2sinxcosx + 3 2cosx − 2cos2 x −=+ 1 1 sin2x ⇔−2cos2 x 3 2cosx + 2= 0 2 ⇔=cos x hay cos x = 2() vô nghiệm 2 ⎡ π xk2=+ π ⎢ 4 ⇔ ⎢ π ⎢xk=− +'2 π()loạidođiềukiện ⎣⎢ 4 π ⇔=+xk2 π 4 Bài 62: Giải phương trình: x3x x3x1 cosx.cos .cos−= sinxsin sin() * 22 222 111 Ta có: (*) ⇔ cos x() cos 2x++ cos x sin x() cos 2x −= cos x 222 ⇔++−=cos x.cos 2x cos2 x sin x cos 2x sin x cos x 1 ⇔+=−+cos 2x() cos x sin x 1 cos2 x sin x cos x ⇔+=+cos 2x() cos x sin x sin x( sin x cos x) ⇔+()cos x sin x( cos 2x −= sin x ) 0( * *) ⇔+()cos x sin x() 1 − 2sin2 x − sin x= 0 ⎡cos x=− sin x ⇔ ⎢ 2 ⎣2sin x+−= sinx 1 0 ⎡ π ⎡ xk=− + π ⎢ 4 ⎢tgx=− 1 ⎢ ⎢ ⎢ π ⇔=⎢sin x− 1 ⇔=−+πxk2() k∈Z ⎢ 2 ⎢ 1 ⎢ ⎢sin x = ππ5 ⎣ 2 ⎢xk2x=+ π∨= + k2 π ⎣⎢ 66 ⎛⎞π Cách khác: (**) ⇔=−∨tgx 1 cos 2x = sin x = cos⎜⎟ − x ⎝⎠2 Bài 63: Giải phương trình: 4 cos3 x+= 3 2 sin 2x 8cos x( *) Ta có: (*) ⇔ 4 cos3 x+− 6 2 sin x cos x 8cos x= 0 ⇔+−cos x() 2cos2 x 3 2 sin x 4= 0 ⇔−+−cos x⎡⎤ 2 1 sin2 x 3 2 sin x 4= 0 ⎣⎦( ) ⇔=∨cos x 0 2sin2 x − 3 2 sin x += 2 0 ⎡cos x= 0 ⎢ 2 ⇔=⎢sin x ⎢ 2 ⎢ ⎣⎢sin x= 2() vô nghiệm ππ2 ⇔=+π∨x k sin x = = sin 224 ππ3 π ⇔=+π∨=+π∨=xkxk2x +π∈ k2k()Z 24 4 Bài 64: Giải phương trình: ⎛⎞⎛⎞ππ cos⎜⎟⎜⎟ 2x++ cos 2x −+ 4 sin x =+ 2 2() 1 − sin x() * ⎝⎠⎝⎠44 π (*) ⇔+=2cos2x.cos 4 sin x 2+− 2() 1 sin x 4 ⇔−21( 2sin2 x) ++( 4 2sinx) −−= 2 2 0 ⇔−++=2 2 sin2 x() 4 2 sin x 2 0 ⎡sin x= 2() loại 2 ⎢ ⇔−++2sin x() 2 2 1 sinx 2= 0 ⇔ 1 ⎢sin x = ⎣⎢ 2 π5π ⇔=+xk2hayx π = + k2,k π∈ 66 Bài 65: Giải phương trình : 3 cotg2 x+ 2 2 sin2 x=+( 2 3 2) cos x() * Điều kiện: sin x≠⇔ 0 cos x ≠± 1 Chia hai vế (*) cho sin2 x ta được: cos2 x cos x (*) ⇔+=+ và ≠ 32223242() sin x 0 sin x sin x cos x Đặt t = ta được phương trình: sin2 x 3t2 −+()2 3 2 t + 2 2= 0 2 ⇔=t2t ∨= 3 2 cos x 2 * Với t = ta có: = 3 sin2 x 3 ⇔=−3cos x 2() 1 cos2 x ⇔+−=2cos2 x 3cosx 2 0 ⎡cos x=− 2() loại ⎢ ⇔ 1 ⎢cos x =≠( nhận do cos x ±1) ⎣⎢ 2 π ⇔=±+xk2k π() ∈Z 3 cos x * Với t2= ta có: = 2 sin2 x ⇔=−cos x 2() 1 cos2 x ⇔+−=2 cos2 x cos x 2 0 ⎡cos x=− 2() loại ⎢ ⇔ ⎢ 2 ⎢cos x= () nhận do cos x≠± 1 ⎣ 2 π ⇔=±+xk2,k π∈ 4 4sin22 2x+−− 6sin x 9 3cos2x Bài 66: Giải phương trình: = 0*() cos x Điều kiện: cos x≠ 0 Lúc đó: (*) ⇔+−−4sin22 2x 6sin x 9 3cos2x= 0 ⇔−4() 1 cos2 2x +− 3() 1 cos 2x −− 9 3cos 2x = 0 ⇔++=4cos2 2x 6cos2x 2 0 1 ⇔=−∨=−cos2x 1 cos2x 2 1 ⇔2cos22 x − 1 =− 1 ∨ 2cos x − 1 =− 2 ⎡cos x= 0() loại dođiều kiện ⎢ ⇔ ⎢ 1 cos x=± () nhận do cos x≠ 0 ⎣⎢ 2 ππ2 ⇔=±+xk2x π∨=± +k2kZ π() ∈ 33 12 Bài 67: Cho fx()=+sinx sin3x + sin5x 35 Giải phương trình: f'() x= 0 Ta có: f'() x= 0 ⇔+cos x cos 3x + 2cos5x = 0 ⇔+++=()cos x cos5x( cos 3x cos5x ) 0 ⇔+=2cos3xcos2x 2cos4xcosx 0 ⇔−()()4 cos32 x 3cos x cos 2x + 2cos 2x − 1 cos x= 0 ⇔−+−⎡⎤4 cos22 x 3 cos 2x 2 cos 2x 1 cos x= 0 ⎣⎦() ⎡⎡⎤2() 1+− cos 2x 3 cos 2x + 2 cos2 2x −= 1 0 ⇔ ⎢⎣⎦ ⎣⎢cos x= 0 ⎡4cos2 2x−−= cos2x 1 0 ⇔ ⎢ ⎣cos x= 0 117± ⇔=cos 2x ∨=cos x 0 8 117+−117 ⇔=cos2x =α∨=cos cos2x =β∨=cos cosx 0 88 αβπ ⇔=±+π∨=±+π∨=+πxkxkxkkZ() ∈ 222 17 Bài 68: Giải phương trình: sin88 x+= cos x cos 2 2x() * 16 Ta có: 2 sin88 x+= cos x() sin 44 x + cos x − 2sin 44 x cos x 2 2 ⎡⎤22 221 4 =+−sin x cos x 2sin x cos x − sin 2x ⎣⎦⎢⎥() 8 2 ⎛⎞1124 =−⎜⎟1sin2x − sin2x ⎝⎠28 1 =−1sin2x24 + sin2x 8 Do đó: ⎛⎞241 2 ()*⇔− 16⎜⎟ 1 sin 2x + sin 2x =− 17() 1 sin 2x ⎝⎠8 ⇔+−=2sin42 2x sin 2x 1 0 2 ⎡sin 2x=− 1() loại ⎢ 11 ⇔⇔1 ()1cos4x−= ⎢sin2 2x = 22 ⎢⎣ 2 π ⇔=⇔=+cos 4x 0 x() 2k 1 ,() k ∈ Z 8 5x x Bài 69: Giải phương trình: sin = 5cos3 x.sin() * 22 x Nhận xét thấy: cos=⇔=π+ 0 x k2 π⇔ cos x =− 1 2 Thay vào (*) ta được: ⎛⎞5π ⎛π⎞ sin⎜⎟+π=− 5k 5.sin ⎜ +π k ⎟, không thỏa ∀k ⎝⎠22 ⎝⎠ x Do cos không là nghiệm của (*) nên: 2 5x x x x x ()*⇔= sin .cos 5 cos2 x.sin cos và cos≠ 0 22 22 2 15 x ⇔+=()sin 3x sin 2x cos3 x.sin x và cos≠ 0 22 2 x ⇔−3sin x 4 sin33 x + 2sin x cos x = 5cos x.sin x và cos≠ 0 2 ⎧ x ⎪cos≠ 0 ⇔ ⎨ 2 ⎪ 23 ⎩34sinx2cosx−+=∨ 5cosxsinx= 0 ⎧ x cos≠ 0 ⎪ 2 ⇔ ⎨ x ⎪5cos32 x−−+=∨ 4cos x 2cosx 1 0 sin= 0 ⎩⎪ 2 ⎧cos x≠− 1 ⎪ ⇔ ⎨ x ()cos x− 1 5cos2 x+−=∨ cos x 1 0 sin = 0 ⎩⎪ ()2 ⎧cos x≠− 1 ⎪ ⎪⎡ ⎪⎢cos x= 1 ⎪⎢ ⇔ ⎨⎢ −+121 cos x = =αcos ⎪⎢ 10 ⎪⎢ ⎪⎢ −−121 ⎪ cos x = =βcos ⎩⎣⎢ 10 ⇔=xk2hayx π =±α+ k2hayx π =±β+ k2,kZ π( ∈) Bài 70: Giải phương trình: sin 2x( cot gx+= tg2x) 4 cos2 x( *) Điều kiện: cos2x≠ 0 và sin x≠ 0⇔≠∧≠ cos 2x 0 cos 2x 1 cos x sin 2x Ta có: cot gx+= tg2x + sin x cos 2x cos2x cos x+ sin 2x sin x = sin x cos 2x cos x = sin x cos 2x ⎛⎞cos x 2 Lúc đó: (*) ⇔=2sinx.cosx⎜⎟4cos x ⎝⎠sin x cos 2x cos2 x ⇔=2cos2 x cos 2x ⇔+=()cos2x 1 2cos2x () cos2x + 1 ⇔+=()cos 2x 1 0 hay 1 = 2 cos 2x 1 ⇔=−∨=cos 2x 1 cos 2x() nhận do cos 2x≠ 0 và cos 2x ≠ 1 2 π ⇔=π+π∨=±+π∈2x k2 2x k2 , k 3 ππ ⇔=+π∨=±+π∈xkx k,k 26 6x 8x Bài 71: Giải phương trình: 2cos2 += 1 3cos() * 55 ⎛⎞⎛12x 2 4x ⎞ Ta có : (*) ⇔ ⎜⎟⎜1++= cos 1 3 2 cos− 1⎟ ⎝⎠⎝55⎠ 324x 4x⎛⎞ 4x ⇔ 2+−= 4cos 3cos 3⎜⎟ 2cos− 1 55⎝⎠ 5 4 Đặt t=≤ cos x() điều kiện t 1 5 Ta có phương trình : 4t32−+= 3t 2 6t − 3 ⇔4t32−−+=6t 3t 5 0 ⇔−()t 1() 4t2 −−= 2t 5 0 121−+ 121 ⇔=∨=t1t ∨= t() lọai 44 Vậy 4x 4x •=⇔=πcos 1 2k 55 5kπ ⇔=xk() ∈Z 2 4x 1− 21 •=cos =α<α<πcos() với 0 2 54 4x ⇔=±α+πl 2 5 55απl ⇔=±x,Z +()l ∈ 42 3 ⎛⎞π Bài 72 : Giải phương trình tg⎜⎟ x−=− tgx 1() * ⎝⎠4 π π Đặt tx=− ⇔= x + t 44 3 ⎛⎞π+1tgt (*) thành : tg t=+−= tg⎜⎟ t 1 − 1 với cost ≠∧ 0 tgt≠ 1 ⎝⎠41tgt− 2tgt ⇔=tg3 t 1tgt− ⇔−=tg34 t tg t 2tgt ⇔−+=tgt() tg32 t tg t 2 0 ⇔tgt( tgt+−+= 1)() tg2 t 2tgt 2 0 ⇔=∨=−tgt 0 tgt 1() nhận so đie àu kiện π ⇔=π∨=−tk t +π∈ k,k¢ 4 Vậy (*) π ⇔=+πxkhayx =k,kπ∈¢ 4 sin44 2x+ cos 2x Bài 73 : Giải phương trình = cos4 4x (*) ⎛⎞⎛⎞ππ tg⎜⎟⎜⎟−+ x tg x ⎝⎠⎝⎠44 Điều kiện ⎧⎧⎛⎞⎛⎞ππ ⎛ π ⎞ ⎪⎪sin⎜⎟⎜⎟−−≠ x cos x 0 sin ⎜ −≠ 2x ⎟ 0 ⎪⎝44 ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎝ 2 ⎠ ⎨⎨⇔ ⎪⎛ππ⎞⎛⎞⎪ ⎛π ⎞ sin⎜++≠x⎟⎜⎟ cos x 0 sin ⎜ +≠ 2x ⎟ 0 ⎩⎩⎪⎪⎝⎠⎝⎠44 ⎝ 2 ⎠ ⇔≠⇔≠cos2x 0 sin 2x± 1 Do : ⎛⎞⎛⎞ππ−+1 tgx 1 tgx tg⎜⎟⎜⎟−+= x tg x .= 1 ⎝⎠⎝⎠4 4 1+− tgx 1 tgx Khi cos2x≠ 0 thì : ()*⇔+ sin44 2x cos 2x = cos 4 4x ⇔−12sin2xcos2x22= cos4x 4 1 ⇔−1sin4xcos4x24 = 2 1 ⇔−11cos4xcos4x() −24 = 2 ⇔−−=2cos42 4x cos 4x 1 0 ⎡cos2 4x= 1 ⎢ 2 ⇔⇔1 1sin4x−= 1 ⎢cos2 4x=− () vô nghiệm ⎣⎢ 2 ⇔=sin 4x 0 ⇔=2sin2xcos2x 0 ⇔=sin 2x 0() do cos2x ≠ 0 π ⇔=π∈⇔=2x k ,k¢ x k ,k∈¢ 2 12 Bài 74 :Giải phương trình: 48 −−()1 + cot g2x cot gx = 0( *) cos42 x sin x Điều kiện : sin 2x≠ 0 Ta có : cos2x cos x 1+= cot g2x cot gx 1+ . sin 2x sin x sin 2xsin x+ cos2x cosx = sin xsin 2x cos x 1 ==()do cosx ≠ 0 2sin22 xcosx 2sin x 11 Lúc đó (*) ⇔ 48 −−=0 cos44 x sin x 11sinxcos4+ 4x ⇔=48 + = cos44 x sin x sin 44 x cos x ⇔48sinxcosx44=+ sinx 4 cosx 4 ⇔=−3sin42 2x 1 2sin xcos2 x 1 ⇔+−=3sin42 2x sin 2x 1 0 2 ⎡ 2 sin2 x=− () lọai ⎢ 3 ⇔ ⎢ 1 ⎢sin2 x=≠() nhận do 0 ⎣⎢ 2 11 ⇔−()1cos4x = 22 ⇔=cos 4x 0 π ⇔=+4x kπ 2 ππk ⇔=+xkZ() ∈ 84 Bài 75 : Giải phương trình 5 sin8 x+= cos8 x 2() sin10 x + cos10 x + cos2x() * 4 Ta có : (*) 5 ⇔−()sin81 x 2sin0 x +−( cos 8 x 2 cos 10 x ) = cos2x 4 5 ⇔−−−+sin828 x()( 1 2sin x cos x 1 2 cos 2 x ) = cos2x 4 5 ⇔−=sin88 x.cos2x cos x cos2x cos2x 4 ⇔−=4 cos2x() sin88 x cos x 5cos2x ⇔cos2x= 0 hay 4() sin88 x−cos x= 5 ⇔=cos2x 0 hay 4() sin4444 x − cos x() sin x + cos x = 5 ⎛⎞1 2 ⇔cos2x= 0 hay 4⎜⎟ 1 − sin 2x = 5 ⎝⎠2 ⇔=−cos2x 0 hay 2sin2 2x = 1(Vô nghiệm ) π ⇔=+π∈2x k ,k ¢ 2 ππk ⇔=+x,k ∈¢ 42 Cách khác: Ta có 4sinx()88− cosx= 5 vô nghiệm Vì ()sin88 x− cos x≤∀ 1, x nên 4sinx( 88− cosx) ≤<∀ 4 5, x Ghi chú : Khi gặp phương trình lượng giác dạng R(tgx, cotgx, sin2x, cos2x, tg2x) với R hàm hữu tỷ thì đặt t = tgx 2t 2t 1− t2 Lúc đó tg2x=== ,sin 2x ,cos2x 1t− 22 1t++ 1t2 Bài 76 : (Để thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2003) Giải phương trình cos 2x 1 cot gx−= 1 +sin2 x − sin 2x() * 1tgx+ 2 Điều kiện : sin 2x≠≠ 0 và tgx− 1 Đặt t = tgx thì (*) thành : 1t− 2 2 11t+ 2 11⎡⎤− t12t −=11. +⎢⎥ −22 − t1t21t21t+++⎣⎦ 1t−− 1t 12t2 t ⇔= +.−()dot ≠−1 t 1++t222 2 1 t 1t+ 2 1t−−+ t2 2t1 (1− t) ⇔=22 = t1t1t++ ⇔−()1t1t() +2 =−() 1tt2 ⎡1t−= 0 ⎡t=≠ 1() nhận do t− 1 ⇔⇔ ⎢ 2 ⎢ 2 ⎣1t+=−() 1tt ⎣⎢2t−+= t 1 0() vô nghiệm π Vậy (*) ⇔ tgx=⇔ 1 x = +π k() nhận do sin 2x=≠ 1 0 4 Bài 77 : Giải phương trình: sin 2x+= 2tgx 3( *) Điều kiện : cos x≠ 0 Đặt t = tgx thì (*) thành : 2t +=2t 3 1t+ 2 ⇔+2t() 2t − 3() 1 + t2 = 0 ⇔−2t32 3t +−=4t 3 0 ⇔(t−12t)()2 −+ t3 = 0 ⎡t1= ⇔ ⎢ 2 ⎣2t−+ t 3 = 0() vô nghiệm π Vậy (*) ⇔=⇔=+π∈ tgx 1 x k() k Z 4 Bài 78 : Giải phương trình 2 cot gx−+ tgx 4 sin 2x = () * sin 2x Điều kiện : sin 2x≠ 0 2t Đặt ttgxthì:sin2x== dosin2x0nênt0 ≠≠ 1t+ 2 18t1t1+ 2 (*) thành : −+tt = = + t1+ t2 tt 8t ⇔=2t 1t+ 2 4 ⇔=1dot() ≠ 0 1t+ 2 ⇔ t2 =⇔=± 3 t 3() nhận do t≠ 0 ⎛⎞π Vậy (*) ⇔=± tgx tg ⎜⎟ ⎝⎠3 π ⇔=±+πxk,k ∈ 3 Bài 79 : Giải phương trình ()1tgx1sin2x−+( ) =+ 1tgx*( ) Điều kiện : cos x≠ 0 Đặt = tgx thì (*) thành : ⎛2t ⎞ ()1t1−+⎜⎟2 =+ 1t ⎝⎠1t+ ()t1+ 2 ⇔()1t− =+ 1t 1t+ 2 ⎡t1=− ⎡t1=− ⇔⇔⎢ ()1t−()1t+ ⎢ 22 ⎢ = 1 ⎣1t− =+ 1t ⎣⎢ 1t+ 2 ⇔=−∨=t1t0 ⎡tgx=− 1 π Do đó (*) ⇔ ⎢ ⇔=x−+π k hay x =π∈ k , k ⎣tgx= 0 4 Bài 80 : Cho phương trình cos 2x−+( 2m 1) cos x + m +=1 0( *) 3 a/ Giải phương trình khi m = 2 ⎛⎞π 3π b/ Tìm m để (*) có nghiệm trên ⎜⎟, ⎝⎠22 Ta có (*) 2cos2 x−+() 2m 1 cosx += m 0 ⎪⎧tcosx=≤()[ t] 1 ⇔ ⎨ 2 ⎩⎪2t−++=() 2m 1 t m 0 ⎧tcosx=≤()[ t] 1 ⎪ ⇔ ⎨ 1 ⎪ttm=∨= ⎩ 2 3 a/ Khi m= , phương trình thành 2 13 cosx=∨ cosx =()loại 22 π ⇔=±+xk2kZ π() ∈ 3 ⎛⎞ππ3 b/ Khi x∈=⎜⎟ , thì cos x t∈ [− 1, 0) ⎝⎠22 1 Do t=∉−[] 1, 0 nên 2 ⎛ππ3 ⎞ ()* có nghiệm trên⎜⎟ , ⇔∈−m⎣⎡ 1, 0) ⎝⎠22 Bài 81 : Cho phương trình ()cos x+−= 1( cos 2x m cos x) m sin2 x( *) a/ Giải (*) khi m= -2 ⎡ 2π⎤ b/ Tìm m sao cho (*) có đúng hai nghiệm trên 0, ⎣⎢ 3 ⎦⎥ Ta có (*)⇔+( cos x 1)( 2cos22 x −− 1 m cos x) =− m( 1 cos x) 2 ⇔ ()cos x+−−−−= 1⎡⎤⎣⎦ 2cos x 1 m cos x m() 1 cos x 0 ⇔(cos x +1)( 2cos2 x − 1 −=m) 0 a/ Khi m = -2 thì (*) thành : ()cos x++= 1( 2 cos2 x 1) 0 ⇔ cosx = -1 ⇔=π+xk2kZ π() ∈ ⎡⎤21π ⎡ ⎤ b/ Khix∈= 0, thìcosx t∈− ,1 ⎣⎦⎢⎥32 ⎣⎢ ⎦⎥ ⎡ 1 ⎤ Nhận xét rằng với mỗi t trên − ,1 ta chỉ tìm được duy nhất một x trên ⎣⎢ 2 ⎦⎥ ⎡⎤2π 0, ⎣⎦⎢⎥3 ⎡⎤1 Yêu cầu bài toán ⇔−−=2t2 1 m 0 có đúng hai nghiệm trên − ,1 ⎣⎦⎢⎥2 Xét y2t=−2 1Pvàymd() =( ) Ta có y’ = 4t ⎡ 2π⎤ Vậy (*) có đúng hai nghiệm trên 0, ⎣⎢ 3 ⎦⎥ ⎡ 1 ⎤ ⇔ (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt trên − ,1 ⎣⎢ 2 ⎦⎥ 1 ⇔ −<1m ≤ 2 2 Bài 82 : Cho phương trình ()1atg−2x−++= 13a 01() cos x 1 a/ Giải (1) khi a = 2 ⎛⎞π b/ Tìm a để (1) có nhiều hơn một nghiệm trên ⎜⎟0, ⎝⎠2 π Điều kiện : cos x ≠0 ⇔≠x +π k 2 ()11asinx2cosx13acosx0⇔− ( ) 22 − ++( ) = ⇔−()1a1cosx() −22 − 2cosx ++() 13acosx = 0 ⇔−+−=4a cos2 x 2cos x 1 a 0 ⇔−−−=a4cosx()2 1() 2cosx 1 0 ⇔−()()2cosx 1⎣⎦⎡⎤ a 2cosx +−= 1 1 0 1 ⎛⎞1 a/ Khi a = thì (1) thành : ()2cosx− 1⎜⎟ cosx−= 0 2 ⎝⎠2 1 π ⇔==cos x cos() nhận do cos x≠ 0 23 π ⇔=±+xk2kZ π() ∈ 3 ⎛⎞π b/ Khi x0,∈ ⎜⎟ thì cos x =∈t( 0,1) ⎝⎠2 ⎡ 1 cos x== t ∈() 0,1 Ta có : (1) ⇔ ⎢ 2 ⎢ ⎣⎢2a cos x=− 1 a() 2 ⎧ ⎪a0≠ ⎪ ⎧⎫11a⎪ − Yêu cầu bài toán ⇔ (2) có nghiệm trên ()0,1 \ ⎨⎬⇔ ⎨0<< 1 ⎩⎭22⎪ a ⎪1a− 1 ≠ ⎩⎪ 2a 2 ⎧a0≠ ⎧ ⎪ 1a− ⎪0<a1< ⎧1 ⎪ > 0 ⎪ < a1< ⎪⎪⎪2a 1 ⎪3 ⇔⇔⎨⎨⎨a0a⇔ 13a− 3 1 ⎪⎪⎪< 0 a ≠ ⎪⎪2a 1 ⎩⎪ 2 ⎪⎪a ≠ ⎩21()−≠ a 2a ⎩ 2 1 Cách khác : dặt u = , điều kiện u ≥1; pt thành cos x ()1a−(u22−−++=⇔−−+= 1)2u13a 0( 1au) 2u4a 0 ⇔−(u 2)[(1 − a)u − 2a] = 0 Bài 83 : Cho phương trình : cos4x+= 6sin x cos x m( 1) a/ Giải (1) khi m = 1 ⎡ π⎤ b/ Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt trên 0, ⎣⎢ 4⎦⎥ Ta có : (1) ⇔ 1−+ 2 sin2 2x 3sin 2x= m ⎪⎧tsin2xt1=≤( ) ⇔ ⎨ 2 ⎩⎪2t−+−= 3t m 1 0() 2 a/ Khi m = 1 thì (1) thành ⎧tsin2xt1=≤( ) ⎪⎪⎧tsin2xt1=≤() ⇔ ⎨⎨2 3 ⎩⎪2t−= 3t 0 ⎪t0t=∨=() loại ⎩ 2 kπ ⇔=⇔=sin 2x 0 x 2 ⎡⎤π b/ Khi x0,∈= thìsin2xt0,1∈[] ⎣⎦⎢⎥4 Nhận thấy rằng mỗi t tìm được trên [0,1] ta chỉ tìm được duy nhất một ⎡⎤π x0,∈ ⎣⎦⎢⎥4 Ta có : (2) ⇔ −++=2t2 3t 1 m Xét y2t3t1trên0,1=−2 + + [ ] Thì y'=− 4t + 3 Yêu cầu bài toán ⇔ (d) y = m cắt tại hai điểm phân biệt trên [0,1] 17 ⇔≤2m < 8 Cách khác :đặt f(x)=−+− 2t2 3t m 1. Vì a = 2 > 0, nên ta có ⎧Δ=17− 8m > 0 ⎪ f()0= m−≥10 ⎪ 17 Yêu cầu bài toán ⇔ ⎨ fm()12= −≥0⇔≤2m < ⎪ 8 S 3 ⎪ 01≤=≤ ⎩⎪ 24 Bài 84 : Cho phương trình 4 cos552 x.sin x−=+ 4 sin x cos x sin 4x m( 1) a/ Biết rằng x =π là nghiệm của (1). Hãy giải (1) trong trường hợp đó. π b/ Cho biết x =− là một nghiệm của (1). Hãy tìm tất cả nghiệm của (1) thỏa 8 x3x242−+<0 (1)⇔− 4 sin x cos x() cos44 x sin x =sin 24x+ m ⇔−+=+2sin 2x cos2222 x sin x cos x sin x sin 2 4x m ()() ⇔=+2sin 2x.cos2x sin2 4x m ⇔−+=sin2 4x sin 4x m 0 ()1 a/ x =π là nghiệm của (1) ⇒π−π+sin2 4 sin 4 m = 0 ⇒=m0 Lúc đó (1) ⇔ sin 4x() 1−= sin 4x 0 ⇔=∨=sin 4x 0 sin 4x 1 π ⇔=π∨=+π4x k 4x k2 2 kkπππ ⇔=xx ∨= + () kZ∈ 482 ⎧⎪tx=≥2 0 ⎧tx= 2 ≥ 0 b/ x3x2042−+<⇔ ⇔ ⎨⎨2 ⎩⎪t3t20−+< ⎩1t2<< ⇔<1x2 < 2 ⇔ 1 < x< 2 ⇔−2x <<−∨<< 11x 2*() ππ⎛⎞ xthìsin4xsin=− =⎜⎟ − =− 1 82⎝⎠ π x=− là nghiệm của() 1⇒ 1 + 1 + m = 0 8 ⇒=−m2 Lúc đó (1) thành : sin2 4x− sin 4x−= 2 0 ⎪⎧tsin4xvớit1=≤( ) ⇔ ⎨ 2 ⎩⎪tt20−− = ⎪⎧tsin4xvớit1=≤() ⇔ ⎨ ⎩⎪t1t2loại=− ∨ = () ⇔=−sin 4x 1 π ⇔=−+π4x k2 2 ππk ⇔=−+x 82 Kết hợp với điều kiện (*) suy ra k = 1 π ππ3 Vậy (1) có nghiệm x =− + = thỏa x3x242− +<0 82 8 Bài 85 : Tìm a để hai phương trình sau tương đương 2cos x.cos2x =1+ cos 2x + cos 3x ()1 4 cos2 x−= cos3x a cos x +−+()( 4 a 1 cos2x )( 2) Ta có : (1) ⇔+=++ cos 3x cos x 1 cos 2x cos 3x ⇔=+cos x 1() 2cos2 x − 1 ⇔−cos x() 1 2cos x = 0 1 ⇔=∨=cos x 0 cos x 2 Ta có : (2) ⇔− 4 cos23 x( 4 cos x −= 3 cos x) a cos x+−() 4 a 2 cos2 x ⇔4 cos3 x +−()4 2a cos2 x () a −= 3 cos x 0 ⎡cos x = 0 ⇔ ⎢ 2 ⎣⎢4cosx22acosxa30+() − +−= ⎛⎞1 ⇔=cosx 0 hay⎜⎟ cosx −[] 2cosx +−= 3 a 0 ⎝⎠2 1a− 3 ⇔=∨=∨=cos x 0 cos x cos x 22 Vậy yêu cầu bài toán ⎡a3− = 0 ⎢ 2 ⎢ ⎡a3= a3− 1 ⇔=⎢ ⇔=⎢a4 ⎢ 22 ⎢ ⎢a1a5 ⎢a3−− a3 ⎣ ⎢ ⎣⎢ 22 Bài 86 : Cho phương trình : cos4x = cos23x + asin2x (*) a/ Giải phương trì nh khi a = 1 ⎛⎞π b/ Tìm a để (*) có nghiệm trên ⎜⎟0, ⎝⎠12 1a Ta có : ()*⇔=+ cos4x() 1 cos6x +−() 1 cos2x 22 ⇔2( 2cos232x−=+−+− 1) 1 4 cos 2x 3cos 2x a() 1 cos 2x ⎧ ⎪tcos2x=≤() t1 ⇔ ⎨ 22t23−=+ 1 14t −+ 3ta1t − ⎩⎪ () () ⎪⎧tcos2x=≤() t1 ⇔ ⎨ 32 ⎩⎪−+4t 4t +−= 3t 3 a() 1 − t ⎧ ⎪1cos2x=≤() t 1 ⇔ ⎨ t1−− 4t2 += 3 a1t − ** ⎩⎪()()()() a/ Khi a = 1 thì (*) thành : ⎧ ⎪⎪tcos2xt1=≤() ⎧tcos2x= () t1≤ ⎨⎨⇔ t1−−+= 4t2 4 0 t1=± ⎩⎪()()⎩⎪ ⇔=±⇔cos 2x 1 cos2 2x = 1 kπ ⇔=⇔=π⇔=sin 2x 0 2x k x ,() k ∈ Z 2 ⎛⎞ππ⎛⎞ ⎛⎞3 b/ Ta có : x0,∈⇔⎜⎟ 2x∈⎜⎟0,.Vậycos2xt=∈⎜⎟ ,1 ⎝⎠12 ⎝⎠6 ⎝⎠2 Vậy (**) ⇔(t-1)()−+=− 4t2 3 a() 1 t ⇔−=4t2 3 a() do t ≠ 1 2 ⎛⎞3 Xét y=−4t 3() P trên⎜⎟ ,1 ⎝⎠2 ⎛⎞3 ⇒=>∀∈y' 8t 0 t⎜⎟ ,1 ⎝⎠2 ⎛⎞π ⎛⎞3 Do đ o ù (*) có nghiệm trên ⎜⎟0,⇔=() d : y a cắt () P trên⎜⎟ ,1 ⎝⎠22⎝⎠ ⎛⎞3 ⇔<yay⎜⎟ <()1 ⎝⎠2 ⇔0a1<< BÀI TẬP 1. Giải ca ùc phương trình sau : a/ sin4x = tgx 44⎛⎞ππ4 ⎛⎞9 b/ sin x+++−= sin x⎜⎟ x sin ⎜⎟ x ⎝⎠448 ⎝⎠ c/ tgx+= cot gx 4 sin x() 3 2−−− 2 cos x 2sin2 x 1 d/ = 1 1sin2x− e/ 4 cos4 x+= 3 2 sin 2x 8cos x 11 2 f/ += cos x sin 2x sin 4x ⎛⎞π g/ sin 2x+− 2 sin⎜⎟ x= 1 ⎝⎠4 ⎛⎞⎛⎞π π h/ 2() 2sinx−= 1 4() sinx −− 1 cos⎜⎟⎜⎟ 2x + − sin 2x + ⎝⎠⎝⎠44 4x k/ cos= cos2 x 3 x l/ tg .cos x+= sin 2x 0 2 m/ 13tgx+= 2sin2x n/ cot gx=+ tgx 2tg2x 3x 4x p/ 2cos2 += 1 3cos 55 q/ 3cos4x− 2cos2 3x= 1 3x r/ 2cos2 += 1 3cos2x 2 x s/ cos x+= tg 1 2 t/ 3tg2x−= 4tg3x tg2 3x.tg2x 3 u/ cos x.cos 4x++ cos2x.cos 3x cos2 4x = 2 3 v/ cos22 x+++= cos 2x cos 2 3x cos 2 4x 2 w/ sin 4x= tgx 13 x/ cos66 x+= sin x cos 2 2x 8 ⎛3ππx1⎞ ⎛ 3x ⎞ y/ sin ⎜⎟−=sin ⎜ + ⎟ ⎝⎠10 2 2 ⎝ 10 2 ⎠ 2. sin66 x+= cos x a sin 2x ( 1 ) a/ Giải phương trình khi a = 1. 1 b/ Tìm a để (1) có nghiệm (ĐS : a ≥ ) 4 3. Cho phương trình cos66 x+ sin x = 2mtg2x() 1 cos22 x− sin x 1 a/ Giải phương trình khi m = 8 1 b/ Tìm m sao cho (1) có nghiệm (ĐS : m ≥ ) 8 4. Tìm m để phương trình sin 4x=≠ mtgx có nghiệm x kπ ⎛⎞1 ⎜⎟ĐS :−< m < 4 ⎝⎠2 5. Tìm m để phương trình : cos3x−+ cos2x m cos x −= 1 0 ⎛⎞π có đúng 7 nghiệm trên ⎜⎟− ,2π (ĐS :1< m< 3) ⎝⎠2 6. Tìm m để phương trình : 4( sin44 x+ cos x)−+ 4( sin66 x cos x) − sin 24x = m có nghiệm ⎛⎞1 ⎜ĐS :− ≤≤ m 1⎟ ⎝8 ⎠ 7. Cho phương trình : 6sin22 x−= sin x m cos 2 2x (1) a/ Giải phương trình khi m = 3 b/ Tìm m để (1) có nghiệm (ĐS :m≥ 0) 8. Tìm m để phương trình : m (2m+ 1) sin42 x++ cos 4x sin 4x − sin x= 0 44 ⎛⎞π π có hai nghiệm phân biệt trên ⎜⎟, ⎝⎠42 ⎛⎞1 ⎜⎟ĐS :2 5−< 4 m < ⎝⎠2 9. Tìm m để phương trình : sin66 x+= cos x m() sin 44 x + cos x có nghiệm ⎛⎞1 ⎜⎟ĐS :≤≤ m 1 ⎝⎠2 10. Cho phương trình : cos 4x=+ cos22 3x a sin x ⎛⎞π Tìm a để phương trình có nghiệm x0,∈ ⎜⎟ ⎝⎠2 (ĐS :0< a< 1) Th.S Phạm Hồng Danh TT luyện thi đại học CLC Vĩnh Viễn