Bài giảng Chương 2: phương trình lượng giác cơ bản

Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN ⎡uvk2=+ π sin u=⇔ sin v ⎢ ⎣uvk=π− +2 π cos u=⇔=±+ cos v u v k2π ⎧ π ⎪uk≠+π tgu=⇔ tgv ⎨ 2 (k,k '∈ Z) ⎩⎪uvk'=+ π ⎧uk≠π cot gu=⇔ cot gv ⎨ ⎩uvk'=+ π π Đặc biệt : sin u=⇔=π 0 u k cos u= 0⇔=+π u k 2 π sin u=⇔= 1 u + k2 π( k ∈ Z) cos u= 1⇔= u k2 π ()kZ∈ 2 π sin u=− 1 ⇔ u =− + k2 π cosu= −⇔ 1 u =π+ k2 π 2 Chú ý : sin u≠⇔ 0 cos u ≠± 1 cosu≠⇔ 0 sin u ≠± 1 Bài 28 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2002) Tìm x0,14∈ [ ] nghiệm đúng phương trình cos 3x−+−= 4 cos 2x 3cos x 4 0( *) Ta có (*) : ⇔ ()4 cos32 x− 3cos x−−+− 4( 2cos x 1) 3cos x 4= 0 ⇔ 4cos32 x− 8cos x= 0 ⇔ 4cos2 x( cosx− 2) = 0 ⇔ cosx== 0hay cosx 2( loại vìcosx≤ 1) π ⇔ xkk=+π∈()Z 2 π Ta có : x0,14∈⇔≤+π≤[] 0 k 14 2 ππ 1141 ⇔ −≤π≤k14 − ⇔ −=−≤≤−≈0, 5 k 3, 9 22 22π ⎧π 357πππ⎫ Mà k∈ Z nên k∈ {0,1,2,3} . Do đó : x∈ ⎨ ,,,⎬ ⎩⎭2222 Bài 29 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2004) Giải phương trình : ()(2cos x−+=− 1 2sin x cos x ) sin 2x sin x( *) Ta có (*) ⇔ ()2cos x−+= 1( 2sin x cos x) sin x( 2cos x− 1) ⇔ ()(2cos x− 1⎣⎦⎡⎤ 2sin x+− cos x ) sin x= 0 ⇔ ()(2cosx− 1 sinx+= cosx) 0 1 ⇔ cos x=∨ sin x =− cos x 2 ππ⎛⎞ ⇔ cos x=∨=−=− cos tgx 1 tg ⎜⎟ 34⎝⎠ ππ ⇔ xk2xk,k=± + π∨ =− + π() ∈Z 34 Bài 30 : Giải phương trình cos x+ cos2x++= cos3x cos4x 0(*) Ta có (*) ⇔ ()cos x+++ cos 4x( cos 2x cos 3x) = 0 5x 3x 5x x ⇔ 2cos .cos+= 2cos .cos 0 22 22 5x⎛⎞ 3x x ⇔ 2cos⎜⎟ cos+= cos 0 22⎝⎠ 2 5x x ⇔ 4 cos cos x cos= 0 22 5x x ⇔ cos= 0∨=∨ cos x 0 cos = 0 22 5x ππx π ⇔ =+π∨=+π∨=+πkx k k 22 2 22 ππ2k π ⇔ xxkx2=+ ∨=+π∨=π+π,()kZ ∈ 55 2 Bài 31: Giải phương trình sin22 x+=+ sin 3x cos 2 2x cos 2 4x( *) 1111 Ta có (*) ⇔ ()1−+−=+++ cos2x() 1 cos6x() 1 cos4x() 1 cos8x 2222 ⇔ −+()cos2x cos6x =+ cos4x cos8x ⇔ −=2cos4x cos2x 2cos6x cos2x ⇔ 2cos2x( cos6x+= cos4x) 0 ⇔ 4 cos2x cos5x cos x= 0 ⇔ cos2x= 0∨=∨ cos5x 0 cos x= 0 ππ π ⇔ 2x=+π∨ k 5x +π∨=+π∈ k x k ,k 22 2 ππkk π π π ⇔ xx=+ ∨= + ∨=+ xkπ ,k∈ 42 105 2 Bài 32 : Cho phương trình 22⎛⎞π x7 sin x.cos 4x−= sin 2x 4 sin ⎜⎟ −−()* ⎝⎠42 2 Tìm các nghiệm của phương trình thỏa: x1− < 3 17⎡π⎤⎛⎞ Ta có : (*)⇔ sin x.cos4x− () 1−=−− cos4x 2⎢⎥ 1 cos⎜⎟ x − 22⎣⎦⎝⎠2 11 3 ⇔ sin x cos 4x−+ cos 4x =−− 2sin x 22 2 1 ⇔ sin x cos 4x+++ cos 4x 1 2sin x= 0 2 ⎛⎞⎛⎞11 ⇔ cos 4x⎜⎟⎜⎟ sin x++ 2 sin x += 0 ⎝⎠⎝⎠22 ⎛⎞1 ⇔ ()cos 4x+ 2⎜⎟ sin x+= 0 ⎝⎠2 ⎡ π ⎡cos4x=− 2() loại xk= −+2 π ⎢ ⎢ 6 ⇔ ⎢ 1 ⎛π ⎞ ⇔ ⎢ sin x=− = sin ⎜⎟ − ⎢ 7π ⎢ 26 x2= +πh ⎣ ⎝⎠ ⎣⎢ 6 Ta có : x1− < 3 ⇔ −<3x13 − < ⇔ −2x4<< π Vậy : −<−2k2 + π<4 6 ππ11 21 ⇔ −<22k π<+ 4 ⇔ −<<+k 6612 ππ12 π Do k∈ Z nên k = 0. Vậy x = − 6 7π −<2h2 + π<4 6 77172π π 7 ⇔ −−2h24 < π< − ⇔− − <h < − 661π 2π 12 7π −ππ7 ⇒ h = 0 ⇒ x = .Tóm lại xhayx== 6 66 1 k −π Cách khác : sin x=− ⇔ x = ( − 1) + k π , k ∈ 26 −π −21 − 4 Vậy : −<−2(1)kk +π< k 4 ⇔ <− (1) + k < 66π π −ππ7 ⇔ k=0 và k = 1. Tương ứng với xhayx== 66 Bài 33 : Giải phương trình sin33 x cos 3x+= cos x sin 3x sin 3 4x( *) Ta có : (*)⇔ sin33 x() 4 cos x−+ 3cos x cos3 x( 3sin x − 4 sin3 x) = sin 3 4x ⇔ 4 sin33 x cos x−+− 3sin 3 x cos x 3sin x cos3 x 4 sin 33 x cos x = sin 3 4x ⇔ 3sin x cos x() cos22 x−= sin x sin 3 4x 3 ⇔ sin 2x cos 2x= sin3 4x 2 3 ⇔ sin 4x= sin3 4x 4 ⇔ 3sin 4x− 4 sin3 4x= 0 ⇔ sin12x = 0 kπ ⇔ 12x=π k ⇔ xk=∈()Z 12 Bài 34 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B, năm 2002) Giải phương trình : sin22 3x−=− cos 4x sin 22 5x cos 6a( *) Ta có : (*)⇔ 11 1 1 ()1−−+=− cos6x() 1 cos8x() 1 cos10x −+() 1 cos12x 22 2 2 ⇔ cos6x+= cos8x cos10x + cos12x ⇔ 2cos7xcosx= 2cos11xcosx ⇔ 2cos x( cos7x−= cos11x) 0 ⇔ cos x=∨ 0 cos7x = cos11x π ⇔ xk7x11xk=+π∨ =± +2 π 2 πππkk ⇔ xkx=+π∨=− ∨= x,k ∈ 229 Bài 35 : Giải phương trình ()()sin x++=++ sin 3x sin 2x cos x cos 3x cos 2x ⇔ 2sin 2x cos x+= sin 2x 2cos2x cos x + cos2x ⇔ sin 2x() 2 cos x+= 1 cos 2x( 2 cos x+ 1) ⇔ ()(2cos x+ 1 sin 2x−= cos 2x ) 0 12π ⇔ cos x=− = cos ∨ sin 2x = cos 2x 23 2π π ⇔ xk2tg2x1=± + π∨ = =tg 34 2π ππ ⇔ xk2xk,k=± + π∨ = +() ∈Z 382 Bài 36: Giải phương trình cos10x++ 2 cos23 4x 6 cos 3x.cos x =+ cos x 8 cos x.cos 3x( *) Ta có : (*)⇔ cos10x++( 1 cos8x) = cos x + 2cos x( 4 cos3 3x− 3cos3x) ⇔ ()cos10x++=+ cos 8x 1 cos x 2 cos x.cos 9x ⇔ 2cos9x cos x+= 1 cos x + 2cos x.cos9x ⇔ cos x= 1 ⇔ xk2kZ=π∈( ) Bài 37 : Giải phương trình 4 sin33 x+−− 3cos x 3sin x sin2 x cos x = 0( *) Ta có : (*) ⇔ sin x() 4 sin22 x− 3−− cos x( sin x 3cos2 x) = 0 22⎡⎤2 ⇔ sin x() 4 sin x−− 3 cos x⎣⎦ sin x − 3( 1 − sin x) = 0 ⇔ ()4sin2 x−− 3() sinx cosx= 0 ⇔ ⎣⎦⎡⎤2()( 1−− cos 2x 3 sin x − cos x )= 0 ⎡ 12π cos 2x=− = cos ⇔ ⎢ 23 ⎢ ⎣sin x= cos x ⎡ π ⎡ 2π xk= ±+π 2x=± + k2 π ⎢ 3 ⇔ ⎢ 3 ⇔ ⎢ (kZ∈ ) ⎢ ⎢ π ⎣tgx= 1 xk= +π ⎣⎢ 4 Bài 38 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2005) Giải phương trình : sin x+++ cos x 1 sin 2x + cos 2x = 0( *) Ta có : (*) ⇔ sin x++ cos x 2sin x cos x + 2cos2 x = 0 ⇔ sin x++ cos x 2cos x( sin x + cos x) = 0 ⇔ ()sin x++ cos x( 1 2cos x)= 0 ⎡sin x=− cos x ⇔ ⎢ 12π ⎢cos 2x=− = cos ⎣ 23 ⎡tgx=− 1 ⇔ ⎢ 2π ⎢xk=± +2 π ⎣ 3 ⎡ π xk=− + π ⎢ 4 ⇔ ⎢ ()kZ∈ 2π ⎢xk=± +2 π ⎣⎢ 3 Bài 39 : Giải phương trình ()(2sinx++−+= 1 3cos4x 2sinx 4 ) 4cos2 x 3( *) Ta có : (*) ⇔ ()2sinx++−+−− 1( 3cos4x 2sinx 4) 4( 1 sin2 x) 3= 0 ⇔ ()(2sinx+ 1 3cos4x+−++ 2sinx 4 )( 1 2sinx)( 1 − 2sinx) = 0 ⇔ ()2sinx+ 1⎣⎦⎡⎤ 3cos4x+−+− 2sinx 4( 1 2sinx) = 0 ⇔ 3cos4x()()−+ 1 2sinx 1= 0 1 ⎛⎞π ⇔ cos 4x=∨ 1 sin x =− = sin ⎜⎟ − 26⎝⎠ ππ7 ⇔ 4x=π∨=−+π∨= k2 x k2 x + k2π 66 k7ππ π ⇔ xxk2xk2,k= ∨=−+π∨= +π() ∈Z 26 6 Bài 40: Giải phương trình sin66 x+= cos x 2() sin 88 x + cos x( *) Ta có : (*) ⇔ sin6868 x−+− 2sin x cos x 2cos x= 0 ⇔ sin6262 x() 1−− 2sin x cos x( 2cos x − 1) = 0 ⇔ sin66 x cos 2x−= cos x.cos 2x 0 ⇔ cos 2x() sin66 x−= cos x 0 ⇔ cos 2x=∨ 0 sin66 x = cos x ⇔ cos2x= 0∨= tg6 x 1 π ⇔ 2x=+∨=±() 2k 1 tgx 1 2 ππ ⇔ x2k1=+∨=±+() x kπ 44 ππk ⇔ x =+ ,k ∈ 42 Bài 41 : Giải phương trình 1 cosx.cos2x.cos4x.cos8x= () * 16 Ta thấy xk= π không là nghiệm của (*) vì lúc đó cos x=± 1,cos2x = cos4x = cos8x = 1 1 (*) thành : ±=1 vô nghiệm 16 Nhân 2 vế của (*) cho 16sin x≠ 0 ta được (*)⇔ ()16sinxcosx cos2x.cos4x.cos8x= sinx và sin x≠ 0 ⇔ ()8sin 2x cos 2x cos 4x.cos 8x= sin x và sin x≠ 0 ⇔ ()4sin4xcos4x cos8x= sinx và sin x≠ 0 ⇔ 2sin8xcos8x= sinx và sin x≠ 0 ⇔ sin16x= sin x và sin x≠ 0 k2πππk ⇔ xx=∨=+ ,k() ∈Z 15 17 17 Do : xh=π không là nghiệm nên k≠ 15m và 2k+≠ 1 17n() n, m ∈ Z 3 ⎛⎞π Bài 42: Giải phương trình 8cos⎜⎟ x+= cos 3x() * ⎝⎠3 ππ Đặt tx=+ ⇔=− xt 33 Thì cos 3x=−π=π−=− cos() 3t cos( 3t) cos 3t Vậy (*) thành 8cos3 t=− cos3t ⇔ 8cos33 t=− 4cos t + 3cost ⇔12 cos3 t− 3 cos t= 0 ⇔ 3cost() 4cos2 t−= 1 0 ⇔ 3 cos t⎣⎦⎡⎤ 2() 1+− cos 2t 1= 0 ⇔ cos t() 2 cos 2t+= 1 0 12π ⇔ cos t=∨ 0 cos 2t =−= cos 23 ππ2 ⇔ t2k1=+∨=±+() 2t k2π 23 ππ ⇔ tkt=+π∨=±+πk 23 π Mà xt=− 3 ππ2 Vậy (*)⇔ xk2xkx=+ π∨=π∨= +π k,vớik() ∈Z 63 Ghi chú : Khi giải các phương trình lượng giác có chứa tgu, cotgu, có ẩn ở mẫu, hay chứa căn bậc chẵn... ta phải đặt điều kiện để phương trình xác định. Ta sẽ dùng các cách sau đây để kiểm tra điều kiện xem có nhận nghiệm hay không. + Thay các giá trị x tìm được vào điều kiện thử lại xem có thỏa Hoặc + Biểu diễn các ngọn cung điều kiện và các ngọn cung tìm được trên cùng một đường tròn lượng giác. Ta sẽ loại bỏ ngọn cung của nghiệm khi có trùng với ngọn cung của điều kiện. Hoặc + So vơi các điều kiện trong quá trình giải phương trình. Bài 43 : Giải phương trình tg2 x−= tgx.tg3x 2( *) ⎧cos x≠ 0 ππh Điều kiện ⇔≠⇔≠+cos3x 0 x ⎨ 3 ⎩cos 3x=− 4 cos x 3 cos x≠ 0 63 Lúc đó ta có (*) ⇔ tgx() tgx− tg3x= 2 sin x⎛⎞ sin x sin 3x ⇔ ⎜⎟−=2 cos x⎝⎠ cos x cos 3x ⇔ sin x() sin x cos 3x−= cos x sin 3x 2 cos2 x cos 3x ⇔ sin x sin(−= 2x) 2 cos2 x.cos 3x ⇔ −=2sin22 xcosx 2cos xcos3x ⇔ −=sin2 x cos x cos 3x (do cos x≠ 0 ) 11 ⇔ −−()1cos2x =() cos4xcos2x + 22 ⇔ cos 4x= −⇔ 1 4x =π+ k2 π ππk ⇔ xk=+() ∈Z 42 so với điều kiện πkπ ⎛⎞33kππ 2 Cách 1 : Khi x =+ thì cos 3x=+=±≠ cos ⎜⎟ 0() nhận 42 ⎝⎠42 2 Cách 2 : Biểu diễn các ngọn cung điều kiện và ngọn cung nghiệm ta thấy không có ngọn cung nào trùng nhau. Do đó : π kπ (*) ⇔ x =+ 42 Lưu ý cách 2 rất mất thời gian Cách 3 : 33kπ ππ Nếu 3x =+ =+hπ 422 Thì 36k+=+ 24h ⇔14=−h6k 1 ⇔ =−2h 3k (vô lý vì k, h∈ Z) 2 Bài 44: Giải phương trình 11 tg222 x++ cot g x cot g 2x =() * 3 ⎧cos x≠ 0 ⎪ Điều kiện ⎨sin x≠⇔ 0 sin 2x ≠ 0 ⎪ ⎩sin 2x≠ 0 Do đó : ⎛⎞⎛⎞⎛11 1 ⎞11 (*)⇔ ⎜⎟⎜⎟⎜222−+11 −+ −= 1 ⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝cos x sin x sin 2x ⎠ 3 11 1 20 ⇔ ++ = cos22 x sin x 4 sin 22 x cos x 3 4sin22 x++ 4cos x 1 20 ⇔ = 4sin22 xcos x 3 520 ⇔ = sin2 2x 3 3 ⇔ sin2 2x = (nhận do sin2x ≠ 0 ) 4 13 ⇔ ()1cos4x−= 24 12π ⇔ cos 4x=− = cos 23 2π ⇔ 4x=± + k2 π 3 ππk ⇔ xk=± +() ∈Z 62 2 Chú ý : Có thể dễ dàng chứng minh : tgx+= cot gx sin 2x 2 ⎛⎞111 Vậy (*)⇔ ()tgx+−+−= cot gx 2 ⎜⎟2 1 ⎝⎠sin x 3 520 ⇔ = sin2 2x 3 Bài 45 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2003) Giải phương trình 222⎛⎞xxπ sin⎜⎟−−= tg x cos 0() * ⎝⎠24 2 Điều kiện : cos x≠⇔ 0 sin x ≠± 1 lúc đó : 1s⎡π⎤⎛⎞in2 x1 (*) ⇔ − −−+= ⎢⎥1cosx⎜⎟2 []1cosx 0 22c⎣⎦⎝⎠osx2 ()1sinx1cosx−−()2 ⇔ − ()1cosx+= 0 1sinx− 2 1cosx− 2 ⇔ −+()1cosx = 0 1sinx+ ⎡⎤1cosx− ⇔ ()1cosx+− 1= 0 ⎣⎦⎢⎥1sinx+ ⇔ ()(1+−− cos x cos x sin x )= 0 ⎡cosx=− 1() nhậndocosx≠ 0 ⇔ ⎢ ⎣tgx=− 1 ⎡xk2=π+ π ⇔ ⎢ π ⎢xk=− + π ⎣ 4 Bài 46 : Giải phương trình sin 2x() cot gx+= tg2x 4 cos2 x( *) ⎧cos x≠± 1 ⎧sin x≠ 0 ⎧sin x≠ 0 ⎪ Điều kiện : ⇔ ⇔ ⎨ ⎨ 2 ⎨ 2 ⎩cos 2x≠ 0 ⎩2cos x− 1≠ 0 ⎪cos x ≠± ⎩ 2 cos x sin 2x Ta có : cot gx+= tg2x + sin x cos 2x cos2x cos x+ sin 2x sin x = sin x cos 2x cos x = sin x cos 2x ⎛⎞cos x 2 Lúc đó : (*) ⇔=2sinxcosx⎜⎟4cos x ⎝⎠sin x cos 2x 2cos2 x ⇔ = 4cos2 x (Do sin x≠ 0) cos 2x ⎡ ⎛⎞2 ⎡cos x= 0 ⎢cosx= 0⎜⎟ Nhậndocosx≠≠± và 1 ⎜⎟2 ⇔ ⎢ 1 ⇔ ⎢ ⎝⎠ ⎢ = 2 ⎢ 1 π ⎣cos2x ⎢cos 2x== cos ,() nhận do sin x≠ 0 ⎣ 23 ⎡ π xk=+π ⎢ 2 ⇔ ⎢ ()kZ∈ π ⎢xk=± + π ⎣⎢ 6 Bài 47 : Giải phương trình: cot g22 x− tg x =+16() 1 cos 4x cos 2x cos22 x sin x Ta có : cot g22 x−= tg x − sin22 x cos x cos44 x− sin x 4 cos2x == sin22 x cos x sin 2 2x ⎧sin 2x≠ 0 Điều kiện : ⎨ ⇔ sin 4x≠ 0 ⎩cos 2x≠ 0 4 Lúc đó (*) ⇔=+16() 1 cos 4x sin2 2x ⇔=141cos4xsin2x() + 2 ⇔=1 2()() 1 + cos 4x 1 − cos 4x ⇔=121cos4x() −22 = 2sin4x 1 ⇔ sin2 4x=≠() nhận do sin 4x 0 2 11 ⇔−()1cos8x = 22 ππk ⇔=⇔=+∈cos 8x 0 x , k 16 8 447 ⎛⎞⎛⎞ππ Bài 48: Giải phương trình: sin x+= cos x cot g⎜⎟⎜⎟ x + cot g − x() * 836⎝⎠⎝⎠ ⎧⎧⎛⎞ππ ⎛⎞ ⎪⎪sin⎜⎟ x+≠ 0 sin ⎜⎟ x +≠ 0 ⎪⎝33 ⎠ ⎪⎝ ⎠ ⎛⎞2π Điều kiện ⎨⎨⇔⇔+sin⎜⎟ 2x≠ 0 ⎪⎪⎛⎞ππ ⎛⎞ ⎝⎠3 sin⎜⎟−≠ x 0 cos ⎜⎟ x + ≠ 0 ⎩⎩⎪⎪⎝⎠63 ⎝⎠ 13 ⇔−sin 2x + cos 2x ≠ 0 22 ⇔≠tg2x 3 2 1 Ta có: sin44 x+= cos x() sin 22 x + cos x − 2sin 22 x.cos x =− 1 sin 2 2x 2 ⎛⎞ππ ⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞ ππ Và: cot g⎜⎟ x+−=++ .cot g ⎜⎟ x cot g ⎜⎟⎜⎟ x .tg x= 1 ⎝⎠36 ⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠ 33 17 Lúc đó: (*) ⇔−1sin2x2 = 28 11 ⇔−()1cos4x − =− 48 1 ⇔=cos 4x 2 ππkπ ⇔=±+π⇔=±+4x k2 x 3122 3 (nhận do tg2x =± ≠ 3 ) 3 1 Bài 49: Giải phương trình 2tgx+=+ cot g2x 2sin 2x() * sin 2x ⎧cos2x≠ 0 Điều kiện: ⎨ ⇔ sin 2x≠⇔ 0 cos 2x ≠± 1 ⎩sin 2x≠ 0 2sinx cos2x 1 Lúc đó: (*) ⇔+=2sin2x + cos x sin 2x sin 2x ⇔+=4 sin22 x cos 2x 2 sin 2x + 1 ⇔+−4sin222 x() 1 2sin x = 8sin xcos2 x + 1 ⇔−=2sin22 x() 1 4cos x 0 2 ⇔−+=2sin x⎣⎦⎡⎤ 1 2() 1 cos2x 0 ⎡sin x=≠ 0() loại do sin 2x 0⇒ sin x≠ 0 ⎢ ⇔ 12π ⎢cos2x= −= cos() nhận docos2x≠± 1 ⎣⎢ 23 2π ⇔=±+π∈2x k2() k Z 3 π ⇔=±+π∈xk,k 3 3sinx()+ tgx Bài 51: Giải phương trình: −+21() cosx = 0*() tgx− sin x sin x Điều kiện : tgx−≠ sin x 0 ⇔ − sin x≠ 0 cos x ⎧sin x≠ 0 sin x() 1− cos x ⎪ ⇔ ≠ 0 ⇔ ⎨cos x≠ 0⇔≠ sin 2x 0 cos x ⎪ ⎩cos x≠ 1 3sinx()+ tgx.cotgx Lúc đó (*)⇔ − 21()+= cosx 0 ()tgx− sin x .cot gx 3cosx()+ 1 ⇔ −+21() cosx = 0 ()1cosx− 3 ⇔ −=2 0() do sin x ≠ 0 nên cos x +≠ 1 0 1cosx− ⇔ 12cosx+= 0 1 ⇔ cos x =− (nhận so với điều kiện) 2 2π ⇔ xk2,k=± + π ∈ 3 Bài 52 : Giải phương trình 22 ()()1cosx−++ 1cosx 1 −=++tg22 x sin x()() 1 sin x tg x * 41()− sinx 2 ⎧cos x≠ 0 Điều kiện : ⎨ ⇔ cos x≠ 0 ⎩sin x≠ 1 2 21()+ cos x sin32 x 1 sin x Lúc đó (*)⇔ −=++()1sinx 41sinx()−− 1sinx22 2 1sinx− ⇔ ()1++−=+−+ cos23 x() 1 sin x 2sin x( 1 sin x)( 1 sin 2 x) 2sin2 x ⇔ ()1sinx1cosx++=+()22( 1sinxcosx2sinx1sinx) +2( +) ⎡1sinx+= 0 ⇔ ⎢ 22 2 ⎣1+=+ cos x cos x 2sin x ⎡sin x=− 1 ( loại do cos x≠ 0 ) ⇔ ⎢ ⇔ cos2x = 0 ⎣11cos2x=− π ⇔ 2x=+π k 2 ππ ⇔ xk=+ (nhận do cosx ≠ 0) 42 Bài 53 : Giải phương trình cos 3x.tg5x= sin 7x( *) Điều kiện cos5x≠ 0 sin 5x Lúc đó : (*) ⇔ cos3x.= sin7x cos5x ⇔ sin 5x.cos 3x= sin7x.cos5x 11 ⇔ []sin 8x+= sin 2x[] sin12x + sin 2x 22 ⇔ sin 8x= sin12x ⇔ 12x=+π∨ 8x k2 12x =π−+ 8x k2π kkπππ ⇔ xx=∨=+ 22010 So lại với điều kiện k5ππkkπ x=== thì cos5x cos cos (loại nếu k lẻ) 222 ππkk⎛⎞ππ xt=+ hìcos5xc=os⎜⎟ + ≠ 0nhận 20 10 ⎝4 2 ⎠ π kπ Do đó : (*)⇔ xh=π∨ x = + , với k, h ∈ 20 10 Bài 54 : Giải phương trình sin44 x+ cos x 1 =+()tgx cot g2x( *) sin 2x 2 Điều kiện : sin 2x≠ 0 2 Ta có : sin44 x+= cos x( sin 22 x + cos x) − 2sin 2 x cos2 x 1 =−1sin22 x 2 sin x cos 2x tgx+=+ cot g2x cos x sin 2x sin 2x sin x+ cos x cos2x = cos x sin 2x cos() 2x− x 1 == cos x sin 2x sin 2x 1 1sin2x− 2 1 Do đó : (*) ⇔=2 sin 2x 2 sin 2x 11 ⇔−1sin2x2 = 22 2 ⇔=sin 2x 1() nhận do sin 2x≠ 0 ⇔=cos2 2x 0 π ⇔=+π2x k , k ∈ 2 ππk ⇔=x,k + ∈ 42 Bài 55 : Giải phương trình tg2 x.cot g2 2x.cot g3x=− tg2 x cot g 2 2x + cot g3x() * Điều kiện : cosx≠∧ 0sin2x ≠∧ 0sin3x ≠ 0 ⇔≠∧sin2x 0 sin3x≠ 0 Lúc đó (*)⇔− cotg3x() tg22 x cot g 2x 1= tg 2 x− cot g 2 2x ⎡−⎛⎞⎛⎞1 cos 2x 1 + cos 4x ⎤ 1 − cos 2x 1 + cos 4x ⇔−cot g3x ⎢⎥⎜⎟⎜⎟1 =− ⎣⎦⎝⎠⎝⎠1+− cos 2x 1 cos 4x 1 +− cos 2x 1 cos 4x ⇔−+−+−cot g3x⎣⎡() 1 cos2x( 1 cos4x) ( 1 cos2x)( 1 cos4x)⎦⎤ =−()()()()1 cos2x 1 − cos4x −+ 1 cos4x 1 + cos2x ⇔−=cot g3x[] 2cos4x 2cos2x−+ 2() cos4x cos2x cos 3x ⇔−[]4 sin 3x sin x =− 4 cos 3x cos x sin 3x ⇔=cos3x sin x cos3x cos x() do sin 3x≠ 0 ⇔=∨=cos3x 0 sin x cos x π ⇔=+π∨3x k tgx = 1 2 ππk π ⇔=+xx ∨=+πlk(),lZ ∈ 63 4 So với điều kiện: sin 2x.sin 3x≠ 0 π kπ ⎛⎞⎛⎞ππ2k π * Khi x =+ thì sin⎜⎟⎜⎟+ .sin+π≠ k 0 63 ⎝⎠⎝⎠33 2 ⎛⎞12k+ ⇔πsin ⎜⎟≠0 ⎝3 ⎠ Luôn đúng ∀+≠kthỏa2k 1 3mm( ∈ Z) π ⎛⎞⎛ππ32 ⎞ * Khi xl=+π thì sin⎜⎟⎜+ 2lπ+π=± sin 3l ⎟ ≠0 4 ⎝⎠⎝242 ⎠ luôn đúng ⎡ ππk x,kZ2k3m1(m=+ ∈∧ ≠ − ∈ ) ⎢ 63 Do đó: (*) ⇔ ⎢ ⎢ π xl,l=+π∈ ⎣⎢ 4 Cách khác: (*)⇔− cotg3xtgxcotg2x()22 1= tgx 2− cotg2x 2 tg22 x− cot g 2x tg22 2x.tg x− 1 ⇔=cot g3x 22 = 22 tg x cot g 2x−− 1 tg x tg 2x (1+− tg2x.tgx ) (1 tg2x.tgx ) ⇔=cot g3x (tg2x−+ tgx) ( tg2x tgx) ⇔cot g3x= cot gx.cotg3x ⇔=∨= cos 3x 0 sin x cos x BÀI TẬP ⎛⎞π 1. Tìm các nghiệm trên ⎜⎟,3π của phương trình: ⎝⎠3 ⎛⎞⎛57ππ⎞ sin⎜⎟⎜ 2x+− 3cos x−⎟ =+ 1 2sin x ⎝⎠⎝⎠22 ⎛⎞π 2. Tìm các nghiệm x trên ⎜⎟0, của phương trình ⎝2 ⎠ sin224x−= cos 6x sin() 10,5 π+ 10x 3. Giải các phương trình sau: a/ sin33x+= cos x 2() sin 55 x +co s x sin x++ sin 2x sin 3x b/ = 3 cos x++ cos 2x cos 3x 1cosx+ c/ tg2 x = 1sinx− d/ tg2x−−= tg3x tg5x tg2x.tg3x.tg5x 4 e/ cos x= cos2 x 3 ⎛⎞π 11 f/ 22sinx⎜⎟+= + ⎝⎠4sinxcosx 2 i/ 2tgx+=+ cot g2x 3 sin 2x 2 h/ 3tg3x+=+ cot g2x 2tgx sin 4x k/ sin22 x++ sin 2x sin 2 3x= 2 sin 2 x l/ + 2cosx= 0 1s+ inx m/ 25−π+π 4x2 () 3sin 2 x 8sin x= 0 sin x.cot g5x n/ = 1 cos 9x 2 o/ 3tg6x −=−2tg2x cot g4x sin 8x p/ 2sin3x() 1−= 4sin2 x 1 1cosx+ q/ tg2x = 1sinx− 2 r/ cos3 x cos 3x+= sin3 x sin3 x 4 4⎛⎞xx54 ⎛⎞ s/ sin⎜⎟+ cos ⎜⎟= ⎝⎠338 ⎝⎠ t/ cos33 x−− 4 sin x 3cos x sin 2 x + sin x= 0 xx u/ sin44+=− cos 1 2sin x 22 ⎛⎞π ⎛⎞π v/ sin⎜⎟ 3 x−= sin 2x.sin ⎜⎟ x + ⎝⎠44⎝⎠ ()2− sin2 x sin 3x w/ tg4 x+= 1 cos4 x 2 ⎛⎞x y/ tgx+− cos x cos x= sin x⎜⎟ 1 + tg tgx ⎝2 ⎠ 4. Cho phương trình: ()2sinx− 1( 2cos2x++=−2s in x m)( 3 4cos2 x 1) a/ Giải phương trình khi m = 1 b/ Tìm m để (1) có đúng 2 nghiệm trên [0, π] ( ĐS: m0m= ∨ ) 5. Cho phương trình: 4cos5 xsinx−=+ 4sin52 x.cosx sin 4x m( 1) Biết rằng x = π là một nghiệm của (1). Hãy giải phương trình trong trường hợp đó. Th.S Phạm Hồng Danh TT luyện thi Đại học CLC Vĩnh Viễn