Bài giảng Chương 1: công thức lượng giác

CHƯƠNG 1: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC I. Định nghĩa Trên mặt phẳng Oxy cho đường tròn lượng giác tâm O bán kính R=1 và điểm M trên đường tròn lượng giác mà sđ AM = β với 02≤ β≤ π Đặt α=β+k2 π ,k ∈ Z Ta định nghĩa: sinα= OK cosα= OH sinα tgα= với cosα≠ 0 cosα cosα cot gα= với sinα≠ 0 sinα II. Bảng giá trị lượng giác của một số cung (hay góc) đặc biệt o Góc α 00 π o π o π o π o () ()30 ()45 ()60 ()90 Giá trị 6 4 3 2 sinα 0 1 2 3 1 2 2 2 cosα 1 3 2 1 0 2 2 2 tgα 0 3 1 3 || 3 cot gα || 3 1 3 0 3 III. Hệ thức cơ bản sin22α+ cos α= 1 1 π 1tg+α=2 với α≠ +kkZ π() ∈ cos2 α 2 1 tcotg+=2 với α≠kkZ π( ∈ ) sin2 α IV. Cung liên kết (Cách nhớ: cos đối, sin bù, tang sai π ; phụ chéo) a. Đối nhau: α và −α sin(−α) = − sin α cos(−α) = cos α tg(−α) = − tg( α) cot g(−α) = − cot g( α) b. Bù nhau: α và π−α sin(π−α) = sin α cos()π−α =− cos α tg()π−α =− tg α cot g()π−α =−cot g α c. Sai nhau π : α và π+α sin(π+α) =− sin α cos()π+α =− cos α tg()π+α = t g α cot g()π+α =cot g α π d. Phụ nhau: α và −α 2 ⎛⎞π sin⎜⎟−α = cos α ⎝⎠2 ⎛⎞π cos⎜⎟−α = sin α ⎝⎠2 ⎛⎞π tg⎜⎟−α =cot g α ⎝⎠2 ⎛⎞π cot g⎜⎟−α =tg α ⎝⎠2 π π e.Sai nhau : α và +α 2 2 ⎛⎞π sin⎜⎟+α = cos α ⎝⎠2 ⎛⎞π cos⎜⎟+α =−sin α ⎝⎠2 ⎛⎞π tg⎜⎟+α =−cot g α ⎝⎠2 ⎛⎞π cot g⎜⎟+α =−tg α ⎝⎠2 f. sin()() x+π=− k 1k sin x,k ∈ Z cos()() x+π=− k 1k cosx,k ∈ Z tg() x+π= k tgx,k ∈ Z cot g() x+π= k cot gx V. Công thức cộng sin( a±= b) sinacosb ± sin bcosa cos() a±= b cosacos bm sin asin b tga± tgb tg() a±= b 1tgatgbm VI. Công thức nhân đôi sin2a= 2sinacosa cos2a=−=− cos22 a sin a 1 2sin 2 a = 2cos 2 a− 1 2tga tg2a = 1tga− 2 cot g2 a− 1 cotg2a = 2cotga VII. Công thức nhân ba: sin3a=− 3sina 4sin3 a cos3a=− 4 cos3 a 3cosa VIII. Công thức hạ bậc: 1 sin2 a=−() 1 cos2a 2 1 cos2 a=+() 1 cos2a 2 1cos2a− tg2 a = 1cos2a+ IX. Công thức chia đôi a Đặt tt= g (với ak≠π+2 π) 2 2t sina = 1t+ 2 1t− 2 cosa = 1t+ 2 2t tga = 1t− 2 X. Công thức biến đổi tổng thành tích ab+− ab cosa+= cosb 2cos cos 22 ab+− ab cosa−=− cosb 2sin sin 22 ab+− ab sina+= sinb 2cos sin 22 ab+− ab sina−= sin b 2cos sin 22 sin() a± b tga±= tgb cosacosb sin() b± a cot ga±= cot gb sina.sin b XI. Công thức biển đổi tích thành tổng 1 cosa.cosb=⎡ cos() a + b + cos () a −⎤ b 2 ⎣⎦ −1 sina.sin b=⎡ cos() a +− b cos ( a − b)⎤ 2 ⎣⎦ 1 sina.cosb=⎡ sin()() a + b + sin a −⎤ b 2 ⎣⎦ sin44 a+− cos a 1 2 Bài 1: Chứng minh = sin66 a+− cos a 1 3 Ta có: 2 sin44 a+−= cos a 1( sin 22 a + cos a) − 2sin 22 acos a −=− 1 2sin 2 acos2 a Và: sin66 a+−= cos a 1( sin 224224 a + cos a)( sin a − sin acos a + cos a) − 1 =+sin4422 a cos a − sin acos a − 1 =−()1 2sinacosa22 − sinacosa 22 − 1 =−3sin22 acos a sin44 a+−− cos a 1 2sin 22 acos a 2 Do đó: == sin66 a+−− cos a 1 3sin 22 acos a 3 2 1cosx+ ⎡ ()1cosx− ⎤ Bài 2: Rút gọn biểu thức A1==+⎢ 2 ⎥ sin x⎣⎢ sin x ⎦⎥ 1 π Tính giá trị A nếu cosx =− và < x <π 2 2 1cosxsinx12cosxcosx++−+⎛⎞22 Ta có: A = ⎜⎟2 sin x ⎝⎠sin x 1cosx+ 21( − cosx) ⇔=A. sin x sin2 x 2 21( − cosx) 2sin2 x 2 ⇔=A = = (với sin x≠ 0 ) sin33 x sin x sin x 13 Ta có: sin22 x= 1−=−= cos x 1 44 π Do: 0 2 3 Vậy sin x = 2 2443 Do đó A === sin x3 3 Bài 3: Chứng minh các biểu thức sau đây không phụ thuộc x: a. A=−+ 2cos4422 x sin x sin x cos x + 3sin2 x 2cotgx+1 b. B =+ tgx1−− cotgx1 a. Ta có: A=−+ 2cos4422 x sin x sin x cos x + 3sin2 x 2 ⇔=A 2cos42 x −−( 1 cos x) +−( 1 cos 22 x) cos x + 3( 1 − cos 2 x) ⇔=A 2cos42424 x −−() 1 2cos x + cos x + cos x − cos x +− 3 3cos2 x ⇔=A2 (không phụ thuộc x) b. Với điều kiện sin x.cosx≠ 0,tgx1≠ 2cotgx+1 Ta có: B =+ tgx1−− cotgx1 1 +1 22tgx 1+ tgx ⇔=B + = + 1 tgx1−−−1 tgx11t−gx tgx 21tgx−−( ) 1tgx− ⇔=B1 = =− (không phụ thuộc vào x) tgx−− 1 tgx 1 Bài 4: Chứng minh 2 1cosa+−⎡⎤()1cosa− cosbsinc22 ⎢⎥1c− +−=otg22bcotg ccotga1− 2sina sin22 a sin bsin2 c ⎣⎦⎢⎥ Ta có: cos22 b− sin c * − cot g22b.cot g c sin22 b.sin c cotg2 b1 =−−cot g22bcotg c sin22 c sin b =+−+−cot g22b1( cotg c1cot) ( g 222bcot) g bcotg c=−1 (1) 2 1cosa+ ⎡⎤()1cosa− * ⎢⎥1− 2sina sin2 a ⎣⎦⎢⎥ 2 1cosa+ ⎡⎤()1cosa− =−⎢⎥1 2sina 1− cos2 a ⎣⎦⎢⎥ 1cosa+−⎡⎤ 1cosa =−⎢⎥1 2sina⎣⎦ 1+ cosa 1cosa2cosa+ ==.cotga (2) 2sina 1+ cosa Lấy (1) + (2) ta được điều phải chứng minh xong. Bài 5: Cho ΔABC tùy ý với ba góc đều là nhọn. Tìm giá trị nhỏ nhất của Pt= gA.tgB.tgC Ta có: AB+=π− C Nên: tg( A+=− B) tgC tgA+ tgB ⇔=−tgC 1− tgA.tgB ⇔+=−+tgAtgBtgCtgA.tgB.tgC Vậy: Pt==+gA.tgB.tgCtgAtgBt+gC Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương tgA,tgB, tgC ta được tgA++≥ tgB tgC 33 tgA.tgB.tgC ⇔≥P3P3 ⇔≥32P3 ⇔≥P33 ⎧tgA== tgB tgC ⎪ π Dấu “=” xảy ra ⇔⇔⎨ π ABC=== 0A,B,C<< 3 ⎩⎪ 2 π Do đó: MinP= 3 3⇔=== A B C 3 Bài 6 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của a/ y2sinxcos2x=+84 b/ ysinxcos=−4 x 4 ⎛⎞1cos2x− 4 a/ Ta có : y2=+⎜⎟cos2x ⎝⎠2 Đặt tcos2x= với −≤1t1 ≤ thì 1 4 y1t=−+()t4 8 1 3 => y'=−() 1 − t + 4t3 2 Ta có : y'= 0 Ù ()1t−=3 8t3 ⇔ 1t−=2t 1 ⇔ t = 3 ⎛⎞11 Ta có y(1) = 1; y(-1) = 3; y ⎜⎟= ⎝⎠327 1 Do đó : Max y3= và Miny = x∈ x ∈ 27 b/ Do điều kiện : sin x≥ 0 và cos x≥ 0 nên miền xác định ⎡⎤π Dk2,=π+π k2 với k ∈ ⎣⎦⎢⎥2 Đặt tcos= x với 0t1≤≤ thì tcosx1sin42==− 2x Nên sin x=− 1 t4 Vậy y1t=−−8 4 t trên D'= [ 0,1] −t3 Thì y'=−1< 0 ∀∈t0;1) 7 [ 2.8 () 1− t4 Nên y giảm trên [ 0, 1 ]. Vậy : max y= y( 0) = 1, min y= y( 1) =− 1 xD∈ xD∈ Bài 7: Cho hàm số ysinxcosx2msinxcos=+−44 x Tìm giá trị m để y xác định với mọi x Xét f (x)=+− sin44 x cos x 2m sin x cos x 2 fx()=+() sinx22 cosx − msin2x − 2sinxcosx22 1 f() x=− 1 sin2 2x − msin 2x 2 Đặt : tsin2x= với t1,∈−[ 1] y xác định ∀x ⇔ fx()≥∀∈ 0x R 1 ⇔ 1tmt−−≥2 0 ∀∈t1,1[− ] 2 ⇔ gt()=+ t2 2mt −≤ 2 0 ∀∈−t1,[ 1] 2 Do Δ='m + 20 > ∀m nên g(t) có 2 nghiệm phân biệt t1, t2 Lúc đó t t1 t2 g(t) + 0 - 0 Do đó : yêu cầu bài toán ⇔ t1112≤ −< ≤t ⎪⎧1g()−≤ 1 0 ⎧−−≤2m 1 0 ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⎩⎪1g() 1≤ 0 ⎩2m−≤ 1 0 ⎧ −1 m ≥ ⎪ 2 11 ⇔ ⎨ ⇔ −≤m ≤ 1 22 ⎪m ≤ ⎩⎪ 2 Cách khác : gt()=+t2 2mt −≤ 2 0 ∀∈t1,[− 1] ⇔≤maxgt ( )0110⇔−≤ max{ g ( ), g ( )} t∈−[,]11 ⎧ −1 m ≥ ⎪ 2 ⇔−−−+≤max{ 21210mm ), )} ⇔ ⎨ 1 ⎪m ≤ ⎩⎪ 2 11 ⇔− ≤m ≤ 22 π357 πππ3 Bài 8 : Chứng minh A=+++ sin4444 sin sin sin = 16 16 16 16 2 7πππ⎛⎞ π Ta có : sin =−=sin ⎜⎟cos 16⎝⎠ 2 16 16 55πππ⎛⎞3π sin=−= cos⎜⎟cos 16⎝⎠ 2 16 16 2 Mặt khác : sin44α+cos α=( sin 22 α+ cos α) − 2sin 2 α cos2 α = 12sin−α22 cosα 1 = 1sin2−α2 2 π73 πππ5 Do đó : A=+++ sin4444 sin sin sin 16 16 16 16 ⎛⎞44ππ⎛ 4433 ππ⎞ =+++⎜⎟sin cos⎜ sin cos ⎟ ⎝⎠16 16⎝ 16 16 ⎠ ⎛⎞⎛1122ππ3⎞ =−⎜⎟⎜1sin +− 1sin ⎟ ⎝⎠⎝28 2 8⎠ 13⎛⎞22ππ =−2⎜⎟ sin + sin 28⎝⎠ 8 1 ⎛⎞22ππ⎛⎞3π π =−2sincos⎜⎟ + ⎜⎟do sin= cos 28⎝⎠8⎝⎠88 13 =−2 = 22 Bài 9 : Chứng minh :16 sin10oooo .sin 30 .sin 50 .sin 70= 1 Acos10o 1 Ta có : A ==(16sin10ocos10o)sin30o.sin50o.sin70o cos10o cos10o 11oo⎛⎞ o ⇔ A = o ()8sin20⎜⎟ cos40 .cos20 cos10 ⎝⎠2 1 ⇔ A = ()4sin200o cos20 .cos40o cos10o 1 ⇔ A = ()2sin40oo cos40 cos10o 1cos10o ⇔ A ==sin 80o =1 cos10oocos10 A BBCCA Bài 10 : Cho ΔABC . Chứng minh : tg tg+ tg tg+= tg tg 1 22 22 22 A +πBC Ta có : = − 222 A + BC Vậy : tg= cot g 22 A B tg+ tg 1 ⇔ 22= A BC 1tg− .tg tg 22 2 ⎡⎤A BC AB ⇔ tg+=− tg tg 1 tg tg ⎣⎦⎢⎥222 22 A CBCAB ⇔ tg tg++ tg tg tg tg= 1 22 22 22 πππ π Bài 11 : Chứng minh : 84tg++ 2tg += tg cotg() * 81632 32 ππ π π Ta có : (*) ⇔ 8cotg=−−− tg 2tg 4tg 32 32 16 8 cos a sin a cos22 a− sin a Mà : cot ga−=−= tga sin a cos a sin a cos a cos 2a ==2cotg2a 1 sin 2a 2 Do đó : ⎡ππ⎤ π π (*) ⇔ cot g−−−= tg 2tg 4tg 8 ⎣⎦⎢32 32⎥ 16 8 ⎡⎤ππ π ⇔ 2cotg−− 2tg 4tg= 8 ⎣⎦⎢⎥16 16 8 π π ⇔ 4cotg− 4tg= 8 88 π ⇔ 8cotg= 8 (hiển nhiên đúng) 4 Bài :12 : Chứng minh : 22⎛⎞⎛⎞22ππ2 3 a/ cos x+++− cos⎜⎟⎜⎟ x cos x = ⎝⎠⎝⎠332 111 1 b/ +++ =−cot gx cot g16x sin 2x sin 4x sin 8x sin16x 22⎛⎞⎛22ππ2 ⎞ a/ Ta có : cos x+++− cos⎜⎟⎜ x cos x⎟ ⎝⎠⎝33⎠ 11⎡π⎛⎞ 414⎤⎡π⎤ ⎛⎞ =+()1cos2x ++⎢⎥ 1cos2x⎜⎟ + ++⎢⎥ 1cos ⎜⎟ − 2x 22⎣⎦⎝⎠ 323⎣⎦ ⎝⎠ 31⎡ ⎛⎞⎛⎞4ππ⎤ 4 =+⎢cos 2x + cos⎜⎟⎜⎟ 2x + +cos − 2x ⎥ 22⎣ ⎝⎠⎝⎠3 3 ⎦ 31⎡ 4π⎤ =+cos2x + 2cos2xcos 22⎣⎢ 3⎦⎥ 31⎡ ⎛⎞1⎤ =+⎢cos2x + 2cos2x⎜⎟ −⎥ 22⎣ ⎝⎠2⎦ 3 = 2 cos a cos b sin b cos a− sin a cos b b/ Ta có : cot ga −=−=cot gb sin a sin b sin a sin b sin() b− a = sin a sin b sin( 2x− x) 1 Do đó : cot gx−= cot g2x =()1 sin x sin 2x sin 2x sin( 4x− 2x) 1 cot g2x−= cot g4x =()2 sin2xsin4x sin4x sin( 8x− 4x) 1 cot g4x−= cot g8x =()3 sin4xsin8x sin8x sin(16x− 8x) 1 cot g8x−= cot g16x =()4 sin16x sin 8x sin16x Lấy (1) + (2) + (3) + (4) ta được 111 1 cot gx−=+++ cot g16x sin 2x sin 4x sin 8x sin16x Bài 13 : Chứng minh : 8sin3 180+=8sin 20 18 1 Ta có: sin180 = cos720 ⇔ sin180 = 2cos2360 - 1 ⇔ sin180 = 2(1 – 2sin2180)2 – 1 ⇔ sin180 = 2(1 – 4sin2180+4sin4180)-1 ⇔ 8sin4180 – 8sin2180 – sin180 + 1 = 0 (1 ) ⇔ (sin180 – 1)(8sin3180 + 8sin2180 – 1) = 0 ⇔ 8sin3180 + 8sin2180 – 1 = 0 (do 0 < sin180 < 1) Cách khác : Chia 2 vế của (1) cho ( sin180 – 1 ) ta có ( 1 ) ⇔ 8sin2180 ( sin180 + 1 ) – 1 = 0 Bài 14 : Chứng minh : 1 a/ sin44 x+= cos x() 3+ cos 4x 4 1 b/ sin 6x+=+ cos 6x() 5 3cos 4x 8 1 c/ sin88x+= cos x() 35 + 28cos 4x + cos 8x 64 2 a/ Ta có: sin44 x+= cos x( sin 22 x + cos x) − 2sin 2 x cos2 x 2 =−1sin22 x 4 1 =−11cos4() − x 4 31 =+cos 4x 44 b/ Ta có : sin6x + cos6x =+()sin224224 x cos x( sin x − sin x cos x + cos x) 1 =+−()sin44 x cos x sin 2 2x 4 ⎛⎞31 1 =+⎜⎟cos 4x −() 1 − cos 4x ( do kết quả câu a ) ⎝⎠44 8 35 =+cos 4x 88 2 c/ Ta có : sin88 x+= cos x( sin 44 x + cos x) − 2sin 4 x cos4 x 122 =+()3cos4x − sin2x4 16 16 2 11⎡1⎤ =+()9 6cos4x + cos2 4x −() 1 − cos4x 16 8⎣⎢ 2 ⎦⎥ 93 1 1 =+cos4x +() 1 + cos8x −() 1 − 2cos4x + cos2 4x 16 8 32 32 93 1 1 1 =+cos4x + cos8x + cos4x −() 1 + cos8x 16 8 32 16 64 35 7 1 =+cos 4x+ cos 8x 64 16 64 Bài 15 : Chứng minh : sin 3x.sin33 x+= cos3x.cos x cos3 2x Cách 1: Ta có : sin 3x.sin33 x+= cos3x.cos x cos3 2x =−()3sinx 4sinxsinx33 +( 4cosx 3 − 3cosxcosx) 3 =−+−3sin466 x 4sin x 4cos x 3cos4 x =−−−3sin()44 x cos x 4sin( 66 x cos x) =−3() sin2222 x cos x( sin x + cos x) −−4() sin224224 x cos x( sin x + sin x cos x + cos x) 22 =−3cos2x + 4 cos2x⎣⎡ 1 − sin x cos x⎦⎤ ⎛⎞1 2 =−3cos2x + 4 cos2x⎜⎟ 1 − sin 2x ⎝⎠4 ⎡⎤⎛⎞1 2 =−+−cos 2x⎢⎥ 3 4⎜⎟ 1 sin 2x ⎣⎦⎝⎠4 =−cos 2x( 1 sin2 2x) = cos3 2x Cách 2 : Ta có : sin 3x.sin33 x+ cos 3x.cos x ⎛⎞⎛3sin x−+ sin 3x 3cos x cos 3x ⎞ =+sin 3x ⎜⎟⎜cos 3x ⎟ ⎝⎠⎝44⎠ 31 =++−()sin 3x sin x cos 3x cos x() cos22 3x sin 3x 44 31 =−+cos() 3x x cos 6x 44 1 =+(3cos 2x cos 3.2x) 4 1 =+−()3cos2x 4cos3 2x 3cos2x ( bỏ dòng này cũng được) 4 = cos3 2x 31+ Bài 16 : Chứng minh : cos12oo+− cos18 4 cos15 ooo .cos21 cos 24 =− 2 Ta có : cos12oo+− cos18 4 cos15 oo( cos21 cos 24o) =−2cos15oo cos3 2cos15 o( cos 45 o + cos 3o) =−2cos15oocos3 2cos15 o cos45 o − 2cos15 oo cos3 =−2cos15oo cos45 =−()cos 60oo + cos 30 31+ =− 2 Bài 17 : Tính Psin50=+−2o sin70cos50cos70 2 o o 111 Ta có : P=−() 1 cos100ooo +−() 1 cos140 −() cos120 + cos 20o 222 11oo⎛⎞1o P=− 1() cos100 + cos140 −⎜⎟ −+cos 20 22⎝⎠2 11 P=− 1() cos120oo cos 20+ − cos20o 42 51 1 5 Pcos2=+0cos20oo − = 42 2 4 83 Bài 18 : Chứng minh : tg30oooo+++= tg40 tg50 tg60 cos 20o 3 sin() a+ b Áp dụng : tga+= tgb cos a cos b Ta có : ()tg50oo+++ tg40( tg30 o tg60o) sin 90oo sin 90 =+ cos50oo cos 40 cos 30 o cos 60o 11 =+ oo1 sin 40 cos 40 cos 30o 2 22 =+ sin 80oo cos 30 ⎛⎞11 =+2⎜⎟oo ⎝⎠cos10 cos 30 ⎛⎞cos30oo+ cos10 = 2⎜⎟oo ⎝⎠cos10 cos30 cos 20po cos10 = 4 cos10oo cos 30 83 = cos20o 3 Bài 19 : Cho ΔABC , Chứng minh : A BC a/ sin A++= sin B sin C 4 cos cos cos 222 A BC b/ socA++=+ cos B cosC 1 4 sin sin sin 222 c/ sin 2A++= sin 2B sin 2C 4 sin A sin B sin C d/ cos22A ++=−cos B cos2 C 2cos A cosBcosC e/ tgA++= tgB tgC tgA.tgB.tgC f/ cot gA.cot gB++ cot gB.cot gC cot gC.cot gA= 1 A BC ABC g/ cotg++= cotg cotg cotg .cotg .cotg 222222 A + BAB− a/ Ta có : sin A++= sin B sin C 2sin cos+ sin() A + B 22 A +−BAB⎛⎞ AB + =2sin ⎜⎟cos+ cos 22⎝⎠ 2 CAB⎛⎞ AB+π C ==4 cos cos cos⎜⎟ do − 222⎝⎠ 2 22 A + BAB− b/ Ta có : cos A++= cosB cosC 2cos cos− cos() A + B 22 A +−BAB⎛⎞2 AB + =−2cos cos⎜⎟ 2cos− 1 22⎝⎠ 2 A +−BAB⎡⎤ AB + =−2cos cos cos+ 1 22⎣⎦⎢⎥ 2 A + BA⎛⎞ B =−4cos sin sin⎜⎟− + 1 22⎝⎠ 2 CAB =+4sin sin sin 1 222 c/ sin 2A sin 2B+= sin 2C 2sin( A + B) cos( A −+ B) 2sin C cosC =2sin C cos(A−+ B) 2sin C cosC =−−2sinC[cos(A B) cos(A+ B)] =−4 sin Csin A sin(− B) = 4 sin C sin A sin B d/ cos22 A++ cos B cos2 C 1 =+1() cos2A + cos2B + cos2 C 2 =+1cosABcosAB()() + − + cosC2 =1 −cosC⎣⎦⎡⎤ cos() A −B −cosC do (cos( A+=− B) cosC) =−1 cosC⎣⎦⎡⎤ cos() A− B + cos( A + B) =−1 2cosC.cos A.cos B e/ Do ab+=π− C nên ta có tg() A+=− B tgC tgA+ tgB ⇔ =−tgC 1tgAtgB− ⇔ tgA+=−+ tgB tgC tgAtgBtgC ⇔ tgA++= tgB tgC tgAtgBtgC f/ Ta có : cotg(A+B) = - cotgC 1tgAtgB− ⇔ =−cot gC tgA + tgB cot gA cot gB− 1 ⇔ =−cot gC (nhân tử và mẫu cho cotgA.cotgB) cot gB+ cot gA ⇔ cot gA cot gB−=− 1 cot gCcot gB− cot gA cot gC ⇔ cot gA cot gB++ cot gBcot gC cot gA cot gC= 1 A + BC g/ Ta có : tg= cot g 22 A B tg+ tg C ⇔ 22= cot g AB 1tg− tg 2 22 A B cotg+ cotg C A B ⇔ 22= cot g (nhân tử và mẫu cho cotg .cotg ) AB 2 cot g .cot g− 1 2 2 22 A BABCC ⇔ cot g +cot g= cot g cot g cot g− cot g 222222 A BC ABC ⇔ cotg++= cotg cotg cotg .cotg .cotg 222222 Bài 20 : Cho ΔABC . Chứng minh : cos2A + cos2B + cos 2C + 4cosAcosBcosC + 1 = 0 Ta có : (cos2A + cos2B) + (cos2C + 1) = 2 cos (A + B)cos(A - B) + 2cos2C = - 2cosCcos(A - B) + 2cos2C = - 2cosC[cos(A – B) + cos(A + B)] = - 4cosAcosBcosC Do đó : cos2A + cos2B + cos2C + 1 + 4cosAcosBcosC = 0 Bài 21 : Cho ΔABC . Chứng minh : 3A 3B 3C cos3A + cos3B + cos3C = 1 - 4 sin sin sin 222 Ta có : (cos3A + cos3B) + cos3C 33 3C =+2cos (A B)cos (A −+− B) 1 2sin2 22 2 333C Mà : A +=π−BC nên ()AB+=π− 222 3⎛⎞3π 3C => cos() A+= B cos⎜⎟− 22⎝⎠2 ⎛⎞π 3C =−cos⎜⎟ − ⎝⎠22 3C =−sin 2 Do đó : cos3A + cos3B + cos3C 3C 3A( − B) 3C =−2sin cos −2sin2 + 1 22 2 3C ⎡⎤3A( − B) 3C =−2sin⎢⎥ cos +sin +1 22⎣⎦ 2 3C ⎡⎤3A( − B) 3 =−2sin⎢ cos −cos() A + B⎥+ 1 222⎣⎦ 3C 3A− 3B =+4sin sin sin( ) 1 22 2 3C 3A 3B =−4 sin sin sin+ 1 222 Bài 22 : A, B, C là ba góc của một tam giác. Chứng minh : sin A+− sin B sin C A B C = tg tg cot g cos A+−+ cos B cosC 1 2 2 2 A + BAB− CC 2sin cos− 2sin cos sin A+− sin B sin C Ta có : = 22 22 AB+− AB C cos A+−+ cos B cosC 1 2cos cos+ 2sin2 22 2 CAB⎡⎤− C A − BA+ B 2cos cos− sin cos− cos 22⎢⎥ 2 C ==⎣⎦cot g . 22 CAB⎡⎤− C 2 A − BA+ B 2sin cos+ sin cos+ cos 22⎣⎦⎢⎥ 2 22 A ⎛⎞B −2sin .sin ⎜⎟− C 22 = cot g . ⎝⎠ AB 2 2cos .cos 22 CAB = cot g .tg .tg 222 Bài 23 : Cho ΔABC . Chứng minh : A BC BCA CAB sin cos cos++ sin cos cos sin cos cos 222 222 222 A BC AB BC AC =+++sinsinsin tgtg tgtg tgtg() * 222222222 A +πBC ⎛⎞A BC Ta có : =− vậy tg ⎜⎟+=cot g 222 ⎝⎠22 2 A B tg + tg 1 ⇔ 22= A BC 1tg− tg tg 22 2 ⎡⎤A BC AB ⇔ tg+=− tg tg 1 tg tg ⎣⎦⎢⎥222 22 A CBCAB ⇔ tg tg++ tg tg tg tg = 1() 1 22 22 22 A BC BCA CAB Do đó : (*) Ù sinc os cos ++sin cos cos sin cos cos 222 222 222 A BC =+sin sin sin 1 (do (1)) 222 A ⎡⎤BC BC A⎡⎤ BC CB ⇔ sin cos cos−+ sin sin cos sin cos += sin cos 1 2⎣⎦⎢⎥22 22 2⎣⎦⎢⎥ 22 22 A BC++ A BC ⇔ sin cos+= cos sin 1 22 22 A ++BC π ⇔ sin = 1 ⇔=sin 1 ( hiển nhiên đúng) 2 2 A B C 3+ cos A++ cosB cosC Bài 24 : Chứng minh : tg++= tg tg ()* 2 2 2 sin A++ sin B sin C Ta có : A +−BAB⎡ C⎤ cos A+ cos B++= cosC 3 2cos cos +1 −2sin2 + 3 22⎢⎣⎦ 2⎥ CAB− C =+2sin cos 4− 2sin2 22 2 CAB⎡⎤− C = 2sin cos−+ sin 4 22⎣⎦⎢⎥ 2 CAB⎡⎤−+ AB = 2sin cos−+ cos 4 22⎣⎦⎢⎥ 2 CA B = 4sin sin .sin + 4 (1) 22 2 A + BAB− sin A++= sin B sin C 2sin cos+ sin C 22 CAB− CC =+2cos cos 2sin cos 22 22 CAB⎡ −+ AB⎤ =+2cos cos cos 22⎣⎢ 2⎦⎥ CAB = 4 cos cos cos (2) 222 Từ (1) và (2) ta có : A BC ABC sin sin sin sin sin sin+ 1 (*) ⇔ 222222++= A BC ABC cos cos cos cos cos cos 222 222 A ⎡⎤⎡⎤⎡BC B AC C AB⎤ ⇔ sin cos cos++ sin cos cos sin cos cos 222⎣⎦⎣⎦⎣⎢⎥⎢⎥⎢ 222 222⎦⎥ A BC = sin sin sin+ 1 222 A ⎡⎤BC BC A⎡ BC CB⎤ ⇔ sin cos cos−+ sin sin cos sin cos + sin cos= 1 222⎢⎥⎣⎦ 22 222⎣⎢ 22⎦⎥ A BC+ A BC+ ⇔ sin .cos+= cos sin 1 22 22 ⎡A ++BC⎤ ⇔sin = 1 ⎣⎦⎢⎥2 π ⇔ sin = 1 ( hiển nhiên đúng) 2 A BC sin sin sin Bài 25 : Cho ΔABC . Chứng minh: 222+ +=2 BC CA AB cos cos cos cos cos cos 22 22 22 Cách 1 : A BAABB sin sin sin cos+ sin cos Ta có : 22222+= 2 BC CA ABC cos cos cos cos cos cos cos 22 22 222 A + BA− B sin cos 1 sin A+ sin B ==22 A BC ABC 2 cos cos cos cos cos cos 222 222 CAB− ⎛⎞A − B cos .cos cos⎜⎟ 2 ==22 ⎝⎠ A BC AB cos .cos .cos cos cos 222 22 ⎛⎞A − B CABA− + B cos⎜⎟sin cos+ cos 2 Do đó : Vế trái =+=⎝⎠ 222 AB AB AB cos cos cos cos cos cos 22 22 22 A B 2cos cos ==222 AB cos cos 22 Cách 2 : BC+++ AC AB cos cos cos Ta có vế trái =++222 BC CA AB cos cos cos cos cos cos 22 22 22 BC BC AC AC cos cos−− sin sin cos cos sin sin =+22 22 22 22 BC CA cos cos cos cos 22 22 A BAB cos cos− sin sin + 22 22 AB cos cos 22 ⎡⎤BC AC AB =−3tgtgtgtgt + +gtg ⎣⎦⎢⎥22 22 22 A BBCAB Mà : tg tg++ tg tg tg tg = 1 22 22 22 (đã chứng minh tại bài 10 ) Do đó : Vế trái = 3 – 1 = 2 A BC Bài 26 : Cho ΔABC . Có cot g ,cot g ,cot g theo tứ tự tạo cấp số cộng. 222 A C Chứng minh cot g .cot g= 3 22 A BC Ta có : cot g ,cot g ,cot g là cấp số cộng 222 A CB ⇔ cot g+= cot g 2cot g 22 2 A + CB sin 2 cos ⇔ 22= A CB sin sin sin 22 2 BB cos 2cos ⇔ 22= A CB sin sin sin 22 2 12 B ⇔ = (do 0 0 ) A CAC+ sin sin cos 2 22 2 A CAC − cos cos sin sin A C ⇔ 22 22= 2 ⇔ cot g cot g= 3 AC sin .sin 22 22 Bài 27 : Cho ΔABC . Chứng minh : 1111ABC⎡⎤ A B C ++=tg +++ tg tg cot g + cot g + cot g sin A sin B sin C 2⎣⎦⎢⎥ 2 2 2 2 2 2 A BC ABC Ta có : cotg++= cotg cotg cotg .cotg .cotg 222222 (Xem chứng minh bài 19g ) sinα cosα 2 Mặt khác : tgα+ cot g α= + = cosα sinαα sin 2 1A⎡⎤ B C A B C Do đó : tg+++ tg tg cotg + cotg + cotg 22⎣⎦⎢⎥ 2 2 2 2 2 1A⎡⎤ B C1⎡ A B C⎤ =+++tg tg tg cotg +cotg + cotg 22⎣⎦⎢⎥2 22⎢⎣ 2 2 2 ⎦⎥ 1A⎡⎤⎡⎤⎡ A1B B1C C⎤ =+tg cot g ++ tg cot g ++ tg cot g 22⎣⎦⎣⎦⎣⎢⎥⎢⎥⎢ 222 222 2⎦⎥ 111 =++ sin A sin B sin C BÀI TẬP 1. Chứng minh : ππ21 a/ cos−= cos 552 cos15oo+ sin15 b/ = 3 cos15oo− sin15 246πππ1 c/ cos++= cos cos − 7772 d/ sin33 2x sin 6x+= cos 2x.cos 6x cos3 4x e/ tg20oooo .tg40 .tg60 .tg80= 3 ππππ25 83π f/ tg +++=tg tg tg cos 6918339 πππ234567π πππ1 g/ cos .cos .cos .cos .cos .cos .cos = 15 15 15 15 15 15 15 27 ⎡⎤π⎡⎤π h/ tgx.tg− x .tg +=x tg3x ⎣⎦⎣⎦⎢⎥33⎢⎥ k/ tg20oo++ tg40 3tg20 oo .tg40 = 3 3 e/ sin20ooo .sin40 .sin80 = 8 m/ tg5oooo .tg55 .tg65 .tg75= 1 ⎧sin x= 2sin (x+ y) ⎪ 2. Chứng minh rằng nếu ⎨ π ⎪xy+≠() 2k1 +( kz ∈) ⎩ 2 sin y thì tg() x+= y cos y − 2 3. Cho ΔABC có 3 góc đều nhọn và A ≥≥BC a/ Chứng minh : tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC b/ Đặt tgA.tgB = p; tgA.tgC = q Chứng minh (p-1)(q-1) ≥ 4 4. Chứng minh các biểu thức không phụ thuộc x : a/ A =++++sin424222 x( 1 sin x) cos x( 1 cos x) 5sin x cos x+ 1 b/ B=−+−+ 3() sin88 x cos x 4( cos 6 x 2sin 6 x) 6sin4 x c/ C=−+−−−−− cos22() x a sin () x b 2 cos( x a) sin( x b)( sin a b) 5. Cho ΔABC , chứng minh : cosC cos B a/ cot gB +=+cot gC sinBcosA sinCcosA A BC 3A3B3C b/ sin333 A++ sin B sin C= 3cos cos cos+ cos cos cos 222 2 2 2 A BC− B AC− c/ sin A++ sin B sin C =cos .cos + cos .cos 22 22 CA− B + cos .cos 22 d/ cotgAcotgB + cotgBcotgC + cotgCc otgA = 1 e/ cos22 A++ cos B cos2 C=− 1 2cos A cos B cosC f/ sin3Asin(B- C)+ sin3Bsin(C- A)+ sin3Csin(A- B) = 0 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của : 11 π a/ y =+ với 0x< < sin x cos x 2 9π b/ y4x=++ sinx với 0x< <∞ x c/ y2sinx4sinxcosx=+2 + 5 7. Tìm giá trị lớn nhất của : a/ y=+ sin x cos x cos x sin x b/ y = sinx + 3sin2x c/ ycosx=+− 2cosx2 TT luyện thi đại học CLC Vĩnh Viễn