Bài giảng Các dạng bài tập hình họa

Các dạng bài tập Hình họa Giảng viên:Nguyễn Thị Thu Nga I- Bài toán 1 Bài toán liên thuộc Các bài toán liên thuộc Bài toán cơ bản1 (Đường thẳng thuộc mặt phẳng) Bài toán cơ bản2 (Điểm thuộc mặt phẳng) Điểm thuộc mặt cong (Điểm thuộc mặt cầu, Điểm thuộc mặt nón…) Điểm thuộc đa diện (tự xem sgk) Dùng để giải các bài toán: Hình xuyên Giao của mặt phẳng với mặt cong Giao của hai mặt cong Bài toán về quỹ tích …… Dùng để giải các bài toán: Giao của hai mặt phẳng Giao của đường thẳng với mặt phẳng Bài toán về quỹ tích ….. 1.1 Bài toán cơ bản 1: Bài toán đường thẳng thuộc mặt phẳng Cho mặt phẳng α(a,b), a cắt b tại I, một đường thẳng l thuộc mặt phẳng (α) đó. Biết hình chiếu đứng l1, tìm hình chiếu bằng l2 (Hình 3.11) Hình 3.11. Bài toán cơ bản 1 I1 b1 b2 I2 a1 12 l1 l2 11 21 a2 22 b1 b2 I2 a1 12 l’1 l’2 21 a2 22 a) l1 cắt cả hai đường a1 b1 - Dựa vào các điểm 1(11,12); 2(21,22) b1 b2 I2 a1 12 l1 l2 11 a2 I1 I1 11 K2 K1 b) l1 đi qua I1 - Dùng đường thẳng l’(l’1,l’2) KÎ l’→l qua IK c) l1 song song với một trong hai đường a1 b1 - VD: l1//b1 - Dựa vào điểm 1(11,12) l2 đi qua 12, l2//b2 l1 l2 1.2 Bài toán cơ bản 2 : Bài toán điểm thuộc mặt phẳng Ví dụ 1: Cho mặt phẳng α(a,b), a cắt b tại I, điểm K thuộc mặt phẳng α đó. Biết hình chiếu đứng K1, tìm hình chiếu bằng K2 . (Hình 3.13) Giải: - Gắn điểm K vào một đường thẳng lÎ(α) - Khi đó l1 qua K1. Tìm l2 ? (bài toán cơ bản 1) - K2 Î l2 (Điểm thuộc đường thẳng) Hình 3.13. Bài toán cơ bản 2 b1 b2 I2 a1 12 l1 l2 21 a2 22 I1 11 K2 K1 1.3 Điểm thuộc mặt cong 1.3.1 Điểm thuộc mặt nón Cho các điểm M, N, P, Q thuộc mặt nón. Biết M1, N1, P1, Q2, tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó. (Hình 6.2) Giải: - Tìm M2: Vẽ đường sinh SE, SE’ chứa M - Tìm N1: Gắn N vào đường sinh SJ - Tim P2: Vẽ đường tròn song song đáy chứa điểm P - Tìm Q1: Vẽ đường sinh SI chứa Q. Chú ý còn một điểm Q’1 ở đáy nón O1 J1 S1 O2 E1≡E’1 N1 N2 J2 K1 Q2 P2 P1 M’2 M2 E’2 E2 Q1 Q’1 I2 I1 M1 P’2 S2 ≡ K2 1.3.2 Điểm thuộc mặt cầu Cho các điểm M, N, P thuộc mặt cầu. Biết M1, N1, P1, tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó. (Hình 6.4) Giải: - Tìm M2: Qua M vẽ đường tròn của mặt cầu sao cho đường tròn này thuộc mặt phẳng song song với П2 - Tìm N2 , P2: Xét đường tròn (u) và (v) của mặt cầu: N1 Î (u1) Þ N2 Î (u2) P1 Î (v1) Þ P2 Î (v2) * Nếu biếu M2, N2, P2, tìm M1, N1, P1 ta làm tương tự. O1 O2 N1 N2 E1 P2 P1 (u1) M’2 M2 E2 M1 P’2 (u2) (v1) (v2) Hình 6.4. Điểm thuộc mặt cầu. Tìm M2 , N2, P2 ? 1.3.1 Điểm thuộc mặt trụ Cho các điểm M, N, P, Q thuộc mặt trụ. Biết M1, N1, P2, Q2, tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó.(Hình 6.3) . O1 J1 T1 J2 T’2 N1 P2 P1 M2 M’2 M1 G2 G1 H1 H2 Q2 Q1 E’2 E2 T2 Hình 6.3. Điểm thuộc mặt trụ. Tìm M2 , N2, P1, Q1 Giải: - Tìm M2: qua M1 vẽ đường sinh a1. Chân đường sinh: E1, E’1. Trên hình chiếu bằng có E2, E’2. Qua E2, E’2 vẽ các đường sinh a2, a’2. M2 Î a2, M’2 Î a’2 - Tìm N2: Gắn N vào đường sinh s. N1 Î s1, N2 Î s2 . - Tìm P1: Ngược lại cách tìm M2 - Tìm Q1: Qua O2 vẽ đường thẳng O2T2 O2T2 ^ l2. Từ T1 vẽ đường sinh l1 Þ Q1 Î l1 N2 P’1 E1≡E’1 s1 s2 a1 a’2 a2 k’1 k1 k2 l1 l2 O2 II- Bài toán 2 Tìm giao của mặt phẳng chiếu với mặt cong 2.1 Mặt phẳng chiếu Π1 x C A1 C1 mα Π2 φ A B nα B1 α x α1 Π1 x C A B h1 Π2 A2 nβ φ C2 B2 mβ β Mặt phẳng chiếu đứng Mặt phẳng chiếu bằng x β2 Hình chiếu đứng suy biến thành đường thẳng Hình chiếu bằng suy biến thành đường thẳng 2.2- Các bước tìm giao của mặt phẳng chiếu với mặt cong (bậc 2) Bước 1: Xác định hình chiếu đã biết của giao tuyến (Mục 2.2.1) Bước 2: Gắn điểm vào hình chiếu của giao tuyến đã biết (Mục 2.2.2) Bước 3: Tìm hình chiếu còn lại của các điểm vừa gắn (Mục 2.2.3) Bước 4: Nối giao tuyến (Mục 2.2.4) Bước 5: Xét thấy khuất (Mục 2.2.5) Bước 6: Xét đường bao (Mục 2.2.6) Chú ý: Để timg giao của mặt phẳng chiếu với mặt cong yêu cầu nắm vững bài toàn điểm thuộc mặt cong (Mục 1.3.1, 1.3.2,1.3.3) 2.2.1- Xác định hình chiếu đã biết của giao tuyến Hình chiếu đã biết của giao tuyến trùng đường thẳng suy biến của mặt phẳng chiếu. 2.2.2- Gắn điểm vào hình chiếu của giao tuyến đã biết Những điểm bắt buộc phải gắn: a) Điểm bắt đầu và kết thúc của giao tuyến (Điểm 1,5) 5 1 Những điểm bắt buộc phải gắn (tiếp): b) Điểm giới hạn thấy khuất của giao tuyến Điểm giới hạn thấy khuất của giao tuyến trên hình chiếu bằng :Điểm 4 Điểm giới hạn thấy khuất của giao tuyến trên hình chiếu cạnh : Điểm 2 Xét thấy khuất trên hình chiếu bằng Xét thấy khuất trên hình chiếu cạnh (Điểm giới hạn thấy khuất của giao tuyến có thể xác định nhanh bằng cách kẻ các trục đối xứng thẳng đứng và nằm ngang của mặt cong ra, các trục đối xứng cắt giao tuyến ở đâu gắn điểm vào đấy) 5 1 2 4 Những điểm bắt buộc phải gắn (tiếp): c) Các điểm đặc biệt thuộc mặt phẳng chiếu (Điểm 3) * Điểm đặc biệt thuộc mặt phẳng chiếu phụ thuộc vào dạng giao tuyến của mặt phẳng đó với mặt cong Đối với cầu : Mặt phẳng cắt cầu giao tuyến là đường tròn. Nếu mặt phẳng nghiêng bất kỳ thì đường tròn đó khi chiếu xuống các mặt phẳng hình chiếu sẽ là elip. 1 3 3’ 2 4 5 3 1 5 2 4 4’ 2’ Điểm 3 là điểm đặc biệt 33’ là đường kính trục dài (đường kính liên hợp) của elip, là trục đối xứng của elips Những điểm bắt buộc phải gắn (tiếp): e) Các điểm đặc biệt thuộc mặt phẳng chiếu (tiếp) *Đối với nón: - Mặt phẳng cắt nón cắt tất cả các đường sinh của nón, giao tuyến là elips. - Mặt phẳng cắt song song với 2 đường sinh của nón giao tuyến là hypecbol 1 3 4 2 2 2’ Điểm 3 là điểm đặc biệt 22’ là đường kính trục dài (đường kính liên hợp) của elip, là trục đối xứng của elips 3 3’ 4 1 1 3 4 3 Điểm 3 là đỉnh của hypecbol 2 4 1 3 Trục đối xứng của hypecbol 2.2.3- Tìm hình chiếu còn lại của các điểm vừa gắn Để tìm hình chiếu còn lại của các điểm vừa gắn ta áp dụng bài toán điểm thuộc mặt cong ( Mục 1.3.1,1.3.2) 1 3 3’ 2 4 5 3 1 5 4 4’ 1 2 2’ 3 3’ 4 4’ 2 2’ 5 2.2.4- Nối giao tuyến Nguyên tắc nối: - Theo thứ tự các điểm gắn trên hình chiếu đã biết của giao tuyến (VD 1,2,4,5) - Theo dạng giao tuyến (Xem slice 19,21) Mặt phẳng cắt cầu trong không gian giao tuyến là đường tròn Các dạng giao tuyến của mặt phẳng cắt mặt cong Mặt phẳng cắt cầu 3 3 3 3 Mặt phẳng cắt nghiêng bất kỳ đường tròn giao tuyến bị suy biến thành elip khi chiếu lên các mặt phẳng hình chiếu -Mặt phẳng cắt song song với Π1 (hoặc Π2) thì hình chiếu đứng (hoặc hình chiếu bằng) của giao tuyến vẫn là đường tròn, hình chiếu cạnh của giao tuyến suy biến thành đường thẳng -Mặt phẳng cắt song song với Π3 thì hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của giao tuyến suy biến thành đường thẳng, hình chiếu cạnh của giao tuyến là đường tròn Nối giao tuyến 1 3 3’ 2 4 5 3 1 5 4 4’ 1 2 2’ 3 3’ 4 4’ 2 2’ 5 Các dạng giao tuyến của mặt phẳng cắt mặt cong Mặt phẳng cắt nón Mặt phẳng cắt tất cả các đường sinh của nón giao tuyến là elip -Mặt phẳng cắt song song với hai đường sinh của nón giao tuyến là hypecbol -Mặt phẳng cắt song song với một đường sinh của nón giao tuyến là Parabol Các dạng giao tuyến của mặt phẳng cắt mặt cong Mặt phẳng cắt nón (tiếp) Mặt phẳng cắt song song với đáy nón giao tuyến là đường tròn -Mặt phẳng cắt đỉnh nón giao tuyến là tam giác cân -Mặt phẳng cắt song song với Π3 thì hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của giao tuyến suy biến thành đường thẳng, hình chiếu cạnh của giao tuyến là hypwcbol Các dạng giao tuyến của mặt phẳng cắt mặt cong Mặt phẳng cắt trụ - Mặt phẳng cắt vuông góc với đường sinh giao tuyến là đường tròn Mặt phẳng cắt song song với đường sinh giao tuyến là hình chữ nhật - Mặt phẳng cắt nghiêng bất kỳ giao tuyến là elip 3 - Mặt phẳng cắt trụ nghiêng 45 độ so với đường sinh giao tuyến là elip. Khi chiếu lên hình chiếu cạnh elips suy biến thành đường tròn Giao của mặt phẳng với mặt trụ Mặt phẳng cắt song song với đường sinh giao truyến là hình chữ nhật Mặt phẳng cắt vuông góc với đường sinh giao truyến là đường tròn Mặt phẳng cắt nghiêng với đường sinh giao truyến là elíp 2.2.5- Xét thấy khuất Xét thấy khuất trên hình chiếu bằng Xét thấy khuất trên hình chiếu cạnh Xét thấy khuất trên hình chiếu đứng Xét thấy khuất 1 3 3’ 2 4 5 3 1 5 4 4’ 1 2 2’ 3 3’ 4 4’ 2 2’ 5 2.2.6 Xét đường bao 1 3 3’ 2 4 5 3 1 5 4 4’ 1 2 2’ 3 3’ 4 4’ 2 2’ 5 III- Bài toán 3 Tìm giao của trụ chiếu với mặt cong 3.1 Trụ chiếu Trụ chiếu đứng Trụ chiếu bằng Hình chiếu đứng suy biến thành đường tròn Hình chiếu bằng suy biến thành đường tròn Π2 Π1 x Π2 Π1 x 3.2 Các bước tìm giao cua trụ chiếu với mặt cong Bước 1: Xác định hình chiếu đã biết của giao tuyến (Mục 3.2.1) Bước 2: Gắn điểm vào hình chiếu của giao tuyến đã biết (Mục 3.2.2) Bước 3: Tìm hình chiếu còn lại của các điểm vừa gắn (Mục 3.2.3) Bước 4: Nối giao tuyến (Mục 3.2.4) Bước 5: Xét thấy khuất (Mục 3.2.5) Bước 6: Xét đường bao (Mục 3.2.6) 3.2.1- Xác định hình chiếu đã biết của giao tuyến Hình chiếu đã biết của giao tuyến trùng với đường tròn suy biến của trụ chiếu 3.2.2- Gắn điểm vào hình chiếu của giao tuyến đã biết Những điểm bắt buộc phải gắn: a) Điểm bắt đầu và kết thúc của giao tuyến (Trường hợp này hình chiếu đứng của giao tuyến là đường tròn khép kín nên không có điểm bắt đầu và điểm kết thúc ) b) Điểm thuộc đường bao trụ chiếu trên các hình chiếu (Điểm 2,5,8,11) Xác định bằng cách kẻ 2 trục đối xứng thẳng đứng và nằm ngang của đường tròn đáy trụ chiếu, 2 trục đối xứng này cắt đường tròn đáy trụ chiếu ở đâu gắn điểm vào đấy 2 4 10 8 Những điểm bắt buộc phải gắn (tiếp): c) Điểm giới hạn thấy khuất của giao tuyến Điểm giới hạn thấy khuất của giao tuyến trên hình chiếu bằng : (Điểm 5,9) Điểm giới hạn thấy khuất của giao tuyến trên hình chiếu cạnh : Điểm 3,7 Xét thấy khuất trên hình chiếu bằng Xét thấy khuất trên hình chiếu cạnh (Điểm giới hạn thấy khuất của giao tuyến có thể xác định nhanh bằng cách kẻ các trục đối xứng thẳng đứng và nằm ngang của mặt cong ra, các trục đối xứng cắt giao tuyến ở đâu gắn điểm vào đấy) 2 4 10 8 5 9 3 7 Những điểm bắt buộc phải gắn (tiếp): d)Điểm tiếp xúc của trụ chiếu với mặt cong (Điểm 1) e) Điểm thấp nhất, cao nhất ( gần nhất, xa nhất) của đường cong ghềnh) ( Điểm 1,6) Hai mặt cong bậc 2 cắt nhau theo giao tuyến là đường cong ghềnh bậc 4. Nếu ta có một mặt phẳng đi qua 2 trục đối xứng của 2 mặt cong thì mặt phẳng đó sẽ cắt đường cong ghềnh tại điểm thấp nhất, cao nhất (gần nhất, xa nhất) của đường cong ghềnh Điểm cao nhất của đường cong ghềnh Điểm thấp nhất của đường cong ghềnh 2 4 10 8 3 5 7 9 1 6 3.2.3- Tìm hình chiếu còn lại của các điểm vừa gắn Để tìm hình chiếu còn lại của các điểm vừa gắn ta áp dụng bài toán điểm thuộc mặt cong ( Mục 1.3.1,1.3.2) 1 12 3 4 5 7 9 10 3 3’ 4 4’ 5 5’ 7 7’ 9 9’ 10 10’ 2 2 2’ 6 6 6’ 8 8 8’ 1 3 3’ 2 2’ 4 4’ 10 10’ 5 5’ 9 9’ 6 6’ 7 7 8 8 3.2.4- Nối giao tuyến Nguyên tắc nối: - Theo thứ tự các điểm gắn trên hình chiếu đã biết của giao tuyến (VD 1,2,3…6) - Theo dạng giao tuyến (Xem slice 21,23) Các dạng giao tuyến thường gặp Giao của 2 mặt cong 11 21 31 41 51 12 22 2’2 32 3’2 42 4’2 52 O2 61 31 21 71 51 32 22 62 52 72 2’2 3’2 5’2 6’2 61 31 21 71 51 81 32 22 62 52 6’2 72 2’2 3’2 5’2 82 Hai mặt cong bậc hai cắt nhau giao tuyến là đường cong ghềnh bậc 4. Hai mặt cong tiếp xúc với nhau tại 1 điểm, giao tuyến là đường cong ghềnh bậc 4, đường cong ghềnh bậc 4 đó tự nó cắt nó tại điểm tiếp xúc Hai mặt cong tiếp xúc với nhau tại 2 điểm, giao tuyến là hai đường bậc 2, hai đường bậc 2 đó cùng đi qua 2 điểm tiếp xúc Nối giao tuyến (tiếp) Nguyên tắc nối: - Theo thứ tự các điểm gắn trên hình chiếu đã biết của giao tuyến (VD 1,2,3…6) - Theo dạng giao tuyến 1 12 3 4 5 7 9 10 3 3’ 4 4’ 5 5’ 7 7’ 9 9’ 10 10’ 2 2 2’ 6 6 6’ 8 8 8’ 3.2.5 Xét thấy khuất giao tuyến 1 12 3 4 5 7 9 10 3 3’ 4 4’ 5 5’ 7 7’ 9 9’ 10 10’ 2 2 2’ 6 6 6’ 8 8 8’ 1 3 3’ 2 2’ 4 4’ 10 10’ 5 5’ 9 9’ 6 6’ 7 7 8 8’ Xét thấy khuất hình chiếu bằng: + Cầu : Những điểm thấy: 9,10,1,2,3,4,5 +Trụ: Những điểm thấy : 10,1,2,3,4 + Tìm giao của hai tập hợp trên ta có điểm thấy trên hình chiếu bằng là 10,1,2,3,4 Xét thấy khuất hình chiếu cạnh: + Cầu: Những điểm thấy là 3,4,5,6,7 +Trụ: Những điểm thấy là 2,3,4,5,6,7,8 + Tìm giao của hai tập hợp trên ta có điểm thấy trên hình chiếu cạnh là 3,4,5,6,7 3.2.6 Xét đường bao 1 12 3 4 5 7 9 10 3 3’ 4 4’ 5 5’ 7 7’ 9 9’ 10 10’ 2 2 2’ 6 6 6’ 8 8 8’ 1 3 3’ 2 2’ 4 4’ 10 10’ 5 5’ 9 9’ 6 6’ 7 7 8 8’ 3.2.7 Xét thấy khuất giao tuyêns và đường bao trong trường hợp trừ khối 1 12 3 4 5 7 9 10 3 3’ 4 4’ 5 5’ 7 7’ 9 9’ 10 10’ 2 2 2’ 6 6 6’ 8 8 8’ 1 3 3’ 2 2’ 4 4’ 10 10’ 5 5’ 9 9’ 6 6’ 7 7 8 8’ 61 31 21 71 51 81 32 22 62 52 6’2 72 2’2 3’2 5’2 82 Cộng khối Trừ khối 11 41 31 21 32 22 2’2 42 3’2 12 X1 Y1 X2 X’2 Y2 Y’2 Cộng khối Trừ khối 11 41 31 21 32 22 2’2 42 3’2 12 X1 Y1 X2 X’2 Y2 Y’2 3.2.6 Các trường hợp đặc biệt khác 1 2 4 3 1 2=4 3 1=3 2 4 1’ 2’=4’ 3’ 2’ 1’=3’ 4’ 1 2 3 1 2 4 3 1’ 4 2’ 4’ 3’ 1 1’ 3 2=4 2’=4’ 3’ Giao của hai mặt trụ có bán kính bằng nhau Giao hai mặt trụ (R1=R2) là hai elíp 1 2≡4 3 1 2 4 3 I II 1 2 4 3 T1 T2 T3 T4 x y x y S1 S2 61 31 21 71 51 81 32 22 62 52 6’2 72 2’2 3’2 5’2 82 S1 63 33 73 53 83 5’3 3’3 6’3 Còn nữa……