Bài giảng Bài toán khoảng cách trong hàm số

Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! I. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ TỚI HAI TRỤC TỌA ĐỘ, HAI TIỆM CẬN Cho hàm số ( ) ( ) ( ): , ; ; oo o o o ax bax bC y M x y C M x cx d cx d  ++ = ∈ →   + + 
Khoảng cách từ M đến trục Ox là 1 + = = + o o o ax bd y cx d
Khoảng cách từ M đến trục Oy là 2 = od x
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng dx c = − là 3 = +o dd x c
Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang ay c = là 4 = −o ad y c
Khoảng cách từ M đến đường thẳng 5 2 2: 0 + + + + = → = + o oAx By Cd Ax By C d A B
Khoảng cách giữa hai điểm ( ) ( ) ( ) ( )2 2; , ;A A B B A B A BA x y B x y AB x x y y→ = − + − Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hàm số ( ) −= + 2 : . 1 xC y x Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho a) khoảng cách từ M đến Oy bằng ba lần khoảng cách từ M đến Ox. b) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang. Hướng dẫn giải: Gọi ( ) ( ) 22; : ; 1 1 o o o o o xxM x y C y M x x x  −− ∈ = →   + +  a) Khoảng cách từ M đến các trục tọa độ lần lần lượt là 1 2; .= =o od x d y Theo bài ta có 2 1 2 2 3 6 2 6 0123 3 3 3 61 4 6 0 2 10 1 − =  − + = ⇒+ − = ⇔ = ⇔ = ⇔ ⇔   −+ + − = → = − ±= − + o o o o ooo o o o oo o o o o o x x x x vnxxd d x y x xx x x x x x Vậy có hai điểm M với hoành độ là 2 10ox = − ± thỏa mãn yêu cầu bài toán. b) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = −1 và tiệm cận ngang là y = 1. Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là 1 1 .= +od x Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là 2 2 31 1 1 1 − = − = − = + + o o o o xd y x x Theo bài ta có 1 2 62 1 1 6 1 6 1 = ⇔ + = ⇔ + = ± → = − ± +o o oo d d x x x x Vậy có hai điểm M với hoành độ là 1 6ox = − ± thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho hàm số ( ) += − 2 1 : . 3 xC y x Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ M đến điểm I ngắn nhất, với I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Hướng dẫn giải: Gọi ( ) ( ) 2 1 7 7; : 2 ;2 3 3 3o o o o xM x y C y M x x x x  + ∈ = = + → +  − − −  Đồ thị có tiệm cận đứng là x = 3 và tiệm cận ngang là y = 2 nên giao điểm của hai tiệm cận là I(3 ; 2). BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ - P1 Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 22 2 2 7 493 2 3 3 3 3 M I M I o o o o o o MI x x y y x y x x x x   = − + − = − + − = − + = − +  − −  Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 49 493 2 3 . 14 14 3 3 o o o o x x MI x x − + ≥ − = → ≥ − − Vậy ( ) ( ) ( ) 2 2 min 2 4914 3 3 7 3 7 3 7 3 o o o o o MI x x x x x = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ + = ± → = − ± + Vậy có hai điểm M với hoành độ là 3 7ox = − ± thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ví dụ 3: [ĐVH]. Tìm M thuộc đồ thị hàm số += + 2 3 1 xy x sao cho a) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang. b) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng ba lần khoảng cách từ M đến trục Oy. c) tổng khoảng cách từ M đến các tiệm cận nhỏ nhất. Hướng dẫn giải: Gọi M(x0; y0) là điểm thuộc đồ thị 00 0 2 3 ; . 1 x M x x  + ⇒   +  Đồ thị có tiệm cận đứng là x + 1 = 0 và tiệm cận ngang là y − 2 = 0 Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là d1 = |x0 + 1| Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang là d2 = |y0 – 2| Theo bài ta có 0 01 2 0 0 0 0 3 2 1 2 1 y x d d x y y x = + = ⇔ + = − ⇔  = − +
Với 0 0200 0 0 0 0 0 00 0 32 33 3 2 0 2 11 x yx y x x x x x yx = ⇒ =+ = + ⇔ = + ⇔ + = ⇔  = − ⇒ =+ 
Với 200 0 0 0 0 0 2 31 1 2 2 0, 1 x y x x x x x + = − + ⇔ = − + ⇔ + + = + phương trình vô nghiệm. Vậy trên đồ thị có hai điểm M thỏa mãn đề bài là M(0; 3) và M(–2; 1). b) Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là d1 = |x0 + 1| Khoảng cách từ M đến trục Oy là d2 = |x0| Theo bài ta có 0 0 1 2 0 0 0 0 1 8 2 33 1 3 1 10 4 3 x y d d x x x y  = ⇒ = = ⇔ + = ⇔   = − ⇒ =  Vậy trên đồ thị có hai điểm M thỏa mãn là 1 8 1 10; , ; . 2 3 4 3 M M   −        c) Ta có 2 3 2 2 1 12 1 1 1 x xy x x x + + + = = = + + + + Gọi M(x0; y0) là điểm thuộc đồ thị 0 0 1 ;2 . 1 M x x   ⇒ +  +  Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là h1 = |x0 + 1| Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang là 2 0 0 12 1 h y x = − = + Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là o-s 1 2 0 0 0 0 1 11 2 1 . 2 2 1 1 BDT C i d h h x x d x x = + = + + ≥ + = ⇒ ≥ + + Dấu bằng đạt được khi ( )2 0 0 00 0 0 0 0 0 71 1 011 1 1 3 1 1 1 2 1 x x y x x x x x y  + = ⇒ = ⇒ =+ = ⇔ + = ⇔ + + = − ⇒ = − ⇒ = Vậy trên đồ thị có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu là ( )70; , 2;1 . 3 M M  −    Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! II. TỔNG KHOẢNG CÁCH ĐẾN HAI TIỆM CẬN Giả sử có đồ thị hàm số ( ) ,( ) f xy g x = trong đó f(x) và g(x) là các hàm bậc nhất. Điểm M thuộc đồ thị nên ( ); .( ) f aM a g a       Đồ thị có tiệm cận đứng là x = α hay x – α = 0 và có tiệm cận ngang là y = β hay y – β = 0. Khoảng cách từ M đến các tiệm cận lần lượt là 1 1 2 α α( ) αβ( ) α d a k d d d akf a ad g a a  = −  → = + = − + −= − = − Theo bất đẳng thức Cô-si ta được α 2 α . 2 α α k k d a a k a a = − + ≥ − = − − min 2 α α αα k d k a a k a k M a ⇒ = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = ± → − Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hàm số ( )= + , . 2 xy C x Tìm điểm M thuộc đồ thị sao cho a) M có tọa độ là số nguyên. b) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất. Hướng dẫn giải: a) Ta có 2 2 21 2 2 2 x xy x x x + − = = = − + + + Gọi M(x; y) thuộc đồ thị, để M có tọa độ là số nguyên thì ( ) 2 12 2 2 2 x x x + = ± + ⇔  + = ±

( )2 1 1 1 1; 1x x y M+ = ⇔ = − ⇒ = − ⇒ − −
( )2 1 3 3 3;3x x y M+ = − ⇔ = − ⇒ = ⇒ −
( )2 2 0 0 0;0x x y M+ = ⇔ = ⇒ = ⇒
( )2 2 4 2 4;2x x y M+ = − ⇔ = − ⇒ = ⇒ − Vậy trên đồ thị hàm số có 4 điểm M có tọa độ là những số nguyên. b) Giả sử ( ); 2 aM a C a   ∈ +  là điểm cần tìm. Đồ thị có tiệm cận đứng x + 2 = 0 và tiệm cận ngang y – 1 = 0. Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là 1 2d a= + , khoảng cách đến tiệm cận ngang là 2 21 2 2 ad a a = − = + + Khi đó, tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là 1 2 2 22 2 2 . 2 2 2 2 d d d a a a a = + = + + ≥ + = + + Vậy min 22 2 2 2 2 2 2 2 d a a a a = ⇔ + = ⇔ + = ± ⇔ = − ± + Từ đó ta được hai điểm M thỏa mãn là 1 2 2 2 2 22 2; , 2 2; . 2 2     − + + − + − −           M M Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho hàm số ( )+= − 2 1 , . 3 xy C x Tìm điểm M thuộc đồ thị sao cho a) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất. b) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận bằng 8. Hướng dẫn giải: Ta có 2 1 2( 3) 7 72 . 3 3 3 + − + = = = + − − − x xy x x x Giả sử ( )7;2 3   + ∈  −  M a C a là điểm cần tìm. Đồ thị có tiệm cận đứng x − 3 = 0 và tiệm cận ngang y – 2 = 0. Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là 1 3= −d a , khoảng cách đến tiệm cận ngang là 2 7 7 3 3 = = − − d a a a) Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là 1 2 7 73 2 3 . 2 7 3 3 = + = − + ≥ − = − − d d d a a a a Vậy min 72 7 3 3 7 3 7 3 = ⇔ − = ⇔ − = ± ⇔ = ± − d a a a a Từ đó ta được hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán. b) Theo bài ta có ( )21 2 4 3 1 273 8 3 8 3 7 0 103 3 7 4 =  − = = = + = − + = ⇔ − − − + = ⇔ ⇔  =− − =  = − a a a d d d a a a aa a a Tương ứng trên đồ thị có 4 điểm M thỏa mãn là ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 44;9 , 2; 5 , 10;3 , 4;1 .− −M M M M Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho hàm số ( )+= − 2 , . 1 x my C x Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Tìm m để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất bằng 10. Hướng dẫn giải: Giả sử ( )2; 1 a mM a C a +  ∈  −  là điểm cần tìm. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x – 1 = 0 và tiệm cận ngang là y – 2 = 0. Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là 1 1d a= − và khoảng cách đến tiệm cận ngang là 2 2 22 1 1 a m md a a + + = − = − − Khi đó, tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là 1 2 2 21 2 1 . 2 2 1 1 m md d d a a m a a + + = + = − + ≥ − = + − − min 23 2 2 10 2 25 27 m d m m m = ⇒ = + = ⇔ + = ⇔  = −
Với m = 23 ta có điều kiện cho dmin: ( ) ( ) 6 6;7251 1 5 1 4 4; 3 a M a a a a M  = ⇒ − = ⇔ − = ⇔  − = − ⇒ − −
Với m = −27 ta có điều kiện cho dmin: ( ) ( ) 6 6; 3251 1 5 1 4 4;7  = ⇒ − − = ⇔ − = ⇔  − = − ⇒ − a M a a a a M Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn và tương ứng có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: [ĐVH]. Cho hàm số ( ) 2 1: . 1 xC y x + = − Tìm điểm M trên (C) sao cho a) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục Ox. b) khoảng cach từ M đến hai tiệm cậng bằng nhau. c) khoảng cách MI ngắn nhất, với I là giao của hai tiệm cận. Bài 2: [ĐVH]. Cho hàm số ( ) 1: . 2 3 xC y x + = + Tìm điểm M trên (C) sao cho a) tiếp tuyến tại M vuông góc với đường thẳng IM, với I là giao điểm của hai tiệm cận b) khoảng cach từ M đến hai tiệm cậng bằng nhau. c) khoảng cách MI ngắn nhất, với I là giao của hai tiệm cận. Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! Bài 3: [ĐVH]. Cho hàm số ( ) 1: . 2 1 + = − xC y x Tìm điểm M trên (C) sao cho a) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục Oy. b) tổng khoảng cách từ M đến các tiệm cận nhỏ nhất. c) khoảng cách MI ngắn nhất, với I là giao của hai tiệm cận. d) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận bằng 2. Bài 4: [ĐVH]. Cho hàm số ( ) 3 2: . 2 3 − = + xC y x Tìm điểm M trên (C) sao cho a) M có tọa độ là số nguyên. b) khoảng cach từ M đến hai trục tọa độ bằng nhau. c) tổng khoảng cách từ M đến các tiệm cận nhỏ nhất.