Bài giảng Bài 2: cực trị hàm số
Hàm số đạt điểm cực đại tại điểm ( ) 0, 0 0 x f = = , hàm số đạt điểm cực tiểu tại
điểm ( ) 1, 1 2 x f = = − .
Bài tập tương tự:
Tìm cực trịcủa các hàm số
Nội dung tài liệu Bài giảng Bài 2: cực trị hàm số, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Nguy n Phú Khánh – à L t
Bài 2: C C TR HÀM S
2.1 TÓM T T LÝ THUY T
1. Khái ni m c c tr hàm s :
f D D » x D
Gi s hàm s xác nh trên t p h p ( ⊂ ) và 0 ∈
a x i m c c i f a b
) 0 ư c g i là m t c a hàm s n u t n t i m t kho ng ( ; )
(a; b) ⊂ D
ch a i m x sao cho: . Khi ó f x ư c
0 f x< f x ∀ x ∈ a b x ( 0 )
( ) (0 ) ( ; ) \ { 0 }
g i là giá tr c c i c a hàm s f .
b x i m c c ti u f a b
) 0 ư c g i là m t c a hàm s n u t n t i m t kho ng ( ; )
(a; b) ⊂ D
ch a i m x sao cho: . Khi ó f x ư c
0 f x< f x ∀ x ∈ a b x ( 0 )
( ) (0 ) ( ; ) \ { 0 }
g i là giá tr c c ti u c a hàm s f .
Giá tr c c i và giá tr c c ti u ư c g i chung là c c tr
N u x 0 là m t i m c c tr c a hàm s f thì ng ư i ta nói r ng hàm s f t c c
tr t i i m x 0 .
Nh ư v ậy : i m c c tr ph i là m t i m trong c a t p h p D( D ⊂ »)
Nh n m nh x a b D x D
: 0 ∈( ; ) ⊂ ngh a là 0 là m t i m trong c a :
Ví d : Xét hàm s f( x ) = x xác nh trên 0; +∞ ) . Ta có f( x )> f ( 0 )
v i m i x > 0nh ưng x = 0 không ph i là i m c c ti u vì t p h p 0; +∞ )
không ch a b t kì m t lân c n nào c a i m 0.
48
Nguy n Phú Khánh – à L t
Chú ý :
• Giá tr c c i ( c c ti u) nói chung không ph i là GTLN (GTNN) c a
f( x 0 )
f trên t p h p D .
• Hàm s có th t c c i ho c c c ti u t i nhi u i m trên tâp h p D .
Hàm s c ng có th không có i m c c tr .
• x là m t i m c c tr c a hàm s f thì i m x f x ư c g i là điểm
0 ( 0;( 0 ) )
cực tr ị c ủa đồ th ị hàm s f .
2. i u ki n c n hàm s t c c tr :
Định lý 1: Gi s hàm s f t c c tr t i i m x 0 . Khi ó , n u f có o hàm
x f x
t i i m 0 thì '( 0 ) = 0
Chú ý :
• o hàm f ' có th b ng 0 t i i m x 0 nh ưng hàm s f không t c c tr t i
i m x 0 .
• Hàm s có th t c c tr t i m t i m mà t i ó hàm s không có o hàm
.
• Hàm s ch có th t c c tr t i m t i m mà t i ó o hàm c a hàm s
b ng 0 , ho c t i ó hàm s không có o hàm .
• Hàm s t c c tr t i x 0 và n u th hàm s có ti p tuy n t i i m
x f x thì ti p tuy n ó song song v i tr c hoành.
( 0;( 0 ) )
Ví d : Hàm s y= x và hàm s y= x 3
3. i u ki n hàm s t c c tr :
nh lý 2: f a b x
Đị Gi s hàm s liên t c trên kho ng ( ; ) ch a i m 0 và có o
a x x b
hàm trên các kho ng ( ; 0 ) và ( 0; ) . Khi ó :
f'( x0) < 0, x ∈ ( a ; x 0 )
a) N u thì hàm s t c c ti u t i i m x . Nói m t
f x> x ∈ x b 0
'(0 ) 0, ( 0 ; )
f x x x
cách khác , n u ' ( ) i d u t âm sang d ươ ng khi qua i m 0 thì hàm s
t c c ti u t i i m x 0 .
x
a x 0 b
f' ( x ) − 0 +
f( a ) f( b )
f x
( )
f x
( 0 )
49
Nguy n Phú Khánh – à L t
f'( x0) > 0, x ∈ ( a ; x 0 )
b) N u thì hàm s t c c i t i i m x . Nói m t
f x< x ∈ x b 0
'(0 ) 0, ( 0 ; )
f x x x
cách khác , n u ' ( ) i d u t d ươ ng sang âm khi qua i m 0 thì hàm s
t c c i t i i m x 0 .
x
a x 0 b
f' ( x ) + 0 −
f x
( 0 )
f x
( )
f( a ) f( b )
Định lý 3: Gi s hàm s f có o hàm c p m t trên kho ng (a; b ) ch a i m
x f x f x
0 , '( 0 ) = 0 và có o hàm c p hai khác 0 t i i m 0 .
a f x f x
) N u ''( 0 ) < 0 thì hàm s t c c i t i i m 0 .
b f x f x
) N u ''( 0 ) > 0 thì hàm s t c c ti u t i i m 0 .
Chú ý:
Không c n xét hàm s f có hay không có o hàm t i i m x= x 0 nh ưng không
hàm s ố liên t ục t ại điểm
th b qua i u ki n " x 0 "
1−x khi x ≤ 0
Ví d : Hàm s f( x ) = không t c c tr t i x = 0 . Vì
x khi x > 0
hàm s không liên t c t i x = 0 .
2.1 D NG TOÁN TH Ư NG G P.
D ng 1 : Tìm các i m c c tr c a hàm s .
Quy tắc 1: Áp d ng nh lý 2
• Tìm f' ( x )
• Tìm các i m xi ( i = 1,2, 3... ) t i ó o hàm b ng 0 ho c hàm s liên t c
nh ưng không có o hàm.
50
Nguy n Phú Khánh – à L t
f x f x x x
• Xét d u c a ' ( ) . N u ' ( ) i d u khi qua i m 0 thì hàm s có c c
tr t i i m x 0 .
Quy t ắc 2: Áp d ng nh lý 3
• Tìm f' ( x )
• Tìm các nghi m xi ( i = 1,2, 3... ) c a ph ươ ng trình f'( x ) = 0 .
• V i m i xi tính f''( x i ) .
− N u f''( x i ) < 0 thì hàm s t c c i t i i m xi .
− N u f''( x i ) > 0 thì hàm s t c c ti u t i i m xi .
Ví d 1 : Tìm c c tr c a các hàm s :
3 2 4 2
1. y= x + 3 x + 3 x + 5 2. y= − x + 6 x − 8 x + 1
Gi i :
1. y= x3 + 3 x 2 + 3 x + 5
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » .
* Ta có: y'= 3 x2 + 6 x + 3 = 3( x + 1) 2 ≥ 0 ∀ x ⇒ Hàm s không có c c tr .
Chú ý:
* N u y ' không i d u thì hàm s không có c c tr .
* i v i hàm b c ba thì y '= 0 có hai nghi m phân bi t là i u c n và
hàm có c c tr .
2. y= − x4 + 6 x 2 − 8 x + 1
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » .
* Ta có: y'= − 4 x3 + 12 x − 8 = − 4( x − 1) 2 ( x + 2)
y'= 0 ⇔ − 4( x − 1)2 ( x + 2) = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = − 2
* B ng bi n thiên
x −∞ −2 1 +∞
y ' + 0 + 0 −
25
y
−∞ −∞
V y, hàm t c c i t i x = − 2 v i giá tr c c i c a hàm s là y(− 2) = 25 ,
hàm s không có c c ti u.
Bài t ập t ự luy ện:
Tìm c c tr c a các hàm s :
4x2 − 3 x 4x2 + 4 x − 1
1. y = 2. y =
x − 1 2x2 + 4 x + 3
51
Nguy n Phú Khánh – à L t
Ví d 2 : Tìm c c tr c a các hàm s :
2
1. y= x 4 − x 4. y= 2 x + 1 − 2 x 2 − 8
2 1
2. y= 2 x − x − 3 5. y= x − 12 − 3 x 2
2
3 2
3. y= − x + 3 x
Gi i :
1. y= f( x) = x 4 − x 2
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên o n −2;2
4− 2 x 2
* Ta có y'= , x ∈( − 2;2 )
4 − x 2
Hàm s không có o hàm t i các i mx= −2, x = 2 .
Suy ra, trên kho ng (−2;2 ) :y'= 0 ⇔ x = − 2, x = 2
B ng xét d u y '
x −2 − 2 2 2
y ' − 0 + 0 −
y ' i d u t âm sang d ươ ng khi x qua i m − 2 thì hàm s t c c ti u t i
i m x = − 2, y (−2) = − 2 ;
y ' i d u t d ươ ng sang âm khi x qua i m 2 thì hàm s t c c i t i
i m x = 2, y ( 2) = 2 .
2. y= 2 x − x 2 − 3
Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên .
* (−∞; − 3 ∪ 3; +∞ )
x2 x2 − 3 − x
* Ta có: y'= 2 − = , x ∈( −∞ ; − 3) ∪( 3; +∞ ) .
x2−3 x 2 − 3
Hàm s không có o hàm t i các i mx= −3, x = 3 .
Suy ra, trên m i kho ng (−∞; − 3) ,( 3; +∞ ):y '= 0
x ∈ −∞; − 3 ∪ 3; +∞ 0≤x < 3
⇔( ) ( ) ⇔ ⇔x = 2 .
2 4(x2− 3) = x 2
2x− 3 = x
Tươ ng t trên suy ra hàm s t c c ti u t i i m x=2, y (2) = 3 , hàm s
không có c c i.
52
Nguy n Phú Khánh – à L t
3. y= − x3 + 3 x 2
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên n a kho ng (−∞ ;3] .
−3(x2 − 2 x )
* Ta có: y'= , x < 3, x ≠ 0
2−x3 + 3 x 2
Hàm s không có o hàm t i các i mx=0, x = 3 .
Suy ra, trên m i kho ng (−∞ ;3 ) :y'= 0 ⇔ x = 2
* B ng bi n thiên:
x −∞ 0 2 3
y ' − || + 0 − ||
+∞ 2
y
0 0
Hàm s t c c i t i i m x=2, y (2) = 2 và t c c ti u t i i m
x=0, y (0) = 0 .
Chú ý:
* bài 2 ví d 2 m c dù x = ± 3 là i m mà t i ó hàm s không có o hàm
tuy nhiên hàm s l i không xác nh trên b t kì kho ng (a ; b ) nào c a hai i m
này nên hai i m này không ph i là i m c c tr c a hàm s .
* Tươ ng t v y thì x = 3 c a hàm s câu 3 c ng không ph i là i m c c tr
nh ưng x = 0 l i là i m c c tr c a hàm s .
4. y= 2 x + 1 − 2 x 2 − 8
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên n a kho ng (−∞; − 2 , 2; +∞ ).
2x
* Ta có: y'= 2 − , x ∈( −∞ ; − 2 ) ∪ ( 2; +∞ ) .
2x 2 − 8
Hàm s không có o hàm t i các i mx= −2, x = 2 .
Suy ra, trên các kho ng (−∞; − 2) ,( 2; +∞ ) :y '= 0
x ∈( −∞; − 2) ∪( 2; +∞ ) 0≤x < 2
⇔ ⇔ ⇔x = 2 2 .
2 x 2 =
2x− 8 = x 8
* B ng bi n thiên:
x −∞ −2 2 2 2 +∞
y ' + || || − 0 +
y
53
Nguy n Phú Khánh – à L t
Trên kho ng (2;2 2) :y ' 0 i m c c ti u là
(2 2;3 2+ 1 ) .
1
5. y= x − 12 − 3 x 2
2
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên o n −2;2 .
2
1 12− 3x + 3 x
* Ta có: y'= , ∀ x ∈ − 2;2
2 ( )
2 12− 3 x
Hàm s không có o hàm t i các i mx= −2, x = 2 .
Suy ra, trên kho ng (−2;2 ) :y '= 0
x ∈( − 2;2 ) −2 <x ≤ 0
⇔ ⇔ ⇔x = − 1
2 x 2 =
12− 3x = − 3 x 1
* B ng bi n thiên:
x −∞ −2 −1 2 +∞
y ' || − 0 + ||
y
Trên kho ng (−2; − 1) :y ' 0 suy ra i m c c ti u
là (−1; − 2 ) .
Bài t ập t ươ ng t ự :
Tìm c c tr c a các hàm s :
1. y= x +1 + 2 x 2 − 8 3. y= x +2 x2 + x + 1
x 2
2. y= + x 2 + 3 4. y= x16 − x +( x − 1 ) x
2
Ví d 3 : Tìm c c tr c a các hàm s :
1. y= f( x) = x
2. y= f( x) = x( x + 2 )
3. y= f( x) = x( x − 3 )
Gi i :
1. y= f( x) = x
54
Nguy n Phú Khánh – à L t
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » .
x khi x ≥ 0
y = .
−x khi x < 0
1 khi x > 0
* Ta có y ' =
−1khi x < 0
Trên kho ng (−∞ ;0 ) :y ' 0 .
* B ng bi n thiên
x −∞ 0 +∞
y ' − +
y +∞ +∞
0
Hàm s t i m c c ti u t i i m x=0, f ( 0) = 0 .
x( x+2) khi x ≥ 0
2. y= f x = x x + 2 =
( ) ( )
−x( x +2 ) khi x < 0
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » .
2x+ 2 > 0 khi x > 0
* Ta có y ' =
−2x − 2 khi x < 0
Hàm s liên t c t i x = 0 , không có o hàm t i x = 0 .
Trên kho ng (−∞ ;0 ) :y'= 0 ⇔ x = − 1 ,trên kho ng (0; +∞ ) : y '> 0 .
* B ng bi n thiên
x −∞ −1 0 +∞
y ' + 0 − +
y +∞
−∞ 0
V y hàm s t c c i t i i m x= −1, f ( − 1) = 1 , hàm s t c c ti u t i i m
x=0, f ( 0) = 0 .
3. y= f( x) = x( x − 3 )
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » .
x( x−3) khi x ≥ 0
y= f x = .
( )
−x( x −3 ) khi x < 0
55
Nguy n Phú Khánh – à L t
3x − 1
( )
khi x > 0
* Ta có y ' = 2 x
3 − x +
−x khi x < 0
2 −x
Trên kho ng (−∞ ;0 ) :y '> 0 ,trên kho ng (0; +∞ ) :y'= 0 ⇔ x = 1
* B ng bi n thiên
x −∞ 0 1 +∞
y ' + − 0 +
y 0 +∞
−∞ −2
Hàm s t i m c c i t i i m x=0, f ( 0) = 0 , hàm s t i m c c ti u t i
i m x=1, f ( 1) = − 2 .
Bài t ập t ươ ng t ự :
Tìm c c tr c a các hàm s :
1. y= x + 1 + x 4. y= 2 x − 4 + 2 x 2 − 8
2. y= x2 + x − x 2 − 4
5. y= x + 3 + 9 x + x 2
2
3. y= x + 2 4 − x 6. y= 2 − x + 1 + x − 2 + x − x 2
Ví d 4 : Tìm c c tr c a các hàm s sau
1.y= 2 sin 2 x − 3 2.y= 3 − 2 cos x − cos2 x
Gi i :
1. y= 2 sin 2 x − 3
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » .
* Ta có y'= 4 cos2 x
π π
y'= 0 ⇔ cos2 x = 0 ⇔ x = + k , k ∈ » ,
4 2
y''= − 8 sin 2 x
π π π −8 khi k = 2 n
y''+ k = − 8 sin + k π =
4 2 2 8khi k= 2 n + 1
π π
V y hàm s t c c i t i các i m x= + nπ; y + n π = − 1 và t c c
4 4
π π π π
i t i x= +(2 n + 1 ) ; y +( 2 n + 1 ) = − 5
4 2 4 2
56
Nguy n Phú Khánh – à L t
2. y= 3 − 2 cos x − cos2 x
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » .
* Ta có y'= 2 sin x + 2 s in2 x = 2 sin x( 1 + 2 cos x )
sinx= 0 x = k π
y '= 0 ⇔1 2π ⇔ 2 π , k ∈ » .
cosx= − = cos x = ± + k 2 π
2 3 3
y''= 2 cos x + 4 cos2 x
2π 2 π 2π
y''± + k 2π = 6 cos = − 3 < 0 . Hàm s t c c i t i x= ± + k 2π ,
3 3 3
2π 1
y± + k 2π = 4
3 2
y''( kπ) = 2 cos k π + 4 > 0, ∀ k ∈ » . Hàm s t c c ti u t i
x= kπ , y( k π) = 2( 1 − cos k π )
Bài t ập t ươ ng t ự:
Tìm c c tr c a các hàm s :
1. y= x − 2 sin 2 x . 5. y= x − 2 sin 2 x .
2. y= xt a n x . 6. y= xt a n x .
3. y= cos 2 x . 7. y= cos 2 x .
4. y=3 cos x + 3 sin x . 8. y=3 cos x + 3 sin x .
π
Ví d 5: Tìm c c tr c a hàm s : y= cos x sin x trên o n 0; .
2
Gi i:
π
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c o n 0; .
2
cosx 1− 3 sin 2 x
* Ta có : y'= − sin x sin x + .cos x = .
2 sinx 2 sin x
π
x ∈ 0;
π 1
Trên kho ng 0; : y'= 0 ⇔ 2 ⇔ sin x = ( * )
2 2 1 3
sin x =
3
1
T n t i góc β sao cho sin β = , khi ó (*) ⇔x = β .
3
57
Nguy n Phú Khánh – à L t
1 6 4 12
V i sin β = thì cos β = và y (β ) =cos β sin β =
3 3 3
B ng xét d u y ':
x π
0 β
2
y ' + 0 −
4 1
Hàm s t c c i t i x=β, y ( β ) = 12 v i sin β = .
3 3
Bài t ập t ươ ng t ự:
Tìm c c tr c a các hàm s :
π π
1. y=(cos2 x + 1) sin 2 x trên kho ng − ; .
2 2
x x
2. y =2 cos + 3 cos trên kho ng (0;20 π ) .
2 3
π π
3. y=cot x + 4 x trên o n − ; .
4 4
cosx+ 2sin x + 3
4. y = trên kho ng −π; π .
2cosx− sin x + 4 ( )
Ví d 6: Tìm c c tr c a hàm s : y=cos3 x + sin 3 x + 3 sin 2 x .
Gi i:
y=cos3 x + sin 3 x + 3 sin 2 x =( cos x + sin x )( 1 − cos x .sin x ) + 3 sin 2 x
1 1
Vì 1− cosx . sin x =( 2 − 2cos x .sin x ) =( 2 − sin2 x ) > 0
2 2
Nên y=cos x + sin x( 1 − cos x . sin x) + 3 sin 2 x
t 2 −1
t t=cos x + sin x⇒ cos x .sin x= , 0 ≤ t ≤ 2
2
13 3 2 3 3
Khi ó y= f t = − t + t + t − , 0 ≤t ≤ 2
( ) 2 2 2 2
2
32 3
Ta có : y'= − t + 2 t + 1 = 2 − t − 1 > 0, ∀ t ∈ 0; 2 , suy ra hàm s
2( ) 2 ( )
không có c c tr .
Ví d 7: Tính o hàm c a hàm s t i i m x = 0 và ch ng minh r ng hàm
s t c c ti u t i x = 0, bi t r ng hàm s f( x ) xác nh b i :
58
Nguy n Phú Khánh – à L t
3 2
1+x sin x − 1
, x ≠ 0
f( x ) = x .
0 ,x = 0
Gi i :
f( x )− f (0)3 1 + x sin2 x − 1
f '( 0 ) = lim = lim
x→0x x → 0 x 2
xsin 2 x
f '( 0 ) = lim
x →0 2
x23 (1+ x sin 2 x ) +3 1 + x sin 2 x + 1
sinx 1
f'( 0 ) = lim sin x . .= 0
x →0 x 2
3 (1+x sin2 x ) +3 1 + x sin 2 x + 1
M t khác x ≠ 0 , ta có :
sin 2 x
f x = ⇒ f x≥0 = f 0 .
( ) 2 ( ) ( )
3 (1+x sin2 x ) +3 1 + x sin 2 x + 1
Vì hàm s f( x ) liên t c trên » nên hàm s f( x ) t c c ti u t i x = 0.
1
x2 sin , x ≠ 0
Ví d 8 : Cho hàm s f( x ) = x . Ch ng minh r ng
0 ,x = 0
f '(0)= 0 nh ưng hàm s f( x ) không t c c tr t i i m 0 .
Gi i :
f( x )− f ( 0 ) 1
Ta có = x sin v i m i x ≠ 0 .
x x
1 f( x )− f ( 0 )
V i m i x ≠ 0 : xsin ≤ x và limx = 0 nên lim= 0 . Do ó
x x →0 x →0 x
hàm s f( x ) có o hàm t i x = 0 và f '(0)= 0 .
1 1
L y m t dãy x = , khi ó f( x )= sin2 nπ = 0, ∀ n .
n n 2
2nπ (2nπ )
Gi s (a; b ) là m t kho ng b t k ch a i m 0 .
Vì limx = 0 nên v i n l n x∈ a; b và do f( x )= 0 = f 0 , ∀ n , theo
x →0 n n ( ) n ( )
nh ngh a c c tr c a hàm s , x = 0 không ph i là m t i m c c tr c a f( x ) .
59
Các file đính kèm theo tài liệu này:
Chuong[1]-Bai[2]-Dang[1].pdf
