Bài 6: Ánh xạ tuyến tính và Ma trận

Bài 6: Ánh xạ tuyến tính và Ma trận 77 Bài 6: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH VÀ MA TRẬN Mục tiêu Nội dung • Nắm được khái niệm về ánh xạ tuyến tính, • Nắm được khái niệm về hạt nhân và ảnh • Nắm được khái niệm về hạng của ánh xạ tuyến tính • Khái niệm về ma trận của ánh xạ tuyến tính. • Giải được các bài toán về ánh xạ tuyến tính, hạt nhân và ảnh, hạng của ánh xạ Thời lượng Bạn đọc nên để 15 giờ để nghiên cứu LT + 8 giờ làm bài tập. Ánh xạ tuyến tính giúp ta hiểu được những yếu tố quyết định dẫn đên cấu trúc của không gian véc tơ. Bài 6 bao gồm bốn nội dung chính : • Khái niệm chung • Các tính chất của ánh xạ tuyến tính – Hạt nhân và ảnh • Hạng của ánh xạ tuyến tính – định lí về số chiều • Ma trận của ánh xạ tuyến tính Bài 6: Ánh xạ tuyến tính và Ma trận 78 Bài toán mở đầu : Mô hình cân đối liên ngành dạng ma trận Ký hiệu A là ma trận chi phí X là véc tơ tổng sản phẩm các ngành, Y là véc tơ các sản phẩm cuối cùng, E là ma trận đơn vị, ta có hệ thức : (E – A) X = Y Ta có một ánh xạ tuyến tính từ X vào Y diễn tả bởi ma trận (E – A) 6.1. Khái niệm chung 6.1.1. Khái niệm ánh xạ tuyến tính Định nghĩa 6.1 Cho V, W là hai không gian véc tơ. Ánh xạ f: V → W gọi là ánh xạ tuyến tính nếu nó có hai tính chất sau (1) f(u + v) = f(u) + f(v); ∀u, v ∈ V (2) f(αu) = αf(u) ∀α ∈ \, ∀u ∈ V. Từ điều kiện 2) ta có f(θ) = f(0θ) = 0 f(θ) = θ Vậy ánh xạ tuyến tính chuyển véc tơ không thành véc tơ không. Kết hợp các điều kiện (1) và (2) ta có f(αx + αy) = αf(x) + αf(y) , ∀x, y ∈ V, α, β ∈ \ Một cách tổng quát quy nạp ta có n n i i i i i i i 1 i 1 f x f (x ), x V, , i 1, 2,..., n = = ⎛ ⎞α = α ∀ ∈ α ∈ =⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ \ (*) Hệ thức (*) chứng tỏ rằng ánh xạ tuyến tính chuyển một hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính thành một hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính . Nếu ánh xạ tuyến tính là một đơn ánh thì gọi là đơn cấu Nếu ánh xạ tuyến tính là một toàn ánh thì gọi là toàn cấu Nếu ánh xạ tuyến tính là một song ánh thì gọi là đẳng cấu. Khi có một đẳng cấu f : V → V′ thì ta nói hai không gian véc tơ V và V′ đẳng cấu với nhau và ký hiệu V ≅ V′. Ví dụ 1: Cho ánh xạ f: \3 → \3 xác định bởi f(x, y, z) = (x + 2y + 3z, 4x + 5y + 6z, 7x + 8y + 9z). Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính. Giải: Đặt u1 = (x1, y1, z1), u2 = (x2, y2, z2) ta có f[α1u1 + α2u2] = f[(α1x1 + α2x2),(α1y1 + α2y2), (α1z1 + α2z2)] = [α1x1 + α2x2 + 2α1y1 + 2α2y2 + 3α1z1 + 3α2z2, Bài 6: Ánh xạ tuyến tính và Ma trận 79 4α1x1 + 4α2x2 + 5α1y1 + 5α2y2 + 6α1z1 + 6α2z2, 7α1x1 + 7α2x2 + 8α1y1 + 8α2y2 + 9α1z1 + 9α2z2] = α1(x1 + 2y1 + 3z1, 4x1 + 5y1 + 6z1, 7x1 + 8y1 + 9z1) + + α2(x2 + 2y2 + 3z2, 4x2 + 5y2 + 6z2, 7x2 + 8y2 + 9z2) = α1f(x1, y1, z1) + α2f(x2, y2, z2) = α1f(u1) + α2f(u2) nghĩa là f[α1u1 + α2u2] = α1f(u1) + α2f(u2). Vậy f là ánh xạ tuyến tính. Ví dụ 2: Cho V là không gian véc tơ n chiều và B = {w1, w2,..., wn} là một cơ sở của V. Khi đó, mỗi véc tơ u ∈ V có thể biểu diễn duy nhất u = c1w1 + c2w2 +...+ cnwn nghĩa là uB = (c1, c2,..., cn) ∈ \n. Xét ánh xạ f: V → \n xác định bởi f(u) = uB. Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính. Giải: Ta có v ∈ V ⇒ v = d1w1 + d2w2 +...+ dnwn nghĩa là vB = (d1, d2,..., dn) ∈ \n. Do đó [u + v]B = (c1 + d1, c2 + d2,..., cn + dn) = (c1, c2,..., cn) + (d1, d2,..., dn) = uB + vB ⇔ f(u + v) = f(u) + f(v) [αu]B = (αc1, αc2,..., αcn) = α(c1, c2,..., cn) = αuB ⇔ f(αu) = αf(u). Vậy f là ánh xạ tuyến tính. 6.1.2. Các phép toán về ánh xạ tuyến tính • Giả sử V và W là hai không gian véc tơ và f: V → W g: V → W là hai ánh xạ tuyến tính từ V tới W. o Ta định nghĩa tổng f + g của hai ánh xạ tuyến tính và tích αf của một ánh xạ tuyến tính với một số thực α như sau ∀u ∈ V, (f + g)(u) = f(u) + g(u) ∈ W ∀u ∈ V, (αf)(u) = αf(u) ∈ W. Dễ thấy rằng f + g và αf cũng là những ánh xạ tuyến tính từ V tới W. Bài 6: Ánh xạ tuyến tính và Ma trận 80 o Bây giờ gọi L(V, W) là tập tất cả những ánh xạ tuyến tính từ V tới W. Với hai phép toán cộng ánh xạ tuyến tính và nhân ánh xạ tuyến tính với một số thực vừa định nghĩa có thể chứng minh được rằng L(V, W) là một không gian véc tơ trên trường số thực \. • Giả sử V, W, U là ba không gian véc tơ và f: V → W g: W → U Khi đó, ánh xạ hợp g ο f xác định bởi (∀u ∈ V) (g ο f )(u) = g(f(u)) ∈ U là một ánh xạ tuyến tính từ V tới U. 6.1.3. Sự đẳng cấu của không gian n chiều với \n Định nghĩa 6.2: Hai không gian véc tơ V và V′ gọi là đẳng cấu nếu giữa các véc tơ x ∈ V và các véc tơ x′ ∈ V′ có một tương ứng 1 – 1: x ↔ x′ sao cho nếu x ↔ x′ và y ↔ y′ thì x + y ↔ x′ + y′ αx ↔ αx′, α ∈ \. Hai không gian đẳng cấu có những tính chất giống nhau. Định lí 6.1: Mọi không gian n chiều V đều đẳng cấu với \n. Chứng minh: Xét ánh xạ f: V → \n xác định bởi v ∈ V ⇒ f(v) = (v)B ∈ \n Trong đó B là một cơ sở của V. Theo ví dụ ở trên f là ánh xạ tuyến tính và tạo ra một tương ứng 1 – 1 giữa V và \n nghĩa là x ∈ V ↔ (x)B ∈ \n y ∈ V ↔ (y)B ∈ \n Ta có x + y ∈ V ↔ (x + y)B = (x)B + (y)B ∈ \n αxV ↔ (αx)B = α(x)B ∈ \n. Vậy V đẳng cấu với \n. 6.2. Các tính chất của ánh xạ tuyến tính - Hạt nhân và ảnh 6.2.1. Các tính chất của ánh xạ tuyến tính Định lí 6.2: Cho V và W là hai không gian véc tơ. Nếu f: V → W là một ánh xạ tuyến tính thì a. f(θ) = θ Bài 6: Ánh xạ tuyến tính và Ma trận 81 b. f(–v) = –f(v), ∀v ∈ V c. f(u – v) = f(u) – f(v), ∀u, v ∈ V. Chứng minh: a. Giả sử v ∈ V. Vì θv = θ nên f(θ) = f(θv) = θ(v) = θ b. Vì –v = (–1)v nên f(–v) = f[(–1)v] = (–1)f(v) = –f(v). c. Vì u – v = u + (–v) nên f(u – v) = f[u + (–1)v] = f(u) – f(v). 6.2.2. Khái niệm về hạt nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa 6.3: Giả sử V và W là hai không gian véc tơ và f: V → W là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó, tập tất cả các phần tử của V có ảnh là θ ∈ W gọi là hạt nhân của f, ký hiệu là Ker(f). Ker(f) = {x ⎜x ∈ V, f(x) = θ}. Tập tất cả các phần tử của W là ảnh của ít nhất một phần tử của V gọi là ảnh của f, ký hiệu là Im(f). Im(f) = {y ⎜y∈ W, ∃x ∈ V, f(x) = y}. Như vậy Im(f) = f(V). Tính chất của nhân và ảnh. Định lí 6.3: Nếu f: V → W là một ánh xạ tuyến tính thì a. Ker(f) là một không gian con của V. b. Im(f) là một không gian con của W 6.3. Hạng của ánh xạ tuyến tính – Định lí về số chiều Định nghĩa 6.4: Nếu f: V → W là một ánh xạ tuyến tính thì số chiều của Im(f) gọi là hạng của f, ký hiệu là rank(f). rank(f) = dim(Im(f)). Định lí 6.4: (về số chiều) Nếu f: V → W là một ánh xạ tuyến tính thì dim(Im(f)) + dim(Ker(f)) = n, trong đó n = dimV, tức là rank(f) + dim(Ker(f)) = n. Ví dụ: Xét ánh xạ tuyến tính f: \3 → \4. f(x; y; z)= (x + z; y – x; z + y; x + y + 2z) a. Xác định các ảnh theo f của các véc tơ cơ sở chính tắc e1, e2, e3 của \3. Tính hạng của hệ các véc tơ ảnh {f(e1); f(e2); f(e3)}. b. Xác định hạt nhân Ker(f) và số chiều của f(\3). c. Cho dạng tổng quát của các véc tơ của f(\3) và một cơ sở của không gian con này. Bài 6: Ánh xạ tuyến tính và Ma trận 82 Giải: a. e1 = (1; 0; 0), e2 = (0; 1; 0), e3 = (0; 0; 1) f(e1) = (1; –1; 0; 1) f(e2) = (0, 1, 1, 1) f(e3) = (1, 0, 1, 2). Ta nhận thấy f(e3) = f(e1) + f(e2). Vì vậy, ta xét xem f(e1), f(e2) có độc lập tuyến tính không, nghĩa là xét α1f(e1) + α2f(e2) = 0? 1 1 2 1 2 2 1 2 0 0 0 0 0. 0 α =⎧⎪−α + α = α =⎧⎪ ⇒⎨ ⎨α = α =⎩⎪⎪α + α =⎩ Vậy hai véc tơ f(e1), f(e2) là độc lập tuyến tính. Do đó rank {f(e1), f(e2), f(e3)} = 2. b. Theo định nghĩa Ker(f) = {(x, y, z) ⎜ (x + z, y – x, z + y, x + y + 2z) = (0, 0, 0, 0)}. Từ đó, ta có hệ x z 0 (1) z x y x 0 (2) y x z 2y 0 (3) (3) (1) (2) x y 2z 0 (4) (4) 2(1) (2) + = = −⎧ ⎧⎪ ⎪− = =⎪ ⎪⇒⎨ ⎨+ = = +⎪ ⎪⎪ ⎪+ + = = +⎩ ⎩ Kerf = {(x; y; z) ⎜ z = –x; y = x} = {x(1; 1; –1) ⎜ x ∈ \}. Vậy dim Ker(f) = 1. dim f(\3) = dim \3 – dim Ker(f) = 3 – 1 = 2. c. Đặt X x z Y y x = +⎧⎨ = −⎩ ⇒ z + y = X + Y ⇒ x + y + 2z = (x + z) + (z + y) = X + X + Y = 2X + Y. Vậy f(\3) = {(X; Y; X + Y; 2X + Y) ⎜ X ∈ \, Y ∈ \}. Vì (X; Y; X + Y; 2X + Y) = X(1; 0; 1; 2) + Y(0; 1; 1; 1) nên một cơ sở của (\3) là các véc tơ 3 2 (1; 0; 1; 2) f (e ) (0; 1; 1; 1) f (e ). ⎧ =⎪⎨ =⎪⎩ Bài 6: Ánh xạ tuyến tính và Ma trận 83 6.4. Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa 6.5: Cho V, W là hai không gian véc tơ n chiều và m chiều tương ứng, {e1, e2 ,..., en } và {f1, f2, ..., fm} (I,II) là cặp cơ sở của V và W. Nếu f : V → W là một ánh xạ tuyến tính thì m i ji j j 1 f (e ) a f (i 1, 2,..., n). = = =∑ (6.1) Ma trận 11 12 1n 21 22 2n m1 m2 mn a a ... a a a ... a A a a ... a ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ # # # gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f theo các cơ sở {ei}n và {fj}m. Nếu sử dụng ma trận thì n đẳng thức (6.1) có thể viết một cách hình thức dưới dạng đẳng thức ma trận (f(e1),..., f(en)) = (f1,..., fm)A. (6.2) Nếu biết ma trận A của ánh xạ tuyến tính f đối với cặp cơ sở (I, II) thì đối với mỗi véc tơ x ∈ V cho trước, ta luôn luôn tính được tọa độ của véc tơ f(x) đối với cơ sở (II). Thực vậy, giả sử rằng n i i i 1 x e = = α∑ (a) m i i i 1 f (x) f = = β∑ (b) Hãy tính các giá trị βi , i = 1,2,..,m. Hệ thức (b) có thể viết dưới dạng ma trận f(x) = (f1,..., fm) 1 m β⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟β⎝ ⎠ # (c) Mặt khác vì f là một ánh xạ tuyến tính nên theo (a) ta có 1n i i 1 n i 1 n f (x) f (e ) (f (e ),..., f (e )) = α⎛ ⎞⎜ ⎟= α = ⎜ ⎟⎜ ⎟α⎝ ⎠ ∑ # Theo công thức (6.2) ta có f(x) = (f1,..., fm)A 1 n α⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟α⎝ ⎠ # (d) Bài 6: Ánh xạ tuyến tính và Ma trận 84 Từ các hệ thức (c) và (d) ta có (f1,..., fm) 1 m β⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟β⎝ ⎠ # = (f1,..., fm)A 1 n α⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟α⎝ ⎠ # (e) Vì hệ véc tơ {f1,...,fm} độc lập tuyến tính, từ hệ thức (e) ta suy ra rằng 1 m β⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟β⎝ ⎠ # = A 1 n α⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟α⎝ ⎠ # (6.3) Theo đẳng thức ma trận (6.3) ta có n i k ik k 1 a , i 1, 2,..., m. = β = α =∑ (6.4) Định lí 6.5: Hạng của ma trận A bằng số chiều Im(f). Chứng minh: Ta có {f(e1),..., f(en)} là một hệ sinh của Im(f). Do đó, số chiều của Im(f) bằng hạng của hệ véc tơ {f(e1),...f(en)}, nhưng hạng của {f(e1),..., f(en)} bằng hạng của A. Do đó r(A) = dim(Im(f)). Ví dụ: Ký hiệu {e1, e2, e3, e4} là cơ sở chính tắc của \4 và {ξ1, ξ2, ξ3} là một cơ sở chính tắc của \3. Xét ánh xạ tuyến tính f: \4 → \3 xác định bởi 1 1 2 3 2 4 1 2 3 3 1 2 3 f (e ) 2 f (e ) f (e ) 2 (*) f (e ) 2 4 3 ⎧ = ξ + ξ + ξ⎪ = = − ξ − ξ + ξ⎨⎪ = ξ + ξ + ξ⎩ a. Xác định ma trận của ánh xạ tuyến tính f, từ đó suy ra hạng của f. b. Xác định một cơ sở của hạt nhân Ker (f), từ đó suy ra hạng của f. Giải: a. Từ (*) ta có ma trận của f 1 1 2 1 A 2 2 4 2 1 1 3 1 − −⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ b. (x, y, z, t) = xe1 + ye2 + ze3 + te4 f(x, y, z, t) = xf(e1) + yf(e2) + zf(e3) + tf(e4) = x(ξ1 + 2ξ2 + ξ3) + y(–ξ1 – 2ξ2 + ξ3) + + z(2ξ1 + 4ξ2 + 3ξ3) + t(–ξ1 – 2ξ2 + ξ3) = (x – y + 2z – t)ξ1 + (2x – 2y + 4z – 2t)ξ2 + (x + y + 3z + t)ξ3 Bài 6: Ánh xạ tuyến tính và Ma trận 85 Vì vậy f(x; y; z; t) = (x – y + 2z – t; 2x – 2y + 4z – 2t; x + y + 3z + t) Ker(f) = {(x; y; z; t) ⎜(x – y + 2z – t; 2x – 2y + 4z – 2t; x + y + 3z + t) = (0; 0; 0} x y 2z t 0 2x 2y 4z 2t 0 x y 3z t 0 − + − =⎧⎪ − + − =⎨⎪ + + + =⎩ 2x + 5z = 0 ⇒ x = 5 z 2 − 4y + 2z + 4t = 0 ⇒ y = z t 2 − − Ker(f) = 5 z(x; y; z; t) x z; y t; z; t 2 2 ⎧ ⎫⏐ = − = − − ∈⎨ ⎬⎩ ⎭\ = 5 1z ; ; 1; 0 t(0; 1; 0; 1) z, t . 2 2 ⎧ ⎫⎛ ⎞− − + − ⏐ ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭\ Như thế một cơ sở của Ker(f) gồm hai véc tơ u = (5; 1; –2; 0) và v = (0; –1; 0; 1). dimKer(f) = 2 rank(f) = dim\4 – dimKer(f) = 4 – 2 = 2. Bài 6: Ánh xạ tuyến tính và Ma trận 86 TÓM LƯỢC CUỐI BÀI • Các bạn đã được học về Ánh xạ tuyến tính. • Các bạn cần ghi nhớ các vấn đề sau: • Nắm được khái niệm về ánh xạ tuyến tính, hạt nhân và ảnh; • Nắm được khái niệm về ma trận của ánh xạ tuyến tính; • Giải được các bài toán về ánh xạ tuyến tính, hạt nhân và ảnh. Bài tiếp theo các bạn sẽ được học về Toán tử tuyến tính, Trị riêng và véc tơ riêng. Bài 6: Ánh xạ tuyến tính và Ma trận 87 BÀI TẬP 1. Cho ánh xạ f: \2 → \3 xác định bởi f(x; y) = (x; x + y; x – y). Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính 2. Cho f là ánh xạ từ \3 vào \3 xác định bởi 1 1 2 1 2 3 2 3 x x f : x x x x x x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 6 a. Viết ma trận của f. Xác định Ker(f), f là đơn ánh ? b. Chứng minh rằng P = {(x1, x2, x3) ∈ \3 ⎜x1 + x2 + x3 = 0} là một không gian véc tơ con của \3. Xác định số chiều và cơ sở của f(P). 3. Xét ma trận M = 2 1 0 2 2 1 0 2 2 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ f là toán tử tuyến tính trên \3 mà ma trận của nó theo cơ sở chính tắc B = (e1, e2, e3) là M. a. Xác định Im(f) và Ker(f). Hãy cho một cơ sở của các không gian con đó. b. Giả sử B’ = (2e1 + 2e2, 2e1 – 2e2, 2e3) là một cơ sở khác của \3. Hãy xác định ma trận chuyển từ B sang B′. c. Từ đó suy ra ma trận f ứng với cơ sở B′. 4. Cho E và E′ là hai không gian con của \4. E sinh bởi các véc tơ u = (1; 1; 0; 0), v = (0; 1; 1; 0) và w = (1; a; 0; b) còn E′ sinh bởi các véc tơ u′ = (1; 0; 0; 1), v′ = (0; 0; 1; 1) và w′ = (1; c; 1; d) với a, b, c, d là các tham số thực. Xét toán tử tuyến tính f của \3 xác định bởi f(x; y; z; t) = (t; z; y; x). a. Cho biểu diễn của một véc tơ của f(E). Nghiên cứu số chiều của f(E) theo các tham số. b. Cũng câu hỏi như vậy cho f(E′). c. Xác định các tham số a, b, c, d sao cho f(E) và f(E′) là các bổ sung. Bài 6: Ánh xạ tuyến tính và Ma trận 88 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Hãy chọn phương án đúng. 1. Xét ánh xạ tuyến tính ϕ: \4 → \3 xác định bởi ϕ(1, 0, 0, 0) = (1, 0, 2) ϕ(0, 1, 0, 0) = (2, 1, 0) ϕ(0, 0, 1, 0) = (0, –1, 1) ϕ(0, 0, 0, 1) = (1, 1, –1). Cho véc tơ x = (2, –1, 0, 1). Khi đó A. ϕ(x) = (1, 0, 5) B. ϕ(x) = (1, 0, –5) C. ϕ(x) = (–1, 0, 5) D. ϕ(x) = (–1, 0, –5) 2. Giả sử T : \2 → \3 là ánh xạ tuyến tính xác định bởi 1 1 2 2 1 2 x x x T x 2x 4x ⎛ ⎞ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥− +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠ Cho cơ sở B = {u1 , u2 } với 1 2 1 1 u ; u . 1 2 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Khi đó ma trận của T đối với cơ sở B có dạng sau : A. 0 2 A 3 0 ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ , B. 2 0 A 0 3 ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ C. 2 0 A 3 0 ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ , D. 0 2 A 0 3 ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦