Bài 5. Các phép đổi biến sốcơbản và nâng cao tích phân hàm lượng giác

Bài 5. Các phép đổi biến số cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác 169 BÀI 5. CÁC PHÉP ĐỔI BIẾN SỐ CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC I. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI CƠ BẢN • Đặt vấn đề: Xét tích phân dạng ( )I R sin x,cos x dx= ∫ 1. Đổi biến số tổng quát: Đặt 2 2 2 2 2 2 12 2 1 1 1 x dt t t t tg x arctg t ;dx ; sin x ; cos x t t t − = ⇒ = = = = + + + Khi đó: ( ) 22 2 2 22 1 1 1 1 dtt tI R sin x,cos x dx R , t t t   − = =   + + + ∫ ∫ Ta xét 3 trường hợp đặc biệt thường gặp sau đây mà có thể đổi biến số bằng cách khác để hàm số dưới dấu tích phân nhận được đơn giản hơn. 2. Nếu ( )R sinx,cosx là hàm lẻ theo sin: ( ) ( )− −R sinx,cosx = R sinx,cosx thì cần biến đổi hàm số và vi phân để thực hiện phép đổi biến t = cosx. 3. Nếu ( )R sinx,cosx là hàm lẻ theo cosin: ( ) ( )− −R sinx, cosx = R sinx,cosx thì cần biến đổi hàm số và vi phân để thực hiện phép đổi biến t = sinx. 4. Nếu ( )R sinx,cosx thoả mãn điều kiện: ( ) ( )− −R sinx, cosx =R sinx,cosx thì cần biến đổi hàm số và vi phân để thực hiện phép đổi biến t = tgx. II. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA 1. Dạng 1: Đổi biến số tổng quát − − ∫ 3sin2x 2cos2x 1I = dx 3cos2x + 4sin2x + 5 Đặt 2 2 2 2 dt 2t 1 t t tg x x arctg t ;dx ; sin 2x ; cos 2x 1 t 1 t 1 t − = ⇒ = = = = + + + ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 3.2t 2 1 t 1 t dt 1 t 6t 3 dt 1 t 6t 3 dtI 2 21 t t 4t 4 1 t3 1 t 4.2t 5 1 t t 2 1 t − − − + + − + − = ⋅ = ⋅ = + + + + − + + + + + ∫ ∫ ∫ Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 170 Giả sử ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 6 3 2 12 1 2 t t A B Ct D , t t tt t t + − + = + + ∀ + ++ + + ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2t 6t 3 A t 2 1 t B 1 t Ct D t 2 , t+ − = + + + + + + + ∀ (*) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2t 6t 3 A C t 2A B 4C D t A 4C 4D t 2A B 4D⇔ + − = + + + + + + + + + + + Thay t = −2 vào (*) thì −11 = 5B ⇒ B = −11/5 (*) A C 0 A C 0 A 34 25 2A B 4C D 1 2A 4C D 16 5 B 11 5 A 4C 4D 6 A 4C 4D 6 C 34 25 2A B 4D 3 2A 4D 4 5 D 12 25 + = + = = −      + + + = + + = = −   ⇔ ⇔ ⇔   + + = + + = =     + + = − + = − =   ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 1 t 6t 3 34 dt 11 dt 1 24t 12I dt dt 2 25 t 2 5 25 1 tt 2 1 t t 2 + − + = = − − + + ++ + + ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 34 dt 11 dt 12 d t 12 dt 25 t 2 5 25 251 t 1 tt 2 34 11 12 12ln t 2 ln 1 t arctg t c 25 5 t 2 25 25 34 11 12 12ln tg x 2 ln 1 tg x x c 25 5 tg x 2 25 25 = − − + + + + ++ = − + + + + + + + = − + + + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ 2. Dạng 2: ( ) ( )− −R sinx,cosx = R sinx,cosx • 3 2 2 2 = − − + −∫ ∫1 3 2 sin2xdxJ = cos x sin x 1 sin x cos xdx cos x cos x ( ) ( ) ( )3 22sin x cos xR sin x, cos x R sin x, cos x R sin x, cos x cos x cos x 2 = ⇒ − = − + − Đặt t = cos x ⇒ ( ) ( )1 3 2 22 2t dt 2t dt A Bt CJ 2 dt t 1t t 2 t 2t 2t 1 t 2t 2 − − +  = = = − +  −+ − + + − + + ∫ ∫ ∫ Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 t A Bt C t A t 2t 2 Bt C t 1 t 1 t 2t 2t 1 t 2t 2 + = + ⇔ = + + + + − − + + − + + ( ) ( ) ( )2 A B 0 A 1 5 t A B t 2A B C t 2A C 2A B C 1 B 1 5 2A C 0 C 2 5 + = =    ⇔ = + + − + + − ⇔ − + = ⇔ = −    − = =  Bài 5. Các phép đổi biến số cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác 171 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 t 2 2 dt 1 2t 2 6J dt dt 5 t 1 5 t 1 5t 2t 2 t 2t 2 2 dt 1 d t 2t 2 6 dt 5 t 1 5 5t 2t 2 t 1 1 2 1 6ln t 1 ln t 2t 2 arctg t 1 c 5 5 5 2 1 6ln 1 cos x ln cos x 2 cos x 2 arctg 1 cos x c 5 5 5 − + −  = − − = − +  − −+ + + +  + + = − + − − + + + + = − − + + + − + + = − − + + + − + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ • ( ) ( ) ( )2 6 2 6 6 21 1 sin x dx d cos x dt sin x cos x cos x cos x t t − = = = − − ∫ ∫ ∫ ∫2 6 dxJ = sinxcos x ( ) ( ) 6 6 4 2 2 6 3 56 2 3 5 t t 1 1 t t 1 t 1 1 1 1dt dt ln c t 1 tt 1 t 3t 5tt t 1 1 cos x 1 1 1ln c 1 cos x cos x 3cos x 5cos x   − − + + − = = − = + + + +  + − − − = + + + + + ∫ ∫ • 2 2 2 2 4 2 2 1 sin x cos x sin x cos xdx dx cos x cos x = = − ∫ ∫ ∫3 sinx + sin3xJ = dx cos2x ( )2 2 2 2 2 2 4cos xd cos x 4t dt 2 dt2 dt 2 dt 11 2cos x 1 2t 1 2t t 2 1 1 2t 1 1 2 cos xln 2t c ln 2 cos x c 2 1 2t 2 1 2 cos x   = = = − = −  − − −  − + + = − + = − + − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ • ( ) ( ) 2 22 2 0 0 4 4 1 1 1 sin x cos x sin x dx d cos x cos x cos x pi pi − = − + +∫ ∫ ∫ pi 2 3 4 0 4sin xJ = dx = 1 + cosx ( ) ( ) ( )0 12 12 0 1 0 4 1 t dt 4 1 t dt 4t 2t 4 2 2 1 t − = − = − = − = − = +∫ ∫ • 2 2 22 3 2 2 6 6 63 4 3 4 4 1 sin x dx sin x dx sin x dx sin x sin x sin x cos x pi pi pi pi pi pi = = = − − − ∫ ∫ ∫ ∫ pi 2 2 5 pi 6 sin xJ = dx sin3x ( ) ( ) ( ) ( ) 3 26 3 2 3 2 2 2 2 02 0 0 d cosx dt 1 d 2t 1 2t 1 1ln ln 2 3 2 4 2t 1 44cos x 1 4t 1 2t 1 pi pi − = = = = = − + − − − ∫ ∫ ∫ Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 172 3. Dạng 3: ( ) ( )− −R sinx, cosx = R sinx,cosx • ( ) ( ) ( ) 4 48 2 2 20 20 20 1 1cos x sin x t cos x dx d sin x dt sin x sin x t − − = = =∫ ∫ ∫ ∫ 9 1 20 cos xK = dx sin x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 6 8 20 19 17 15 13 11 19 17 15 13 11 1 4t 6t 4t t 1 4 6 4 1dt c t 19t 17t 15t 13t 11t 1 4 6 4 1 c 19 sin x 17 sin x 15 sin x 13 sin x 11 sin x − + − + − = = + − + − + − = + − + − + ∫ • ( ) ( ) ( )2 4 2 4 2 4 2 4 cos x cos x cos x cos x cos x dx d sin x sin x sin x sin x sin x + + = = + +∫ ∫ ∫ 3 5 2 2 4 cos x + cos xK = dx sin x + sin x ( ) ( ) ( ) 22 2 4 2 2 4 2 22 2 1 t 1 t t 3t 2 2 6dt dt 1 dt t t t 1 tt 1 t 2 2 t 6arctg t c sin x 6arctg sin x c t sin x − + − − +   = = = + −  + + + = − − + = − − + ∫ ∫ ∫ 4. Dạng 4: ( ) ( )− −R sinx, cosx =R sinx,cosx • ( ) ( ) ( )6 6 6 02 0 0 3 31 1 31 − = = = − = −− − ∫ ∫ ∫ pi 6 1 0 L dx = cosx sinx cosx d tg xdx ln tg x ln tg xcos x tg x pi pi pi • ( ) ( ) 3 3 3 33 8 2 34 4 44 4 4 d tg xdx dx tg x cos x cos x . tg x tg x pi pi pi pi pi pi = = =∫ ∫ ∫ ∫ pi 3 2 4 3 5 pi 4 dxL = sin xcos x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 33 1 1 4 844 4 4 tg x d tg x 4 tg x 4 3 1 4 3 1 pi pi − pi pi   = = = − = − ∫ • ( ) ( ) 4 4 2 43 3 0 2 3 cos x sin x dx cos xcos x sin x cos x pi = + ∫ ∫ pi 4 2 3 3 3 0 sin xdxL = cosx 2sin x + 3cos x ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 32 2 3 2 3 3 0 0 0 4 3 0 d 3 2 tg xtg x tg x 1dx d tg x 63 2 tg x cos x 3 2 tg x 3 2 tg x 1 1 1 5ln 3 2 tg x ln 5 ln 3 ln 6 6 6 3 pi pi pi pi + = ⋅ = = + + + = + = − = ∫ ∫ ∫ Bài 5. Các phép đổi biến số cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác 173 II. BIẾN ĐỔI VÀ ĐỔI BIẾN NÂNG CAO TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1. DẠNG 1: MẪU SỐ LÀ BIỂU THỨC THUẦN NHẤT CỦA SIN ( )∫ n dx sinx • ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 6 3 11 2 2 42 8 2 2 2 2 2 x xtg d tgdx dx x x x x xsin cos tg cos tg + = = =∫ ∫ ∫ ∫1 3 dxA = sin x ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 2 3 2 x x1 2 tg tg1 1 1 x 12 2 x xd tg 2ln tg tg c 2 24 4 2 2x xtg 2 tg 2 2 + +  − = = + + +       ∫ Cách 2: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]1 3 4 2 22 d sin d d cos d cos sin sin 1 cos 1 cos1 cos x x x x xA x x x xx = = = − = − + − − ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 21 1 cos x 1 cos x 1 1 1d cos x d cos x 4 1 cos x 1 cos x 4 1 cos x 1 cos x  − + + −   = = +  + − − +  ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 2 cos x 1 1 cos xd cos x ln c 4 2 1 cos x1 cos x 2sin x1 cos x 1 cos x − − +  = + + = − +  − − − +  ∫ • ( ) ( ) ( )5 5 10 dx dx = x x x x2sin cos 32 tg cos 2 2 2 2 =∫ ∫ ∫2 5 dxA = sin x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 2 4 6 8 5 5 2 4 4 2 x x x x x x1 tg d tg 1 4 tg 6 tg 4 tg tg1 12 2 2 2 2 2 xd tg 216 16x xtg tg 2 2 1 1 2 x 1x x6 ln tg 2 tg tg c 2 216 2 4x x4 tg tg 2 2 + + + + + = =  − = − + + + +       ∫ ∫ Cách 2: 2 5 6 dx sin x dxA sin x sin x = =∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 32 d cos x d cos x 1 cos x 1 cos x1 cos x = − = −  + − −   ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 31 1 cos x 1 cos x 1 1 1d cos x d cos x 8 1 cos x 1 cos x 8 1 cos x 1 cos x  − + + −   = = +  + − − +  ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 12 2 2 42 1 1 1 3 d cos x cos x 3 A 8 2 44sin x2 1 cos x 2 1 cos x 1 cos x  − − = − + = −   − + −  ∫ Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 174 4 2 4 2 cos x 3 cos x 1 1 cos x cos x 3cos x 3 1 cos xln ln c 4 2 1 cos x 8 1 cos x4sin x 2sin x 4sin x 8sin x  − − + − + = − − = + + +  − −  • ( ) ( )2 12sin cos2 2 n dx x x + =∫ ∫3 2n+1 dxA = sinx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 n 2 2n 1 4n 2 2 n 2 n 1 2n 1 n 2n 0 1 2 n 2 2 n 2 2n 2 n 2n 2 n 2n 2n 1 x x1 tg d tgdx 1 2 2 2x x x2 tg cos tg 2 2 2 x x xC C tg ... C tg ... C tg1 2 2 2 xd tg 22 xtg 2 + + + + + + = = + + + + + = ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 0 n 1 n 1 2n2 2n n2n 2n 2n 2n 2n2n 2n 2 C C C C1 x x x ... C ln tg tg ... tg c 2 22 2 2n2 x x2n tg 2 tg 2 2 − +  − = − − + + + + +       • ( ) ( )21 cotg cotg= − + =∫ ∫10 2n+2dxA = sin x n x d x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k n0 1 2 k 2 n 2 n n n n 1 k n 2k 1 2n 10 3n n n n C C cotg x ... C cotg x ... C cotg x d cotg x C C C C cotg x cotg x ... cotg x ... cotg x c 3 2k 1 2n 1 + +   = − + + + + +    = − + + + + + +  + +  ∫ 2. DẠNG 2: MẪU SỐ LÀ BIỂU THỨC THUẦN NHẤT CỦA COSIN ( )∫ n dx cos x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 63 2 2 2 3 2 d 2 d d d sinsin 2sin cos 8 tg cos2 2 2 2 2 1 tg d tg 2 21 1 1 12 ln tg tg ; 4 4 2 2 2 2 tg 2 tg 2 2 x u u u u u u u ux u u u u c u x u u pi+ = = = = pi+ +   pi− = = + + + = +      ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 3 dxB = cos x Cách 2: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]4 2 22 cos d d sin d sin cos 1 sin 1 sin1 sin x x x x x x xx = = = + − − ∫ ∫ ∫ ∫1 3 dxB = cos x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 21 1 sin 1 sin 1 1 1d sin d sin 4 1 sin 1 sin 4 1 sin 1 sin x x x x x x x x  + + −   = = +  + − − +  ∫ ∫ Bài 5. Các phép đổi biến số cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác 175 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 2 sin 1 1 sind sin ln 4 2 1 sin1 sin 2cos1 sin 1 sin x x x c xx xx x +  = + + = + +  − − − +  ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 12 1 2 2 2 1 4 2 2 2 1 2 1 d d d2 sinsin 2sin cos2 2 2 1 tg d tgd 1 2 2 22 tg cos tg 2 2 2 n n n n n n n n n x u u u uux u u u u u u + + + + + + + pi+ = = = pi+ + = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ i 2 2n+1 dxB = cos x ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 22 2 2 2 2 2 22 2 2 1 ... ln tg tg ... tg 2 22 2 22 2 tg 2 tg 2 2 n n n n nn n n n nn n C C C Cu u uC c nu un − +  − = − − + + + + +       ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 1 2 2 2 1 2 1 2 10 3 1 tg tg tg ... tg ... tg tg tg tg ... tg ... tg 3 2 1 2 1 n k nk n n n n n k n k nn n n n x d x C C x C x C x d x C C C C x x x x c k n + + = + =   = + + + + +    = + + + + + +  + +  ∫ ∫ ∫ i 3 2n+2 dxB = cos x 3. DẠNG 3: ( ) ( )∫ 2 2 dxC = a sinx + bsinxcosx + c cosx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 2 • d cos 3 5 tg3 2 21 1 tg 3 d tg 3 d tg3 2 tg3 51 1 1 tg 3 12 424 tg 3 20 tg 3 17 6 42 425tg 3 2 4 x x x x x x x arc c x x x =  + − +  + = = = + + − + + ∫ ∫ ∫ ∫ 2 dxC = 5sin3x + 2cos3x - 21 4. DẠNG 4: ∫ dxD = a sin x + b cos x + c • ( ) ( )2 2 2 2 dx x x x x x x4sin cos 5 cos sin 3 cos sin 2 2 2 2 2 2 = + − + + ∫ ∫1 dxD = 2sinx + 5cosx + 3 ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 x xd tg 1 tg 1 5dx 12 2ln c xx x x 2 5x tg 1 5cos 4 tg 8 2 tg tg 1 5 22 2 2 2 − − − − = = − = + − ++ − − − ∫ ∫ Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 176 5. DẠNG 5: TÍCH PHÂN LIÊN KẾT • ∫1 cosxdxE = sinx + cosx . Xét tích phân liên kết với E1 là: 1 * sin x dxE sin x cos x = +∫ Ta có: ( ) ( ) ( ) * 1 1 1 * 1 1 2 cos x sin xE E dx dx x c sin x cos x cos x sin x d sin x cos xE E dx ln sin x cos x c sin x cos x sin x cos x + + = = = + +  − + − = = = + +  + + ∫ ∫ ∫ ∫ Giải hệ phương trình suy ra: ( ) ( ) 1 * 1 1E x ln sin x cos x c 2 1E x ln sin x cos x c 2  = + + +    = − + +  • − ∫2 sin3xdxE = 2cos3x 5sin3x . Xét tích phân liên kết là: 2 3 2 3 5 3 * cos x dxE cos x sin x = − ∫ Ta có: ( ) ( ) ( ) * 2 2 1 * 2 2 2 2cos3x 5sin3x2E 5E dx dx x c 2cos3x 5sin3x 5cos3x 2sin3x 1 d 2cos3x 5sin3x ln 2cos3x 5sin3x5E 2E dx c 2cos3x 5sin3x 3 2cos3x 5sin3x 3 − − = = = + −  + − − + = = − = − + − − ∫ ∫ ∫ ∫ Giải hệ phương trình suy ra: 2 * 2 2 x1 1 2 ln 2cos 3x 5sin 3xE c 5x cln 2cos 3x 5sin 3x29 29 35 3 x 51 1 5ln 2cos 3x 5sin 3xE c 2x cln 2cos 3x 5sin 3x29 29 323   − − = ⋅ + = + + −  −   −  − = ⋅ + = − + −  −  • ( ) ( ) ( )∫ 4 3 4 4 sin xE = dx sin x + cos x . Xét tích phân liên kết là: ( ) ( ) ( ) 4 3 4 4 * cosxE dx sinx cosx = +∫ Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 * 3 3 14 4 sin x cos xE E dx dx x c sin x cos x + + = = = + + ∫ ∫ (1). Mặt khác: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 2 2 2 2 * 3 3 4 4 22 2 2 2 cosx sin x cos x sin x cos x sin xE E dx dx sin x cos x cos x sin x 2 cos x sin x − + − − = = + + − ∫ ∫ Bài 5. Các phép đổi biến số cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác 177 ( ) ( ) ( ) 2 22 cos 2x d sin 2x 1 2 sin 2xdx ln c 2 1 2 2 2 sin 2x2 sin 2x1 sin 2x 2 + = = = + − − − ∫ ∫ Từ (1) và (2) suy ra: * 3 3 1 1 2 sin 2x 1 1 2 sin 2xE x ln c ; E x ln c 2 22 2 2 sin 2x 2 2 2 sin 2x    + + = − + = + +       − −    • ( ) ( ) ( )∫ pi 2 99 4 99 99 0 cosxE = dx sinx + cosx . Xét tích phân: ( ) ( ) ( ) 2 99 4 99 99 0 * sin xE dx sin x cos x = + ∫ pi Đặt 2 x u pi = − ⇒ dx = −du. Với 2 x pi = thì u = 0 và x = 0 thì 2 u pi = . Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 99 2 299 0 99 * 4 499 99 99 99 99 99 0 2 0 sin u du sinx dx cosu du2E E sinx cosx cosu sinu sin u cos u2 2 pi pi pi  pi − −    = = = = + +   pi pi − + −        ∫ ∫ ∫ Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 299 99 * 4 4 99 99 00 0 sin x cos xE E dx dx x 2sin x cos x pi pi pi + pi + = = = = + ∫ ∫ ⇒ * 4 4E E 4 pi = = • ( ) ( )∫ pi 2 2 2 5 0 E = cos3x cos6x dx . Xét tích phân: ( ) ( ) 2 2 2 5 0 3 6E sin x cos x dx∗ = ∫ pi Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 5 5 0 0 E E cos3x sin 3x cos 6x dx cos 6x dx pi pi ∗  + = + = ∫ ∫ ( ) 22 00 1 1 sin12x1 cos12x dx x 2 2 12 4 pipi pi  = + = + =   ∫ . Mặt khác: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 5 5 0 0 22 3 2 * 6 6 00 E E cos 3x sin 3x cos 6x dx cos 6x cos 6x dx 1 1 sin 6x1 sin 6x d sin 6x sin 6x 0 E E 6 6 3 8 pi pi ∗ pi pi   − = − =    pi = − = − = ⇒ = =     ∫ ∫ ∫ • ( )3∫ pi 2 6 0 sinx dxE = sinx + cosx . Xét tích phân: ( ) 2 6 3 0 * cos x dxE sin x cos x = + ∫ pi Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 178 Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 6 6 3 2 0 0 cos x sin x dx dxE E sin x cos x sin x cos x pi pi ∗ ++ = = + + ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 00 0 dx 1 dx 1 1 1 cotg x 1 42 2 2 2sin x2 sin x 44 pi pi pi − pi = = = + = + = pi pi ++   ∫ ∫ Mặt khác: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 6 6 3 3 0 0 cos x sin x dx d sin x cos xE E sin x cos x sin x cos x pi pi ∗ − + − = = + + ∫ ∫ ( ) 2 * 6 62 0 1 10 E E 22 sin x cos x pi − = = ⇒ = = + 6. DẠNG 6: ∫ a sin x + b cos xF = dx m sin x + n cos x a. Phương pháp: Giả sử: ( ) ( )a sin x b cos x m sin x n cos x m cos x n sin x , xα β+ = + + − ∀ ⇔ ( ) ( )a sin x b cos x m n sin x n m cos x , xα β α β+ = − + + ∀ ⇔ 2 2 2 2 am bn m n a m n n m b bm an m n α α β α β β + = − = +  ⇔  + = −  = + . Khi đó ta có: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 am bn m sin x n cos x bm an m cos x n sin xF dx dx m sin x n cos x m sin x n cos xm n m n am bn bm an d m sin x n cos xdx m sin x n cos xm n m n am bn bm an x ln m sin x n cos x c m n m n + + − − = + + ++ + + − + = + ++ + + − = + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ b. Các bài tập mẫu minh họa: • − ∫1 4sin2x 7cos2xF = dx 5sin2x + 3cos2x ( )1 4sin 2x 7cos 2x 1 4sin u 7cos ud 2x du 2 5sin 2x 3cos 2x 2 5sin u 3cos u − − = = + +∫ ∫ Giả sử ( ) ( )4 7 5 3 5 3sin u cos u sinu cos u cos u sin u , uα β− = + + − ∀ ( ) ( )4sin u 7 cos u 5 3 sin u 3 5 cos u , u⇔ − = α − β + α + β ∀ Bài 5. Các phép đổi biến số cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác 179 5 3 4 1 34 3 5 7 47 34 α − β = α = −   ⇔ ⇔  α + β = − β = −   . Khi đó ta có: ( ) ( ) ( ) 1 1 4sin u 7 cos u 1 5sin u 3cos u 47 5cos u 3sin uF du du du 2 5sin u 3cos u 68 5sin u 3cos u 68 5sin u 3cos u 1 47 d 5sin u 3cos u 1du u 47 ln 5sin u 3cos u c 68 68 5sin u 3cos u 68 1 2x 47 ln 5sin 2x 3cos 2x c 68 − − + − = = − + + + − + − = − = + + + + − = + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ c. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: 1 2 3 4sin 3x 5cos3x 2sin 5x 7cos5x 4sin 9x 5cos9xF dx ; F dx ; F dx 7cos3x 8sin 3x 3sin 5x 4cos5x 7cos9x 3sin 9x + − + = = = − − − ∫ ∫ ∫ 7. DẠNG 7: ∫ a sin x + b cos x + cG = dx m sin x + n cos x + p a. Phương pháp: Giả sử ( ) ( )a sin x bcos x c m sin x ncos x p mcos x n sin x , xα β γ+ + = + + + − + ∀ ⇔ ( ) ( )sin cos sin cos ,a x b x c m n x n m x p xα β α β α γ+ + = − + + + + ∀ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 m n a am bn m n n m b bm an m n am bnc pp c m n α β α α β β γα γ − =  = + +   ⇔ + = ⇔ = − +   + = −+ =  + . Khi đó ta có: 2 2 2 2 2 2 sin cos cos sindx dx sin cos sin cos sin cos am bn m x n x p bm an m x n xG m x n x p m x n x pm n m n am bn dx c p m x n x pm n + + + − − = + + + + + ++ + +  + −  + ++  ∫ ∫ ∫ ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin cos dx sin cos sin cos ln sin cos sin cos d m x n x pam bn bm an am bn dx c p m x n x p m x n x pm n m n m n am bn bm an am bn dx x m x n x p c p m x n x pm n m n m n + ++ − +  = + + − + + + ++ + +  + − +  = + + + + −  + ++ + +  ∫ ∫ ∫ ∫ b. Các bài tập mẫu minh họa: • − − ∫1 sinx + 2cosx 3G = dx sinx 2cosx + 3 . Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 180 Giả sử ( ) ( )2 3 2 3 2sin x cos x sin x cos x cos x sin x , xα β γ+ − = − + + + + ∀ ( ) ( ) ( )2 3 2 2 3sin x cos x sin x cos x , xα β α β α γ⇔ + − = + + − + + + ∀ 2 1 3 5 2 2 4 5 3 3 6 5 α β α α β β α γ γ + = = −     ⇔ − + = ⇔ =    + = − = −   . Khi đó ta có: ( ) 1 3 sin x 2cos x 3 4 sin x 2cos x 6 dxG dx dx 5 sin x 2cos x 3 5 sin x 2 cos x 3 5 sin x 2cos x 3 3 4 d sin x 2cos x 3 6 dxdx dx 5 5 sin x 2cos x 3 5 sin x 2cos x 3 3 4 6 x ln sin x 2 cos x 3 J 5 5 5 − − + − = + − − + − + − + − − + = + − − + − + − = + − + − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 3 dxJ sin x cos x = − +∫ ( ) ( )2 2 2 2 dx x x x x x x2sin cos 2 cos sin 3 cos sin2 2 2 2 2 2 = = − − + + ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 2 1 xd tgdx 2 2 x x x 5 x 2 x 1cos 2 tg 1 5 tg tg tg2 2 2 2 5 2 5 x x xd tg 1 5 tg 1 5 tg2 2 52 2 2arctg c arctg c 5 5 2 2 2x 1 2tg 2 5 5 x5 tg 13 4 6 2G x ln sin x 2cos x 3 arctg c 5 5 5 2 = = + + + + + + = = ⋅ + = + + + + − ⇒ = + − + − + ∫ ∫ ∫ • 2 − ∫2 0 sinx cosx + 1G = dx sinx + 2cosx + 3 pi . Giả sử ( ) ( )1 2 3 2sin x cos x sin x cos x cos x sin x , xα β γ− + = + + + − + ∀ ( ) ( ) ( )1 2 2 3sin x cos x sin x cos x , xα β α β α γ⇔ − + = − + + + + ∀ 2 1 1 5 2 1 3 5 3 1 8 5 α β α α β β α γ γ − = = −    ⇔ + = − ⇔ = −   + = =  . Khi đó ta có: Bài 5. Các phép đổi biến số cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác 181 ( ) 2 2 2 2 0 0 0 2 2 2 0 0 0 2 0 1 sin x 2cos x 3 3 cos x 2sin x 8 dxG dx dx 5 sin x 2cos x 3 5 sin x 2cos x 3 5 sin x 2cos x 3 1 3 d sin x 2cos x 3 8 dxdx 5 5 sin x 2cos x 3 5 sin x 2cos x 3 1 3 8 3 5 8 x ln sin x 2cos x 3 J ln 5 5 5 10 5 4 pi pi pi pi pi pi pi + + − = − − + + + + + + + + + = − − + + + + + − −pi  = − + + + = + +    ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ J 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 22 2 2 0 0 2 2 22 020 dx dxJ x x x x x xsin x 2cos x 3 2sin cos 2 cos sin 3 cos sin 2 2 2 2 2 2 xd tgdx 22 x xx x x x tg 2 tg 5cos 2 tg 2 2 tg 3 3 tg 2 22 2 2 2 x xd 1 tg 1 tg 1 3 3 5 82 22 arctg arctg G ln arct 2 4 2 10 5 4 5x1 tg 2 2 pi pi pi pi pi pi = = + + + − + + = = + ++ − + + + + pi pi = = = − ⇒ = + − + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1g 2 8. DẠNG 8: ( )∫ 2 a sin x + b cos xH = dx m sin x + n cos x a. Phương pháp: Giả sử ( ) ( )a sin x b cos x m sin x n cos x m cos x n sin x , xα β+ = + + − ∀ ⇔ ( ) ( )a sin x b cos x m n sin x n m cos x , xα β α β+ = − + + ∀ ⇔ 2 2 2 2 am bn m n a m n n m b bm an m n α α β α β β + = − = +  ⇔  + = −  = + . Khi đó ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin cos cos sindx dx sin cos sin cos dx sin cos sin cos sin cos dx 1 sin cos sin cos am bn m x n x bm an m x n xH m n m nm x n x m x n x am bn bm an d m x n x m x n xm n m n m x n x am bn bm an c m x n x m x n xm n m n + + − − = + + ++ + + − + = + ++ + + + − = − ⋅ + + ++ + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 182 2. Các bài tập mẫu minh họa: • ( ) − ∫1 2 7 sin x 5 cos xH = dx 3 sin x + 4 cos x . Giả sử ( ) ( )7 5 3 4 3 4sin x cos x sin x cos x cos x sin x ; xα β− = + + − ∀ ⇔ ( ) ( )7 5 3 4 4 3sin x cos x sin x cos x; xα β α β− = − + + ∀ 13 4 7 5 434 3 5 5 αα β α β β  = − =  ⇔ ⇔  −+ = − =   . Khi đó ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 7sin x 5cos x 1 3sin x 4cos x 43 3cos x 4sin xH dx dx dx 5 53sin x 4cos x 3sin x 4cos x 3sin x 4cos x 1 dx 43 d 3sin x 4cos x 1 43J 5 3sin x 4cos x 5 5 5 3sin x 4cos x3sin x 4cos x − + − = = − + + + + = − = + + ++ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 3 4 dxJ sin x cos x = +∫ ( ) ( ) 22 2 xd tgdx 22 x xx x x 6 tg 4 4 tgcos 6 tg 4 4 tg 2 22 2 2 = = + −+ − ∫ ∫ x2 tg 42 2ln c x5 2 tg 1 2 − − = + + ⇒ ( )1 x2 tg 42 432H ln c x25 5 3sin x 4cos x2 tg 1 2 − − = + + ++ 3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: ( ) ( )1 22 2 2sin 5x 3cos5x 5sin 7x 4cos 7xH dx ; H dx 4cos5x 9cos5x 2sin 7x 3cos 7x − + = = + − ∫ ∫ 9. DẠNG 9: ( ) ( ) ∫ 2 2 a sin x + b sin x cos x + c cos xI = dx m sin x + n cos x a. Phương pháp: Giả sử: ( ) ( )2 2a sin x b sin x cos x c cos x+ + = ( ) ( ) ( )2 2p sin x q cos x m sin x n cos x r sin x cos x , x= + + + + ∀ ⇔ ( ) ( )2 2a sin x b sin x cos x c cos x+ + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2mp r sin x np mq sin x cos x nq r cos x ; x= + + + + + ∀ Bài 5. Các phép đổi biến số cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác 183 ⇔ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 a c m bnp m n mp r a mp r a a c n bm np mq b np mq b q m n nq r c mp nq a c an cm bmn r m n  − + = ++ = + =    − −   + = ⇔ + = ⇔ =   +   + = − = −    + − =  + . Khi đó ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a c m bn a c n bm an cm bmn dxI sin x cosx dx msin x ncosxm n m n m n a c n bm a c m bn an cm bmn dx sin x cosx msin x ncosxm n m n m n  − + − − + − = + +  ++ + +  − − − + + − = − + ++ + + ∫ ∫ ∫ b. Các bài tập mẫu minh họa: • ( )pi ∫ 3 2 1 0 cos x dxI = sin x + 3cos x . Giả sử ( ) ( ) ( ) ( )2 2 23cos x a sin x b cos x sin x cos x c sin x cos x ; x= + + + + ∀ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 23 3cos x a c sin x a b sin x cos x b c cos x ; x⇔ = + + + + + ∀ 0 1 4 3 0 3 4 1 43 1 a c a a b b cb c + = = −    ⇔ + = ⇔ =   = + =  ⇒ 3 3 0 0 1 3 1 1 dxI cos x sin x dx 2 2 2 4 sin x 3 cos x pi pi  = − +    +∫ ∫ 3 3 0 0 1 1 dx cos cos x sin sin x dx 2 6 6 8 cos sin x sin cos x 3 3 pi pi pi pi  = − +  pi pi  + ∫ ∫ ( ) 33 3 0 0 0 1 1 dx 1 1 x cos x dx sin x ln tg 2 6 8 2 6 8 2 6 sin x 3 1 1 1 1 1 1 1ln 3 ln 3 ln 3 1 ln 3 2 8 4 8 4 4 4 pipi pi  pi pi pi      = + + = + + +       pi        +        = + − − = + = +        ∫ ∫ Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 184 10. DẠNG 10: ( ) ( )∫ 2 2 m sin x + n cos xJ = dx a sin x + 2b sin x cos x + c cos x a. Phương pháp: •Gọi 1 2,λ λ là nghiệm của phương trình 0 a b b c − λ = − λ ⇔ ( )2 2 0a c ac bλ − + λ + − = ⇔ ( ) 2 2 1 2 4 2, a c a c b+ ± − +λ = Biến đổi ( ) ( )2 2 2 21 1 2 22a sin x b sin x cos x c cos x A A+ + = λ + λ = ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 b b cos x sin x cos x sin x a ab b a a λ λ    = − + −    − λ − λ   + + − λ − λ Đặt 1 2 1 2 b b u cos x sin x ;u cos x sin x a a = − = − − λ − λ ; 1 2 1 2 1 1k ;k a a = = − λ − λ ( ) ( )1 1 2 22 2 2 2 1 2 1 1 1 1 A cos x bk sin x ; A cos x bk sin x b k b k = − = − + + Để ý rằng 2 21 2 1A A+ = ⇒ ( ) ( )2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1A A A Aλ + λ = λ − λ + λ = λ − λ + λ •Giả sử 1 2 b b m sin x n cos x p sin x cos x q sin x cos x a a     + = + + +    − λ − λ    , ∀x ⇔ ( ) ( ) ( )