Bài 1: Hệ toạ độ đề các vuông góc trong

§1 hÖ to¹ ®é ®Ò c¸c vu«ng gãc trong kh«ng gian. to¹ ®é cña vÐc t¬ vµ cña ®iÓm 1. HÖ to¹ ®é §Ò c¸c vu«ng gãc trong kh«ng gian Trôc:ox,oy,oz Cho ba trôc Ox ^ Oy ^Oz ^ Ox Gäi c¸c vÐc t¬ lµ c¸c vÐc t¬ ®¬n vÞ t­¬ng øng trªn c¸c trôc ®ã. HÖ trôc nh­ vËy gäi lµ hÖ trôc to¹ ®é ®Ò c¸c vu«ng gãc trong kh«ng gian. Trôc Ox gäi lµ trôc hoµnh Trôc Oy gäi lµ trôc tung Trôc Oz gäi lµ trôc cao 2. To¹ ®é cña vÐc t¬ ®èi víi hÖ to¹ ®é - Cho hÖ to¹ ®é Oxyz vµ mét vÐc t¬ tuú ý . v× ba vÐc t¬ kh«ng ®ång ph¼ng nªn $ ! (x ; y ; z) sao cho : Bé ba sè (x ; y ; z) lµ to¹ ®é cña vÐc t¬ vµ kÝ hiÖu lµ : VËy : 3. §Þnh lÝ - c¸c phÐp to¸n cña to¹ ®é §èi víi hÖ to¹ ®é Oxyz nÕu th× ta cã : Chøng minh : ( Sgk) 4. To¹ ®é cña mét ®iÓm Trong hÖ trôc to¹ ®é Oxyz cho ®iÓm M bÊt kú. To¹ ®é cña vÐc t¬ lµ to¹ ®é ®iÓm M Tõ ®ã ta cã : 5. §Þnh lÝ Trong hÖ trôc to¹ ®é Oxyz cho hai ®iÓm A(x ; y ; z) , B(x’;y’;z’) khi ®ã : 6. Chia mét ®o¹n th¼ng theo mét tØ sè cho tr­íc Bµi to¸n : Gi¶ sö ®iÓm M chia ®o¹n AB theo tØ sè k (k ¹ 1). H·y t×m to¹ ®é ®iÓm M Gi¶i Ph©n tÝch bµi to¸n theo to¹ ®é vµ c¸c tÝnh chÊt ®· häc ta cã : NÕu M lµ trung ®iÓm AB th× ta cã to¹ ®é cña M lµ trung b×nh céng to¹ ®é hai ®iÓm A vµ B: §2 biÓu thøc to¹ ®é cña tÝch v« h­íng tÝch cã h­íng cña hai vÐc t¬ vµ ¸p dông 1. §Þnh lÝ: Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho hai vÐc t¬ (*) th× : (1) C«ng thøc (1) gäi lµ biÓu thøc to¹ ®é tÝch v« h­íng cña hai vÐc t¬ Ta cã : 2. Kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm Cho A( x ; y ; z) : B(x’ ; y’ ; z’) ta cã (2) 3. Gãc gi÷a hai vÐc t¬ Cho hai vÐc t¬ (*) gäi j lµ gãc gi÷a hai vÐc t¬ ta cã HÖ qu¶:gãc cña hai ®­êng th¼ng HÖ qu¶:gãc cña hai mÆt ph¼ng 4. TÝch v« h­íng cña hai vÐc t¬ vµ øng dông a) Bµi to¸n : Chøng minh r»ng hai vÐc t¬ (*) cïng ph­¬ng khi vµ chØ khi c¶ ba ®Þnh thøc cÊp 2 ®Òu b»ng kh«ng Chøng minh : sgk b) §Þnh nghÜa : Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho hai vÐc t¬ c) TÝnh chÊt : d)DiÖn tÝch h×nh b×nh hµnh ABCD: e) DiÖn tÝch tam gi¸c f) §iÒu kiÖn ®ång ph¼ng cña ba vÐc t¬ g) ThÓ tÝch h×nh hép h)ThÓ tÝch h×nh chãp ABCD: Bµi tËp vÒ nhµ sè 1 Bµi 1: Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho a)TÝnh b) Bài 2: a)CM:A,B,C lµ ba ®Ønh cña mét tam gi¸c b)T×m to¹ ®é ®iÓm D sao cho tø gi¸c ABCD lµ mét h×nh b×nh hµnh. c)T×m to¹ ®é trong t©m cña tam gi¸c ABC. d)TÝnh diÖn tÝch cña h×nh b×nh hµnh ABCD ë trªn. Bài 3: Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho 4 ®iÓm A,B,C,D cã to¹ ®é x¸c ®Þnh bëi c¸c hÖ thøc A(2;4;-1), a)CMR: b)TÝnh thÓ tÝch tø diÖn ABCD. Bµi 4: Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho 4 ®iÓm A,B,C,D cã to¹ ®é A(-4;4;0),B(2;0;4),C(1;2;-1);D(7;-2;3) a)CMR:A,B,C,D ®ång ph¼ng. b)TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c ABDC. Bµi 5:Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho 3 ®iÓm A,B,C:A(2;-1;3);B(-10;5;3);C(2m-1;2;n+2) a)T×m m,n ®Ó A,B,C th¼ng hµng b)T×m trªn oy ®iÓm N ®Ó tam gi¸c NAB c©n t¹i N. c)Víi m=3/2,n=7 CMR:tam gi¸c ABC kh«ng vu«ng khi ®ã tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC vµ ®é dµi ®­êng ph©n gi¸c trong vµ ph©n gi¸c ngoµi gãc A. Bµi 6: Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é oxyz cho 4 ®iÓm A(6;-2;3),B(0;1;6),C(2;0;-1),D(4;1;0) a)CM:A,B,C,D lµ 4 ®Ønh cña mét tø diÖn. b)TÝnh thÓ tÝch cña tø diÖn ABCD. c)TÝnh ®­êng cao cña tø diÖn h¹ tõ ®Ønh A. d) TÝnh gãc gi÷a hai ®­êng th¼ng (AB) vµ (CD). Bµi 7:Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é oxyz cho ba ®iÓm A(2;0;0),B(0;2;0),C(0;0;2) a)CMR:Tam gi¸c ABC ®Òu vµ tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC. b)T×m ®iÓm S trªn trôc ox sao cho h×nh chãp S.ABC ®Òu. Bµi 8:Trong kh«ng gian víi hÖ trôc oxyz cho A(1;3;1),B(-4;3;3) ®­êng th¼ng AB c¾t mp(oyz) t¹i ®iÓm M a)§iÓm M chia ®o¹n AB theo tØ sè nµo? b)T×m to¹ ®é ®iÓm M . c)T×m ®iÓm C thuéc mp(Oxy) sao cho A,B,C th¼ng hµng. Bµi 9:Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é oxyz cho h×nh hép ABCD.A’B’C’D’ biÕt A(1;-1;2), C(3;-1;1),B’(3;5;-6),D’(1;4;-6). a)T×m to¹ ®é c¸c ®Ønh cßn l¹i cña h×nh hép. b)TÝnh thÓ tÝch cña h×nh hép. Bµi 10: Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é oxyz cho h×nh hép ABCD.A’B’C’D’ biÕt A(1;0;1), B(2;1;2),C’(4;5;-5),D(1;-1;1). a)T×m to¹ ®é c¸c ®Ønh cßn l¹i cña h×nh hép. b)TÝnh thÓ tÝch cña h×nh hép. §¸p ¸n: §3 ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng 1. VÐc t¬ ph¸p tuyÕn cña mÆt ph¼ng 1.1.§Þnh nghÜa: VÐc t¬ ®­îc gäi lµ vÐc t¬ ph¸p tuyÕn cña mÆt ph¼ng (a) nÕu nã n»m trªn ®­êng th¼ng D ^ (a). KÝ hiÖu : Gi¶ sö M0 Î (a) Þ "M Î (a) Û VËy mét nÆt ph¼ng ®­îc x¸c ®Þnh khi biÕt mét ®iÓm thuéc nã vµ mét vÐc t¬ ph¸p tuyÕn cña nã 1.2.Chó ý : Cho kh«ng cïng ph­¬ng vµ cïng //(a) thÕ th× lµ mét vÐc t¬ ph¸p tuyÕn cña mp(a) - Hai vÐc t¬ trªn gäi lµ cÆp vÐc t¬ chØ ph­¬ng cña mp(a) - §Ó c¸c ®Þnh vÐc t¬ ph¸p tuyÕn cña mp ®i qua A, B, C ta x¸c ®Þnh vÐc t¬ ph¸p tuyÕn b»ng c¸ch 2. Ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng Trong hÖ to¹ ®é Oxyz 2.1.§Þnh lÝ: Mçi mÆt ph¼ng lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c ®iÓm cã to¹ ®é tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh d¹ng Ax + By + Cz + D = 0 (1) víi A2 + B2 + C2 ¹ 0, vµ ng­îc l¹i tÊt c¶ nh÷ng ®iÓm cã to¹ ®é tho¶ m·n (1) lµ mét mÆt ph¼ng Ch¾ng minh : sgk 2.2. §Þnh nghÜa. Ph­¬ng tr×nh d¹ng Ax + By + Cz + D = 0 (1) ( A2 + B2 + C2 ¹ 0) ®­îc gäi lµ ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng 2.3 Chó ý : * NÕu M0(x’ ; y’ ; x’) Î (a) vµ th× ph­¬ng tr×nh cña (a) lµ : A(x - x’) + B(y - y’) + C(z - z’) = 0 *NÕu (a) cã ph­¬ng tr×nh (1) th× nã cã vÐc t¬ ph¸p tuyÕn lµ : 3. C¸c tr­êng hîp riªng cña ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t 3.1) D = 0 Þ (a) ®i qua gèc to¹ ®é 3.2) Mét trong ba hÖ sè A, B, C b»ng kh«ng th× mÆt ph¼ng chøa hoÆc song song víi trôc t­¬ng øng 3.3) NÕu hai trong ba hÖ sè b»ng kh«ng th× mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi trôc cßn l¹i 3.4 Ph­¬ng tr×nh ®o¹n ch¾n 4. C¸c vÝ dô : VÝ dô 1: LËp ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ®i qua M(1; -2 ; 3) vµ // 2x - 3y + z + 5 = 0 §¸p sè : 2x - 3y + z -11 = 0 VÝ dô 2: ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ®i qua ba ®iÓm A(1 ; -2 ; 3), B(2 ; 0 ; 1), C(-1 ; 1 ; -2) Gi¶i B­íc 1. Ba ®iÓm A, B, C kh«ng th¼ng hµng B­íc 2: MÆt ph¼ng (ABC) cã vÐc t¬ ph¸p tuyÕn lµ : B­íc 3: Ph­¬ng tr×nh cã d¹ng :-4x + 9y + 7z + 1 = 0 VÝ dô 3: Cho A(1 ; 2 ; -5) ; B(3 ; 1 ; 1) t×m tËp hîp nh÷ng ®iÓm M sao cho |MA2 - MB2| = 4 Gi¶i Gäi M(x ; y ; z) ta cã MA2 = (x - 1)2 + (y - 2)2 + (z + 5)2 MB2 = (x - 3)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 Þ4x - 2y + 12z + 19 = 0 Bµi 2: LËp ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ®i qua M(x’ ; y’ ; z’) vµ lÇn l­ît song song víi c¸c mÆt §¸p sè : //Oxy lµ z = z’ ; //Oyz lµ x = x’ vµ //Ozx lµ y = y’ VÝ dô 4Bµi 3: LËp ph­¬ng tr×nh cña mÆt ph¼ng trong c¸c tr­êng hîp sau : a) §®i qua A(1 ; 3 ; -2) vµ vu«ng gãc víi Oy Þ VÐc t¬ ph¸p tuyÕn lµ (0 ; 1 ; 0) nªn ph­¬ng tr×nh cã d¹ng : y = 3 b) §¸p sè : x - 6y + 4z + 25 = 0 c) §¸p sè : 2x - y + 3z + 7 = 0 Bµi 4: MÆt ph¼ng trng trôc cña M1M2:§¸p sè x - 2y + 2z + 3 = 0 §4 vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña hai mÆt ph¼ng chïm mÆt ph¼ng 1. Mét sè qui ­íc, kÝ hiÖu Cho hai bé sè (A1,A2 …An) vµ (A’1,A’2 …A’n). Hai bé sè ®­îc gäi lµ tØ lÖ víi nhau nÕu : A1 = tA’1; A2 = tA’2. . .An = tA’n vµ kÝ hiÖu : A1:A2 :…: An = A’1: A’2 :…:A’n KÝ hiÖu kh¸c : 2.VÞ trÝ t­¬ng ®èi cña hai mÆt ph¼ng Trong hÖ trôc to¹ ®é Oxyz cho hai mÆt ph¼ng (a) : Ax + By + Cz + D = 0 (a’) : A’x + B’y + C’z + D’ = 0 Khi ®ã a) (a) c¾t (a’) ÛA : B : C ¹ A’ : B’ : C’ b) (a) // (a’) ÛA : B : C = A’ : B’ : C’ vµ A : B : C : D ¹ A’ : B’ : C’ : D’ c) (a) º (a’) ÛA : B : C : D =A’ : B’ : C’ : D’ VD: Bµi 1.(SGK TR 87) XÐt vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña c¸c cÆp mÆt ph¼ng §¸p sè : a) C¾t nhau b) c¾t nhau c) C¾t nhau d) Song song e) Trïng nhau Bµi 2: X¸c ®Þnh c¸c gi¸ trÞ l vµ m ®Ó c¸c cÆp mÆt ph¼ng song song a) ®Ó hai mÆt ph¼ng song song víi nhau ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ lµ : b) §¸p sè : l=1/2 ; m = 4 3. Chïm mÆt ph¼ng Trong hÖ trôc to¹ ®é Oxyz cho hai mÆt ph¼ng c¾t nhau lÇn l­ît cã ph­¬ng tr×nh (a) : Ax + By + Cz + D = 0 (1) (a’) : A’x + B’y + C’z + D’ = 0 (1’) a) §Þnh lÝ: Mçi mÆt ph¼ng qua giao tuyÕn cña (a) vµ (a’) ®Òu cã ph­¬ng tr×nh d¹ng m(Ax + By + Cz + D) + n(A’x + B’y + C’z + D’)=0 (2) (m2 + n2 ¹ 0) vµ ng­îc l¹i b) §Þnh nghÜa . TËp hîp c¸c mÆt ph¼ng qua giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng trªn gäi lµ mét chïm mÆt ph¼ng. Ph­¬ng tr×nh (2) gäi lµ ph­¬ng tr×nh cña chïm mÆt ph¼ng c) VÝ dô: VD1: LËp ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng qua giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng 2x - y + z + 1 = 0 vµ x + 3y - z + 2 = 0 vµ ®i qua ®iÓm M(1 ; 2 ;1) Gi¶i Ph­¬ng tr×nh chïm cã d¹ng : m(2x - y + z + 1) +n(x + 3y - z + 2) = 0 Û(2m+n)x +(3n-m)y + (m-n)z + m + 2n = 0 §iÓm M(1 ; 2 ;1) Î chïm nªn ta cã (2m+n).1 +(3n-m).2 + (m-n).1 + m + 2n = 0 Û m + 4n = 0 chän m = 4, n = -1 thay l¹i ta cã 7x - 7y + 5z + 2 = 0 VD2: LËp ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng qua giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng 2x - y + z + 1 = 0 vµ x + 3y - z + 2 = 0 vµ a)song song víi trôc ox b)vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng :x+2y-z+3=0 VD3 Hai mÆt ph¼ng cho bëi pt 2x - my + 3z - 6 + m = 0 ;(m + 3)x - 2y + (5m + 1) - 10 = 0 a) Hai mÆt ph¼ng song song : Kh«ng $ m b) Hai mÆt ph¼ng trïng nhau Û m = 1 c) Hai mÆt ph¼ng c¾t nhau Û m ¹ 1 Bµi tËp vÒ nhµ sè 2 Bµi 1 LËp ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) ®i qua ®iÓm M(2,3,2) vµ cÆp VTCP lµ Bµi 2: LËp ph­¬ng tr×nh cña mÆt ph¼ng (P) ®i qua M(1,1,1) vµ Song song víi c¸c trôc 0x vµ 0y. Song song víi c¸c trôc 0x,0z. Song song víi c¸c trôc 0y, 0z. Bµi 3: LËp ph­¬ng tr×nh cña mÆt ph¼ng ®i qua 2 ®iÓm M(1,-1,1) vµ B(2,1,1) vµ : Cïng ph­¬ng víi trôc 0x. Cïng ph­¬ng víi trôc 0y. Cïng ph­¬ng víi trôc 0z. Bµi 4: X¸c ®Þnh to¹ ®é cña vÐc t¬ vu«ng gãc víi hai vÐc t¬ . Bµi 5: T×m mét VTPT cña mÆt ph¼ng (P) ,biÕt (P) cã cÆp VTCP lµ Bµi 6: LËp ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) biÕt : (P) ®i qua ®iÓm A(-1,3,-2) vµ nhËn lµm VTPT. (P) ®i qua ®iÓm M(-1,3,-2) vµ song song víi (Q): x+2y+z+4=0. Bµi7: LËp ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña c¸c mÆt ph¼ng ®i qua I(2,6,-3) vµ song song víi c¸c mÆt ph¼ng to¹ ®é. Bµi 8: (§HL-99) :Trong kh«ng gian 0xyz cho ®iÓm A(-1,2,3) vµ hai mÆt ph¼ng (P): x-2=0 , (Q) : y-z-1=0 .ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (R) ®i qua ®iÓm A vµ vu«ng gãc víi hai mÆt ph¼ng (P),(Q). Bµi9: XÐt vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña c¸c cÆp mÆt ph¼ng sau: (P1): y-z+4=0, vµ 2)(P1): 9x+10y-7z+9=0 Bµi 10:LËp ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ®i qua ®iÓm M(2,1,-1) vµ qua hai giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (P1) vµ (P2) cã ph­¬ng tr×nh : (P1): x-y+z-4=0 vµ (P2) 3x-y+z-1=0 Bµi 11: LËp ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng qua giao tuyÕn cña (P1): y+2z-4=0 vµ (P2) : x+y-z-3=0 vµ song song víi mÆt ph¼ng (Q):x+y+z-2=0. Bµi 12: LËp ph­¬ng tr×nh cña mÆt ph¼ng qua hai giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (P1): 3x-y+z-2=0 vµ (P2): x+4y-5=0 vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (Q):2x-z+7=0. §¸p sè: §5 ph­¬ng tr×nh cña ®­êng th¼ng 1.VÐct¬ ph¸p tuyÕn cu¶ ®­êng th¼ng 2. VÐct¬ chØ ph­¬ng cu¶ ®­êng th¼ng 3. Ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®­êng th¼ng Trong Kg víi hÖ trôc to¹ ®é Oxyz cho hai mÆt ph¼ng : (a) Ç (a’) = d Khi ®o " M (x ; y ; z) Î d Û to¹ ®é cña nã tho¶ m·n :(1) trong ®ã : A : B : C ¹ A’: B’ : C’ - HÖ (1) goi lµ ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®­êng th¼ng Chó ý: 1) 2)C¸ch chän ®iÓm M(x0;y0;z0) 3)§k ®Ó hÖ (1) lµ pttq cña mÆt ph¼ng 4. Ph­¬ng tr×nh tham sè cña ®­êng th¼ng §­êng th¼ng hoµn to¸n x¸c ®Þnh khi biÕt mét ®iÓm thuéc nã vµ mét vÐc t¬ chØ ph­¬ng cña nã Cho ®iÓm M(x0 ; y0 ; z0) Î d vµ vÐc t¬ chØ ph­¬ng khi ®ã mäi ®iÓm M(x ; y ; z) tho¶ m·n (2) HÖ ph­¬ng tr×nh (2) gäi lµ ph­¬ng tr×nh tham sè cña ®­êng th¼ng Chó ý:1. 2. 3. Vd: 4. Ph­¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña ®­êng th¼ng (3) Ph­¬ng tr×nh (3) gäi lµ ph­¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña ®­êng th¼ng Vd: T×m vÐct¬ chØ ph­¬ng cña c¸c ®­êng th¼ng sau 5. ChuyÓn ®æi c¸c d¹ng ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng §6 vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña ®­êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng 1. VÞ trÝ t­¬ng ®èi cña hai ®­êng th¼ng Cho hai ®­êng th¼ng d vµ d’ cã ph­¬ng tr×nh d: x = x0 + at ; y = y0 + bt ; z = z0 + ct d’: x = x’0 + a’t ; y = y’0 + b’t ; z = z’0 + c’t Tõ ®ã ta cã : Ta cã c¸c kÕt luËn : a) d // d’ Û b) Hai ®­êng th¼ng trung nhau Û c) Hai ®­êng d vµ d’ c¾t nhau Û d) Hai ®­êng th¼ng chÐo nhau Û e) Hai ®­êng th¼ng ®ång ph¼ng Û Chó ý:s¬ ®å sÐt vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña hai ®­êng th¼ng. Vd1:X¸c ®Þnh vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña hai ®­êng th¼ng d1 vµ d2 trong c¸c tr­êng hîp sau. §s:a)trïng nhau b)song song c)c¾t nhau d)chÐo nhau 2.Giao ®iÓm cña hai ®­êng th¼ng Khi täa ®é cña M tháa m·n hÖ pt Vd2:T×m giao ®iÓm cña hai ®­êng th¼ng d1 vµ d2 trong c¸c tr­êng hîp sau. §s:a) b)(1;-2;4) 3. VÞ trÝ tt­¬ng ®èi cña ®­êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng Trong kh«ng gian cho ®­êng th¼ng d vµ mp(a) d: x = x0 + at ; y = y0 + bt ; z = z0 + ct (a): Ax + By + Cz + D = 0 Vd3:XÐt vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña (d)vµ mp(a) Vd4:Cho mp(P) vµ ®­êng th¼ng (d) cã ph­¬ng tr×nh. (P):2x+my+z-5=0 vµ a)T×m m ®Ó (d)//(P) b)t×m m ®Ó (d) c¾t (P) §s:a)m=1 b)m kh¸c 1 4.T×m giao ®iÓm gi÷a ®­êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng Vd5: T×m giao ®iÓm gi÷a ®­êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng Bµi tËp vÒ nhµ sè 3 Bµi 1:LËp ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d) trong c¸c tr­êng hîp sau : (d) ®i qua ®iÓm M(1,0,1) vµ nhËn lµm VTCP (d) ®i qua 2 ®iÓm A(1,0,-1) vµ B(2,-1,3) Bµi 2: Trong kh«ng gian Oxyz lËp ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña c¸c giao tuyÕn cña mÆt ph¼ng (P) : x-3y+2z-6=0 vµ c¸c mÆt ph¼ng to¹ ®é Bµi 3: ViÕt ph­¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña ®­êng th¼ng ®i qua ®iÓm M(2,3,-5) vµ song song víi ®­êng th¼ng (d) cã ph­¬ng tr×nh Bµi 4: Cho mÆt ph¼ng (P) ®i qua 3 ®iÓm A(3,0,0), B(0,6,0), C(0,0,9). ViÕt ph­¬ng tr×nh tham sè cña ®­êng th¼ng (d) ®i qua träng t©m tam gi¸c ABC vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng chøa tam gi¸c ®ã Bµi 5:Cho ®­êng th¼ng (d) cã ph­¬ng tr×nh : H·y viÕt ph­¬ng tr×nh tham sè cña ®­êng th¼ng ®ã Bµi 6:Cho ®­êng th¼ng (d) cã ph­¬ng tr×nh : H·y viÕt ph­¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña ®­êng th¼ng ®ã Bµi 7:Cho ®­êng th¼ng (d) cã ph­¬ng tr×nh : H·y viÕt ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®­êng th¼ng ®ã Bµi 8:LËp ph­¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c vµ tæng qu¸t cña ®­êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(2,1,3) vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (P) trong c¸c tr­êng hîp sau: (P): x+2y+3z-4=0 Bµi 9:LËp ph­¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c vµ tæng qu¸t cña ®­êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(1,2,3) vµ song song víi ®­êng th¼ng (d1) cho bëi : . 2) Bµi 10:LËp ph­¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c vµ tæng qu¸t cña ®­êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(1,2,3) vµ vu«ng gãc víi 2 ®­êng th¼ng : , Bµi 11: XÐt vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña ®­êng th¼ng (d) vµ mÆt ph¼ng (P) ,biÕt: (P): x-y+z+3=0 2) (P): y+4z+17=0 3) (P): y+4z+17=0 4) (P): x+y-2=0 Bµi 12: (§HNN_TH-98): Cho mÆt ph¼ng (P) vµ ®­êng th¼ng (d) cã ph­¬ng tr×nh (P) :2x+y+z=0 vµ .T×m to¹ ®é giao ®iÓm A cña (d) vµ (P) . Bµi 13: (§H Khèi A-2002): Trong kh«ng gian 0xyz ,cho mÆt ph¼ng (P) vµ ®­êng th¼ng (dm) cã ph­¬ng tr×nh : (P) :2x-y+2=0 , x¸c ®Þnh m ®Ó (dm)//(P) Bµi 14: X¸c ®Þnh vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña hai ®­êng th¼ng (d1) vµ (d2) cã ph­¬ng tr×nh : , 2), 3), Bµi 15: Trong kh«ng gian 0xyz ,cho hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) cã ph­¬ng tr×nh cho bëi : , Chøng tá r»ng hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) song song víi nhau . Bµi 16: Cho hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) cã ph­¬ng tr×nh cho bëi : , Chøng tá r»ng hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) song song víi nhau . Bµi 17: Trong kh«ng gian 0xyz ,cho hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) cã ph­¬ng tr×nh cho bëi : , Chøng tá r»ng hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) c¾t nhau vµ t×m täa ®é giao ®iÓm . Bµi 18: Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho 2 ®­êng th¼ng XÐt vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña 2 ®­êng th¼ng trªn T×m to¹ ®é c¸c ®iÓm M thuéc d1, N thuéc d2 sao cho MN song song víi mÆt ph¼ng (P) x-y+z=0 vµ §s: §7 Gãc vµ kho¶ng c¸ch 1)kho¶ng c¸ch tõ mét ®iÓm ®Õn mét mÆt ph¼ng . Vd1:TÝnh kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm M(3,-2,5) ®Õn mÆt ph¼ng (P): 12x+4y-3z+3=0 2)Kho¶ng c¸ch gi÷a ®­êng th¼ng (d) vµ mp(P) biÕt (d)//(P). Vd2; (P): x-y-2z+3=0 3)Kho¶ng c¸ch gi÷a hai mp // (P1) vµ (P2). Vd3:TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai mp (P1):3x+6y-2z+5=0 vµ (P2):3x+6y-2z+21=0 4)Kho¶ng c¸ch tõ mét ®iÓm tíi mét ®­êng th¼ng. Vd4:TÝnh kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm A(2;-1;3) ®Õn ®­êng th¼ng (d) biÕta) b) 5) Kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®­êng th¼ng song song Vd5:TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®­êng th¼ng song song , 6) Kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®­êng th¼ng chÐo nhau. Vd6: 7)Gãc gi÷a hai ®­êng th¼ng Vd7: TÝnh gãc gi÷a hai ®­êng th¼ng 8)Gãc gi÷a ®­êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng. Vd8:TÝnh gãc gi÷a ®­êng th¼ng (d)vµ mÆt ph¼ng(P) biÕt (P): x-y+z+3=0 9)Gãc gi÷a hai mÆt ph¼ng Vd9: TÝnh gãc gi÷a hai mÆt ph¼ng (P1): x-y+z-4=0 vµ (P2) 3x-y+z-1=0 Bµi tËp vÒ nhµ sè 4 Bµi 1:TÝnh kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm M(2,2,1) ®Õn mÆt ph¼ng (P) trong c¸c tr­êng hîp sau: (P): 2x+y-3z+3=0 (P):12x-4x+3y-15=0 Bµi 2:Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é trùc chuÈn Oxyz , cho tø diÖn cã 4 ®Ønh A(5;1;3) ,B(1;6;2) ,C(5;0;4) ,D(4;0;6) LËp ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t mÆt ph¼ng (ABC). TÝnh chiÒu dµi ®­êng cao h¹ tõ ®Ønh D cña tø diÖn, tõ ®ã suy ra thÓ tÝch cña tø diÖn . Bµi 3: h·y tÝnh sè ®o gãc t¹o bëi ®­êng th¼ng (d) vµ mÆt ph¼ng (P) cho bëi : (P): x-2y+2z+3=0. Bµi 4:X¸c ®Þnh sè ®o gãc gi÷a 2 ®­êng th¼ng (d1),(d2) cã ph­¬ng tr×nh : , 3) Bµi 5:Cho hai mÆt ph¼ng ,(P1):2x-2y+z-5=0 vµ (P2):3x-4y-2=0.§­êng th¼ng (d): T×m ®iÓm M trªn (d) sao cho d(M,(P1))=2d(M,(P2)). Bµi 6:Cho ®­êng th¼ng vµ: (P) :2x+2y+z-6=0 T×m ®iÓm M trªn ®­êng th¼ng (d) sao cho d(M,(P))=2. Bµi 7: Cho hai mÆt ph¼ng , tÝnh gãc t¹o bëi hai mÆt ph¼ng (P1)vµ (P2) biÕt a) (P1):x+y-2z+5=0 vµ (P2):2x-y+z+2=0 b) (P1):2x-y+2z-2=0 vµ (P2):x-y+2=0 Bµi 8:Cho ®iÓm A(2;-1;3) .TÝnh kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm A ®Õn ®­êng th¼ng (d) biÕt a) b) c) Bµi 9:Cho hai mÆt ph¼ng, (P1):2x-2y+z-3=0 vµ (P2):2x-2y+z+5=0 .LËp ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (Q) song song vµ c¸ch ®Òu hai mÆt ph¼ng (P1) vµ (P2). Bµi 10:Cho mÆt ph¼ng (P):x+2y+mz+3m-2=0 , (d): vµ ®iÓm A(2;1;-1) T×m m sao cho d(A,d)=d(A,(P)). §s: §8 MÆt cÇu 1)Ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu a.§n mÆt cÇu: b.Ph­¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña mÆt cÇu S(I;R) víi t©m I(a;b;c), b¸n kÝnh R cã d¹ng: Ptct: (S) Chó ý: MÆt cÇu (S) qua 2 ®iÓm A, B t©m I n»m trªn mÆt ph¼ng trung trùc cña AB. (S):x2+y2+z2=R2 lµ mÆt cÇu cã t©m trïng víi gèc to¹ ®é Vd1:X¸c ®Þnh t©m vµ b¸n kÝnh cña mÆt cÇu (S) trong c¸c tr­êng hîp sau Vd2:LËp ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu ®­êng kÝnh AB biÕt A(1;2;3) ,B(3;4;-1) c b.Ph­¬ng tr×nh d¹ng khai triÓn. Vd3:Cho pt:x2+y2+z2+2mx+4my-2(m-1)z+2m+3=0 (*) a)T×m m ®Ó pt(*) lµ pt mÆt cÇu S(I;R). b)T×m m ®Ó mÆt cÇu S(I;R) cã R= §s: Vd4: Cho pt:x2+y2+z2-2mx+4(m2-1)y+2z-m2+3=0 (*) a) T×m m ®Ó pt(*) lµ pt mÆt cÇu S(I;R). b)T×m nh÷ng ®iÓm cè ®Þnh cña mÆt cÇu S(I:R). 2)VÞ trÝ t­¬ng ®èi cña mét ®iÓm vµ mÆt cÇu Vd5: 3)VÞ trÝ t­¬ng ®èi cña mÆt ph¼ng vµ mÆt cÇu VÞ trÝ t­¬ng ®èi cña mÆt cÇu víi mÆt ph¼ng Cho mÆt cÇu (S) MÆt ph¼ng Ax + By + Cz + D = 0 (P) (P) tiÕp xóc víi (S), khi ®ã (P) gäi lµ mÆt ph¼ng tiÕp diÖn cña mÆt cÇu (S) vµ th× M ®­îc gäi lµ tiÕp ®iÓm vµ IM^(P) , khi ®ã (II’=d(I,(P))) Chó ý:+C¸ch t×m tiÕp ®iÓm M. +C¸ch t×m t©m vµ b¸n kÝnh cña ®­êng trßn. Vd6: cho mÆt cÇu: (S) vµ mÆt ph¼ng (P) Chøng minh r»ng mÆt ph¼ng (P) c¾t mÆt cÇu (S). ph­¬ng tr×nh ®­êng trßn Vd71: Cho mÆt cÇu (S):Gäi T lµ giao tuyÕn cña mÆt cÇu víi mÆt ph¼ng(P): 2x – 2y – z + 9 = 0. a)CMR:mp(P) c¾t mÆt cÇu (S) theo giao tuyÕn lµ ®­êng trßn C(I’;r). b) X¸c ®Þnh to¹ ®é t©m vµ b¸n kÝnh cña ®­êng trßn C(I’;r).T? Vd2: cho mÆt cÇu: (S) vµ mÆt ph¼ng (P) Chøng minh r»ng mÆt ph¼ng (P) c¾t mÆt cÇu (S). X¸c ®Þnh to¹ ®é t©m vµ tÝnh b¸n kÝnh cña ®­êng trßn (C) lµ giao tuyÕn gi­a (P) vµ (S). Vd3:lËp ph­¬ng tr×nh mp tiÕp diÖn cña mc(s) biÕt nã // víi (P) Vd4: lËp ph­¬ng tr×nh mp tiÕp diÖn cña mc(s) biÕt nã vu«ng gãc víi (d) Vd85:lËp ph­¬ng tr×nh mp tiÕp diªn t¹i ®iÓm M(2;3;4) thuéc mc(S). Vd96:Cho mc (S):(x-1)2+(y+1)2+(z-1)2=9 Vµ mp(P):2x+2y+z-m2-3m=0.T×m m ®Ó (P) tiÕp xóc víi (S) víi m t×m ®­îc h·y x¸c ®Þnh täa ®é tiÕp ®iÓm. 4)VÞ trÝ t­¬ng ®èi cña ®­êng th¼ng vµ mÆt cÇu Cho mÆt cÇu (S) vµ ®­êng th¼ng (d) (d) tiÕp xóc víi (S), khi ®ã (d) gäi lµ tiÕp tuyÕn cña mÆt cÇu (S) vµ th× M gäi lµ tiÕp ®iÓm vµ IM ^(d) Chó ý: +C¸ch t×m tiÕp ®iÓmM. +C¸ch t×m to¹ ®é A,B(viÕt ptts(d)). Vd10:XÐt vÞ trÝ t­¬ng ®èi gi÷acña ®­êng th¼ng (d) vµ mÆt cÇu (S): trong c¸c tr­êng hîp sau vµ nÕu (d). c¾t mÆt cÇu (S) th× t×m to¹ ®é giao ®iÓm. 5)vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña hai mÆt cÇu. Cho S1(I1;R1) vµ S2(I2;R2) +(S1) vµ (S2) n»m ngoµi nhau khi vµ chØ khi I1I2>R1+R2 +(S1) vµ (S2) tiÕp xóc ngoµi khi vµ chØ khi I1I2=R1+R2 +(S1) c¾t (S2) khi vµ chØ khi úR1-R2ú<I1I2<R1+R2 +(S1) vµ (S2) tiÕp xóc trong khi vµ chØ khi I1I2=úR1-R2ú +(S1) vµ (S2) lång vµo nhau khi vµ chØ khi I1I2<úR1-R2ú Vd11:Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é trùc chuÈn Oxyz, cho mÆt cÇu (S1) vµ (S2) lÇn l­ît cã ph­¬ng tr×nh nh­ sau: XÐt vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña hai mÆt cÇu trªn. Bµi tËp vÒ nhµ sè 5 Bµi 1: Trong c¸c ph­¬ng tr×nh sau ®©y ,ph­¬ng tr×nh nµo lµ ph­¬ng tr×nh cña mÆt cÇu ,khi ®ã chØ râ to¹ ®é t©m vµ b¸n kÝnh cña nã ,biÕt: Bµi 2: Cho hä mÆt cong (Sm) cã ph­¬ng tr×nh : T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó (Sm) lµ mét hä mÆt cÇu . CMR t©m cña (Sm) lu«n n»m trªn mét ®­êng th¼ng cè ®Þnh. Bµi 3: Cho hä mÆt cong (Sm) cã ph­¬ng tr×nh : T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó (Sm) lµ mét hä mÆt cÇu . T×m quÜ tÝch t©m cña hä (Sm) khi m thay ®æi. T×m ®iÓm cè ®Þnh M mµ (Sm) lu«n ®i qua. Bµi 4: Cho hä mÆt cong (Sm) cã ph­¬ng tr×nh : T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó (Sm) lµ mét hä mÆt cÇu . CMR t©m cña (Sm) lu«n ch¹y trªn mét ®­êng trßn (C) cè ®Þnh trong mÆt ph¼ng 0xy khi m thay ®æi. Bµi 5: Cho mÆt cÇu .xÐt vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña ®iÓm A ®èi víi mÆt cÇu (S) trong c¸c tr­êng hîp sau: ®iÓm A(1,3,2). 2)®iÓm A(3,1,-4). 3)®iÓm A(-3,5,1). Bµi 6: Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®« trùc chuÈn 0xyz, cho mÆt cÇu (S) vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph­¬ng tr×nh : ,(P):x+z-1=0. TÝnh b¸n kÝnh vµ to¹ ®é t©m cña mÆt cÇu (S). TÝnh b¸n kÝnh vµ to¹ ®é t©m cña ®­êng trßn giao cña (S) vµ (P). Bµi 7: Cho hai mÆt cÇu: , CMR hai mÆt cÇu (S1) vµ (S2) lång vµo nhaukh«ng c¾t nhau. Bµi 8: Cho hai mÆt cÇu: , CMR hai mÆt cÇu (S1) vµ (S2) c¾t nhau Bµi 9: Cho mÆt cÇu: vµ (P) :2x+2y+z-6=0 XÐt vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña mp(P) vµ mÆt cÇu (S). Bµi 10: Cho mÆt cÇu: vµ XÐt vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña ®­êng th¼ng (d) vµ mÆt cÇu (S) và t×m c¸c giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng (d) vµ mÆt cÇu (S) nÕu cã. §s: Chuyªn ®Ò 1:LËp ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng Chó ý: Vd1:ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng trung trùc cña ®o¹n th¼ng AB víi A(2;1;4) vµ B(-2;-3;2) §s:Gäi (P) lµ mÆt ph¼ng trung trùc cña ®o¹n th¼ng AB ta cã :(P):2x+2y+z-+1=0 Vd2:ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ®i qua 3 ®iÓm, A(1;3;5);B(2;0;-1);C(0;2;4). §s:(ABC):3x-7y+4z-2=0 Vd3: ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) ®i qua ®iÓm M (3;2;-1) vµ vu«ng gãc víi §s:(P):2x-3y-7z-7=0 Vd4:ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ®i qua ®iÓm M(4;5;-2) vµ song song (P) :2x+3y+z-2=0 §s:2x+3y+z-21=0 Vd5:ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (Q) ®i qua ®iÓm A(1;2;-1) vµ song song víi hai ®­êng th¼ng (d1) vµ (d2) biÕt §s:(Q):6x+8y-5z-27=0 Vd6:ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) ®i qua ®iÓm M(-2;3;1) vµ vu«ng gãc víi hai mÆt ph¼ng (Q1):2x+y+2z-10=0 vµ (Q2):3x+2y+z+8=0 §s:3x-4y-z+19=0 Vd7:ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) ®i qua ®iÓm M(2;-1;4) ,(P)//(d) vµ (P)^(Q) biÕt §s:(P):x+y-z+3=0 Vd8: ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) ®i qua ®iÓm M vµ chøa ®­êng th¼ng (d) biÕt §s:1.(P):x+y-z-2=0 2. (P):6x+13y-15z+43=0 Vd9:ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) ®i qua hai ®iÓm A,B vµ vu«ng gãc víi mp(Q) biÕt A(1;0;1),B(2;1;2) vµ (Q):x+2y+3z+3=0 §s:(P):x-2y+z-2=0 Vd10: ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) ®i qua hai ®iÓm A,B vµ song song víi ®­êng th¼ng (d) biÕt A(2;-1;3),B(1;2;4) vµ §s:7x+2y+z-15=0 Vd11: ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) chøa (d1) vµ vu«ng gãc víi (d2) biÕt Chó ý:nÕu (d1) kh«ng vu«ng gãc víi (d2) th× kh«ng tån t¹i mp(P) §s:x-4y-3z-4=0 Vd12: ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) chøa (d1) vµ song song víi (Q) biÕt Chó ý:nÕu (d1) kh«ng song song víi (Q) th× kh«ng tån t¹i mp(P). §s:x-4y-4=0 Vd13:ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) chøa ®­êng th¼ng (d) vµ vu«ng gãc víi (Q) biÕt §s:(P):5x-y-3z-3=0 Chó ý:nÕu (d) kh«ng vu«ng gãc víi (Q) th× kh«ng tån t¹i mp(P) Vd14: ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) chøa ®­êng th¼ng (d) vµ / / víi (D) biÕt §s:1.(P)17x-8y-11z-10=0 2.(P):x+10y-53z+25=0 Vd15:ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) chøa hai ®­êng th¼ng c¾t nhau (d1) vµ (d2) biÕt §s:(P):3x-y+5z-4=0 Vd16: ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) chøa hai ®­êng th¼ng song song (d1) vµ (d2) biÕt §s:(P):3x-y-8z-1=0 Vd17: ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) chøa hai ®­êng th¼ng (d1) vµ (d2) biÕt §s:(P):12x-3y+8z=0 Vd18:ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (a) song song vµ c¸ch ®Òu hai mÆt ph¼ng (P) vµ (Q) biÕt §s: (a):x-2y+3z+3=0 Vd19: ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (a) song song (P) vµ (Q) vµ d((a),(P))=2d((a),(Q)) biÕt §s: (a):2x-3y+6z+8=0 và 2x-3y+6z+28=0 Vd20: ViÕt ph­¬ng tr×nh c¸c mÆt ph¼ng (P),(P) // (Q) vµ d((P),(Q))=2 biÕt (Q):2x+3y-6z+12=0 §s:2x+3y-6z+26=0 và 2x+3y-6z-2=0 Vd21:Cho hai ®iÓm A(2;1;-1),B(3;-1;5) vµ mÆt ph¼ng (Q):x-2y+2z-7=0.LËp ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) song song vµ c¸ch ®Òu hai ®iÓm A,B. Đs:2x-4y+4z-13=0 Vd22: ViÕt ph­¬ng tr×nh c¸c mÆt ph¼ng (P) cã vÐct¬ ph¸p tuyÕn vµ d(A,(P))=2 biÕt A(2;2;1). §s:3x+4y-12z+24=0 và 3x+4y-12z-28=0 Vd23: Cho (Q):2x-3y-6z+12=0 vµ .ViÕt ph­¬ng tr×nh c¸c mÆt ph¼ng (P) biÕt (P)//(d),(P)^(Q) vµ d((P),d)=1. §s: Vd24:Cho hai ®­êng th¼ng .ViÕt ph­¬ng tr×nh c¸c mÆt ph¼ng (P) song song víi hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) vµ d((P),d1)=1. §s: Vd25: Cho hai mÆt ph¼ng ,(P1):2x-y-z+1=0 vµ (P2):x+y+2z-1=0 vµ ®iÓm A(2;1;-1) .ViÕt ph­¬ng tr×nh c¸c mÆt ph¼ng (Q) vu«ng gãc víi hai mÆt ph¼ng trªn vµ d(A,(Q))=1. §s: Vd26:Cho ®iÓm M(4;1;-3) vµ ha