Áp dụng hệ thức Vi – ét

Từ bài toán đơn giản không giải phương trình tính tổng và tích 2 nghiệm của phương trình bậc 2 , học sinh có phương tiện là hệ thức Vi - ét để tính toán . Hệ thức còn giúp học sinh xét dấu 2 nghiệm của phương trình mà khong biết cụ thể mỗi nghiệm là bao nhiêu . Giải và biện luận phương trình bậc 2 có chứa tham số là loại toán khó . Tiếp tục bài toán này thường kèm theo yêu cầu tính giá trị biểu thức , quan hệ giữa 2 nghiệm , các phép tính trên 2 nghiệm ... của phương trình. Việc tính mỗi nghiệm của phương trình theo công thức nghiệm là vô cùng khó khăn vì phương trình đang chứa tham số . Trong trường hợp đó hệ thức Vi - ét là 1 phương tiện hiệu quả giúp học sinh giải loại toán này . Các bài toán cần áp dụng hệ thức Vi – ét đa dạng có mặt trong nhiều kỳ thi quan trọng như thi học kỳ 2, thi tuyển sinh vào lớp 10 , thi vào các trường chuyên lớp chọn ...Trong bài viết này , tôi hy vọng đóng góp thêm 1 số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh làm quen và tiến tới giải tốt các bài cần áp dụng hệ thức Vi - ét A) Kiến thức cơ bản : 1) Nếu phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 ( a 0 ) có 2 nghiệm phân biệt thì tổng và tích hai nghiệm đó là: S = và P = 2 ) Tính nhẩm nghiệm a ) Nếu a + b + c = 0 thì phương trình ax + bx + c = 0 ( a 0 ) có các nghiệm số là b ) Nếu a - b + c = 0 thì phương trình ax + bx + c = 0 ( a 0 ) có các nghiệm số là 3 ) Tìm 2 số biết tổng và tích của chúng Nếu 2 số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì u và v là 2 nghiệm của phương trình bậc hai : B ) Bài tập áp dụng và bài tập phát triển , nâng cao 1 ) Loại toán xét dấu nghiệm của phương trình mà không giải phương trình Bài tập 1: Không giải phương trình cho biết dấu các nghiệm ? a) b) c) Giải Theo hệ thức Vi - ét có S = P = Vì P > 0 nên 2 nghiệm x và x cùng dấu S > 0 nên 2 nghiệm cùng dấu dương Theo hệ thức Vi – ét có P = nên 2 nghiệm cùng dấu S = nên 2 nghiệm cùng dấu âm c) P = nên 2 nghiệm trái dấu S = Bài tập 2 : Cho phương trình (1) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m 0 . Nghiệm mang dấu nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn ? Giải Ta có a = 1 > 0 , c = - m< 0 với mọi m 0 Vì a , c trái dấu nên phương trình (1) luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt . Theo hệ thức Vi - ét : P = < 0 . Do đó và trái dấu S = nên nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn Bài tập 3: Cho phương trình (1) (với m là tham số) a) Giải phương trình trên với m = 2 b) Chứng minh rằng phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu m c) Gọi 2 nghiệm của phương trình đã cho là x, x Tìm m để biểu thức đạt giá trị lớn nhất Giải : a) Thay m = 2 vào phương trình ta được Phương trình có 2 nghiệm phân biệt b)Xét Có Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu Gọi 2 nghiệm của phương trình đã cho là x, x Từ kết quả phần b có x, x 0 , biểu thức A được xác định với mọi x, x tính theo m và Đặt Với a > 0 Có A = -a + mang giá trị âm A đạt giá trị lớn nhất - A có giá trị nhỏ nhất Có – A = a + Theo bất đẳng thức Cô si áp dụng cho hai số không âm a và ( vì a > 0 và ) Có Vậy – A 2 nên – A có giá trị nhỏ nhất là 2 A 2 nên A có GTLN là - 2 ( thoả mãn điều kiện a > 0 ) Với a = 1 thì Theo kết quả có * Kết luận : Với m = 1 thì biểu thức A đạt giá trị lớn nhất là - 2 2) Loại toán tính giá trị biểu thức chứa tổng, tích 2 nghiệm Bài tập 4: Cho phương trình : Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m Gọi 2 nghiệm là x và x tìm giá trị của m để đạt giá trị nhỏ nhất. Giải: a ) Ta có a = 1 > 0 a, c trái dấu nên phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi tham số m Theo hệ thức Vi ét P = do đó 2 nghiệm trái dấu b) Ta có = Vậy Min khi m = Bài tập 5: Cho phương trình Tìm giá trị dương của m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối bằng nghịch đảo của nghiệm kia Giải : Ta có a = 2 > 0 Phưong trình có 2 nghiệm trái dấu Với điều kiện này giả sử x 0 theo đề ra ta có Vì m > 0 nên ta chọn m = ( thoả mãn điều kiện ) Kết luận : Vậy với m = thì phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối bằng ngịch đảo của nghiệm kia . Bài tập 6 : Xét phương trình : (1) với m là tham số Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phương trình (1) luôn có 4 nghiệm phân biệt Gọi các nghiệm của phương trình (1) là . Hãy tính theo m giá trị của biểu thức M = Giải : 1) Đặt x = y ( ĐK : y 0 ) Pt (1) trở thành (2) Có nên Phương trình (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt Theo hệ thức Vi – ét có Xét có nên P > 0 với mọi m Z cùng dấu Xét . Vì nên S > 0 cùng dấu dương (thoả mãn ĐK y 0) Vậy phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu dương nên phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt đối nhau từng đôi một . 2) Theo kết quả phần a có và Thay kết quả S và P vào M ta được Kết luận: Bài tập 7: Cho phương trình ( mlà tham số) Chứng minh : Phương trình đã cho luôn luôn có nghiệm với mọi m Trong trường hợp m > 0 và là các nghiệm của phương trình nói trên hãy tìm GTLN của biểu thức Giải: a) Vì nên Phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m b) Theo kết quả phần a phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt áp dụng hệ thức Vi – ét ta có S = P = Vì P = m > 0 nên biểu thức A được xác định với mọi giá trị tính theo m = Thay S và P vào biểu thức A ta được : Theo bất dẳng thức Cô Si vì ( do m > 0và ) Vậy biểu thức A có GTNN là 8 Trong bất đẳng thức Cô Si dấu bằng xảy ra m = Với m = 1 thoả mãn điều kiện m > 0 m = -1 không thoả mãn điều kiện m > 0 Vậy với m = 1 thì A có GTNN bằng 8 Bài tập 8 : Xét phuương trình mx+ (2m -1) x + m -2 = 0 (1) với m là tham số a ) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x , x thoả mãn b) Chứng minh rằng nếu m là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp thì phương trình có nghiệm số hữu tỉ Giải a ) Điều kiện để m có 2 nghiệm Xét Vậy điều kiện để phương trình có 2 nghiệm là m và m Với điều kiện trên theo hệ thức Vi ét có Gọi áp dụng hệ thức Vi ét có A = 4 ( ĐK ) Có a + b + c = 3 – 2 – 1 = 0 => m = 1 ( thoả mãn điều kiện m và m ) m = ( không thoả mãn điều kiện m và m ) Vậy với m = 1 thì phương trình (1) có 2 nghiệm thoả mãn Gọi n ta có m = n( n + 1 ) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp ( TMĐK m 0 ) Theo kết quả phần a ta có vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m ( do n > 0 ) Vì n nên 1- n và n => là phân số tử n +2 và n +1 => là phân số Kết luận:Với m là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp thì phương trình có nghiệm số hữu tỉ 3 ) Loại toán tìm hai số biết tổng và tích của chúng Bài tập 9 : Tìm hai số x y biết x + y = 11 và xy = 28 x – y = 5 và xy = 66 Giải : a ) Với x + y = 11 và xy = 28 theo kết quả hệ thức Vi ét x ,y là nghiệm của phương trình x - 11x + 28 = 0 = 121 – 112 = 9 > 0 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt là = 4 Vậy x = 7 thì y = 4 x = 4 thì y = 7 b) Ta có có x , y là nghiệm của phương trình x - 5x - 66 = 0 = 25 + 264 = 289 > 0 , = 17 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt là Vậy x = 11 thì y = - 6 còn x = - 6 thì y = 11 Bài tập 10 : Tìm hai số x y biết x + y = 25 và xy = 12 Giải : Ta có x + y = 25 (x + y ) - 2xy = 25 (x + y )- 2.12 = 25 (x + y ) = 49 x +y = 7 * Trường hợp x + y = 7 và xy =12 Ta có x và y là nghiệm của phương trình x - 7x +12 = 0 = 49 – 4.12 = 1 * Trường hợp x + y = - 7 và xy =12 Ta có x và y là nghiệm của phương trình x +7x +12 = 0 Giải phương trình ta được x = -3 ; x= - 4 các cặp số x, y cần tìm là (4 ; 3) ; (3 ; 4) ;(- 4 ; - 3) ; ( -3 ; -4) 4 ) Loại toán tìm biểu thức liên hệ giữa tổng tích 2 nghiệm không phụ thuộc tham số : Bài tập 11 : Cho phương trình x- ax + a - 1 = 0 có 2 nghiệm a) Không giải phương trình hãy tính giá trị biểu thức b) Tìm a để tổng các bình phương 2 nghiệm số đạt GTNN ? Giải a) Theo hệ thức Vi ét có Vậy (ĐK : ) b) Ta có (1) (2) Trừ 2 vế của (1) cho (2) ta có , đây là biểu thức liên hệ giữa xvà x không phụ thuộc vào a C) Các bài tập tương tự Bài tập 1 : Không giải phương trình cho biết dấu các nghiệm ? x- 6x +8 = 0 11 x+13x -24 =0 2 x- 6x + 7 = 0 Bài tập 2 : Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k , phương trình 7 x+ kx -23 = 0 có 2 nghiệm trái dấu 12 x+70x + k+1 = 0 không thể có 2 nghiệm trái dấu x- ( k +1)x + k = 0 có một nghiệm bằng 1 Bài tập 3 : Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nhanh mx - 2(m +1)x + m + 2 = 0 (m -1) x + 3m + 2m + 1 = 0 (1 – 2m) x + (2m +1)x -2 = 0 Bài tập 4 : Cho phương trình x- 2m + m - 4 = 0 Tìm m để phương trình có 2 nghiệm đối nhau . Tính 2 nghiệm đó Định m để phương trình có 2 nghiệm thực dương Bài tập 5 : ( đề TS chuyên Hạ Long năm học 2002 -2003 ) (2,5 đ) Cho phương trình x - mx +1 = 0 ( m là tham số ) Giải phương trình trên khi m = 5 Với m = , giả sử phương trình đã cho khi đó có 2 nghiệm là Không giải phương trình , hãy tính giá trị của biểu thức Hướng dẫn giải: a) Với m = 5 phương trình trở thành x-5x +1 = 0 = 21 , phương trình có 2 nghiệm phân biệt , b)Với m = , ta có phương trình bậc hai : Theo hệ thức Vi ét : và Thay S và P vào A ta được : Bài tập 6 : Cho phương trình bậc 2 ẩn x : (1) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm khi và chỉ khi Gọi là nghiệm của phương trình , chứng minh rằng Hướng dẫn giải: a) Phương trình (1) có nghiệm hoặc Khi m 1 , theo hệ thức Vi ét có Vì do đó Vì Bài tập 7 : Cho phương trình : Tính (Với x , xlà 2 nghiệm của phương trình) Hướng dẫn giải: Theo định lý Vi ét ta có Ta có Nếu Do đó A = Bài tập 8 : a) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt b) Gọi 2 nghiệm là x , x , Tìm GTNN của biểu thức Hướng dẫn giải: a) Phương trình có 2 nghiệm b)Theo định lý Vi ét có Do đó ta có Vì nên (m + 2)(m - 3) 0 Khi đó Vậy GTNN của A là khi và chỉ khi m = 2 Bài tập 9 : 1) Chứng tỏ rằng phương trình có 2 nghiệm phân biệt x , x Lập phương trình bậc hai có 2 nghiệm là và 2) Tìm mđể phương trình có hai nghiệm cùng dấu .Khi đó hai nghiệm cùng dấu âm hay cùng dấu dương ? Hướng dẫn giải: 1) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt vậy phương trình cần tìm là x- 14x +1 = 0 2) Phương trình có 2 nghiệm cùng dấu Khi đó Suy ra phương trình có 2 nghiệm dương Bài tập 10 : Xét phương trình vói m là tham số a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm là x, xthoả mãn b) Chứng minh rằng nếu m là tích của hai số tự nhiên liên tiếp thì phương trình có nghiệm hữu tỉ Đồng Hới, ngày 25 tháng 10 năm 2009